专题26二项式定理(原卷版)
二项式定理(精讲)(原卷版)
8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。
第03讲二项式定理(精讲)(原卷版)_1
第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。
考点50 二项式定理(新高考地区专用)(原卷版)
考点19 二项式定理一．二项式定理（1）二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋ C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) （2）通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项 （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n（4）项数为n ＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n 二．二项式系数的性质三．指定项的系数或二项式系数 1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为T r ＋1＝g (r )·x h (r )(r ＝0,1,2，…，n )，g (r )≠0，则有以下常见结论： (1)h (r )＝0∈T r ＋1是常数项 (2)h (r )是非负整数∈T r ＋1是整式项 (3)h (r )是负整数∈T r ＋1是分式项 (4)h (r )是整数∈T r ＋1是有理项 三．系数和---赋值法 1．赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可． (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．知识理解考向一 二项展开式中特定项及系数【例1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式821(1)x-的展开式中4x -的系数为 （2）（2021·上海高三一模）在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.（3）（2020·全国高三）在24的展开式中，有理项共有 项 （4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）25()ax x-展开式中x 的系数为80，则a 等于 。
（完整版）二项式定理高考题（带答案）
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】【解析】分析：分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.7.【【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为的系数为A ．80- B ．40-C ．40 D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345xa x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数. 9.【2017山东，理1111】】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C3C 3rrr r rr nnx x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rr r nx +T=，令2r =得2x 的系数是2C n，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．属于容易题．属于容易题．解题时一定要抓住重解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C kn kkk n ab -+T =．11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】5312xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkkk k T C x C xx--+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rr rrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以该项系数为1516. 16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A.3B.3-C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nxx⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则6(i)x+的展开式中含x4的项为的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）281()xx-的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I高考）5(2)x x+的展开式中，x3的系数是的系数是 .（用数字填写答案）案） 【答案】10。
二项式定理-高考题(含答案)精选全文
3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 （ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。
高考复习基础训练——二项式定理(原卷版)
高考复习基础训练——二项式定理一、单选题1、二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 7-B. 21-C. 7D. 212、若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式1)2n x的展开式的常数项是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 103、已知()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则13a a 的值为（ ） A. 1-B. 1C. 4D. 2-4、在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A. 30B.60C. 40D. -605、在61(2)x x-的展开式中含2x 项的系数是（ ）A. 192-B. 160-C. 240D. 606、()26x y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中25x y 的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．247、对任意实数x ，有()()()()()923901239231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-.则下列结论不成立的是（ ） A ．2144a =- B ．01a =C ．01291a a a a ++++=D ．9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-8、已知0a >，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二展开式中，常数项等于60，则=a （ ）A ．3B ．2C ．6D ．49、在234567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．70B ．35C ．35-D ．70-10、设()20121nn n x a a x a x a x +=++++，若23a a =，则n =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811、若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （ ） A. 2B. 1C. 1±D. 2±12、()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（ ） A. 42B. 35C. 7D. 113、()()6211x ax x +---的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．3C ．1-D ．2-14、设5250125(12)x a a x a x a x +=++++，则125a a a +++=（ ）A. 2-B. 1-C. 242D. 24315、二项式10x⎛⎝的展开式中有理项的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816、若2nx ⎛⎝的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．417、已知正整数n ≥7，若1()(1)nx x x--的展开式中不含x 5的项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1018、2()nx x-展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x 的系数是（ ）A ．-210B ．-960C ．960D ．21019、已知()522211x x a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）A ．10-B ．7-C ．9D ．1020、已知(51a =+a ，b 为有理数)，则a ＝（ ）A ．0B ．2C ．66D ．7621、(x 2+2ax -a )5的展开式中各项的系数和为1024，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．422、()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（ ） A ．5B ．3C ．0D ．3-23、5()(3)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．-80 B ．-180C ．180D ．80二、多选题24、已知二项式6ax⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项25、已知5nx⎛⎝的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A ．2，n ，10成等差数列B ．各项系数之和为64C ．展开式中二项式系数最大的项是第3项D ．展开式中第5项为常数项26、已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A ．二项展开式中无常数项B ．二项展开式中第3项为3240xC ．二项展开式中各项系数之和为63D ．二项展开式中第4项的二项式系数最大 27、若()()20202320200123202012a a x a x a x x x a x =++++⋅⋅+-⋅∈R ，则（ ）A ．01a =B ．20201352019312a a a a -+++⋅⋅⋅+=C ．20200242020312a a a a ++++⋅⋅⋅+=D ．320201223202012222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 三、填空题28、()4212x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式的常数项为______．29、二项式81x ⎫⎪⎭展开式中常数项为______．30、二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______. 31、()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答） 32、已知()611x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为240，则实数=a ______．33、在(1)nax +（其中*N ,0n a ∈≠）的展开式中，x 的系数为10-，各项系数之和为1-，则n =__________.34、7211x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 .35、设n 为正整数， ()2na b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n =_____.。
二项式定理高考试题及其答案总
二项式定理复习一、学习目标：1、能用计数原理证明。
2、会用二项式定理解决系数和、常数项、最大值等与二项展开式有关的简单问题。
二、命题规律与命题趋势：高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算。
题型以选择、填空为主，少有综合性的大题。
高考重点考查通项公式和项的系数的概念，同时考查了运算能力。
三、常考点：1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C nn (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：（1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C（3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 基本题型(一)通项公式的应用 1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； 常数项为_______；含4x 的项为______。
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专题26 二项式定理(原卷版)
易错点1：混淆通项公式1r n r r
r n T C a b -+=与展开式中的第r 项
易错点2：混淆二项式展开式中a,b 排列顺序设置陷阱
易错点3：混淆二项式系数和项的系数
易错点4：混淆二项式最大项与展开式系数最大项
考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数
题组一
1.10)21(x +的展开式的第4项是 .
题组二
2．(2016年全国I)5(2x +的展开式中,x 3的系数是 ．(用数字填写答案)
3．(2018全国卷Ⅲ)252()x x +的展开式中4
x 的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
4.6(42)x x --(x ∈R)展开式中的常数项是______.
题组三
5.(2019全国III 理4)24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为( )
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
6．(2017新课标Ⅲ)621
(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为( )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35 7.64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_____.(用数字作答).
题组四
8.25()x x y ++的展开式中, 52x y 的系数为_______.(用数字作答).
9．(2017新课标Ⅲ)5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为
A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80
10．(2014新课标1)8
()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案) 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数
题组五
11．(2014新课标2)()10x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a =___．(用数字填写答案) 12.()()511ax x ++的展开式中的系数为5,
______. 13．(2015新课标2)4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,
则a =______．
题组六
14.若n x
x )2(-二项展开式的第5项是常数项,则自然数n 的值为______.
15.二项式1(n x -的展开式中含有x 4的项,则n 的一个可能值是( ).
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
16.(13)(6)n
x n N n +∈其中且≥的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n =_____. 17.若)(13N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛-的展开式中第3项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第____项.
18.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中
2
1x 的系数为___.
考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别
题组七 19.5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为____
20.设m 为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若137a b =,则m =______.
21.已知()12n
x -的展开式中,二项式系数的和为64,则它的二项展开式中,系数最大的是第______项.
题组八
22.设()x a a x a x a x 21221
01221-1=+++L ,则a a 1011+= .
23.已知多项式32(1)(2)x x ++=5432
12345x a x a x a x a x a +++++,则4a =___,5a =___．
24.在()()()567111x x x +++++的展开式中,含4x 项的系数为__________.。