二项式定理专题(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档
二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（ ）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：二项式定理课件北师大版
题组二 双基自测
5. 2√
1
−
√
6
的展开式中 x2 解析
2√
1
−
√
6
1
6-k
的展开式的通项是C6 (2√ ) · -√
根据题意,得 3-k=2,k=1.
因此,x2 的系数是(-1)×25×C61 =-192.
k
=(-1)k2 C6 x .
6-k
3-k
6. 在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是
+ 1 = 4,
(-1)3·2 mC53 =-40m,又(2x+my)(x-y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 80,所以
5-3
-40m=80,解得 m=-2.
r+1
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例题(1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(
A.10
(2)
)
B.20 C.30 D.60
答案 1
解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1.
.
研考点 精准突破
考点一
二项展开式的通项及其应用(多考向探究预测)
考向1二项展开式中的特定项(或系数)
题组(1) √ +
3 5
的展开式中的常数项为
2
(2)(2022·山东临沂一模)二项式
个数为(
A.2
.
1 6
√2x+ 的展开式中系数为无理数的项的
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同
而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
微点拨 利用赋值法求二项式系数的和
2018年高考数学总复习教师用书：第10章 第3讲 二项式定理含解析
第3讲 二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理（教师版）填空题错误！未指定书签。
．二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】 答案 10解析T r +1=C r 5x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3,∴含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10.错误！未指定书签。
． ( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【答案】-160 【解析】( 2x -1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2(1)r r r r rr r r T x x x ---+=-=-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.错误！未指定书签。
．(2012年高考(上海文))在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 【答案】 [解析] 展开式通项rr r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为2036-=-C .错误！未指定书签。
．(2013上海高考数学(文))设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【答案】 2- 解:2515()(),2(5)71rrr r aT C x r r r x-+=--=⇒=, 故15102C a a =-⇒=-.错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））若1223211333385n n n n n n n C C C C ---++++=,则n=_________________【答案】4 错误！未指定书签。
高考数学讲义二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=；令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模 【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模 【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求． 【答案】15；【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=． 【答案】45；【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到21055512((()22(2)x x x x x x +++==，所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x 的系数，所以所求常数项为55105C 2=．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略； 【答案】B ；【例23】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-， 常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项， 则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =， 故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r rn rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数． 常数项为2332C 60215nn n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年，四川高考 【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模 【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-． 令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=． 【答案】D ；【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=． 【答案】9；84；【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =， 常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=．【答案】1512，；【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；有理项【例41】 求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数， 故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数， 又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】 已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==， 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】 二项展开式15中，有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】45515611515C C rrrrrr T x --+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ）， 当3915r =，，时，为有理项，选A ．【答案】A ；【例46】 在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B ；11111111323211111C 3232C rrr rr r r r r T x x x --+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是r 可取3，9， 则21126P ==，1711660066|77x dx x ⎰== 【答案】B ；【例47】12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n nn +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去） 设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >． 故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110． 【答案】x 的值为1或110．【例54】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rrrr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +．用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+． 令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，． 所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=， 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误； 当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。
高中数学 高三一轮 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 9.3二项式定理 练习【教师版】
高三一轮第九章计数原理与概率、随机变量及其分布9。
3 二项式定理（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题(共6小题，每题5分，共30分）1。
(2016·四川）设i为虚数单位，则（x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A.－15x4B。
15x4C。
－20i x4D。
20i x4【答案】A【解析】由题可知，含x4的项为C错误!x4i2＝－15x4。
选A.2.(2014·湖南）错误!错误!的展开式中x2y3的系数是( ）A.－20 B。
－5C.5D.20【答案】A【解析】展开式的通项为T k＋1＝C错误!(错误!x)5－k·（－2y)k＝（－1）k·22k－5C错误!x5－k·y k,令5－k＝2,得k＝3.则展开式中x2y3的系数为（－1)3·22×3－5C错误!＝－20，故选A.3.(2012·湖北）设a∈Z，且0≤a〈13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( ）A。
0 B.1C.11D.12【答案】D【解析】由于51＝52－1,（52－1)2 012＝C错误!522 012－C错误!522 011＋…－C错误!521＋1，所以只需1＋a能被13整除，0≤a<13，所以a＝12，选D。
4.（2015·湖南，6）已知错误!错误!的展开式中含x错误!的项的系数为30，则a＝（）A. 3B.－错误!C。
6 D.－6【答案】D【解析】错误!错误!的展开式通项T r＋1＝C错误!x错误!（－1)r a r·x－错误!＝（－1）r a r C错误!x错误!－r，令错误!－r＝错误!，则r＝1，∴T2＝－a C错误!x错误!,∴－a C1，5＝30，∴a＝－6，故选D。
5。
（2013·辽宁，7)使得错误!错误!（n∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A.4 B。
8.3二项式定理(教师版)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 8.3二项式定理考纲定位 掌握二项式定理及其性质；会用二项式定理的知识解决系数和、常数项等问题.【考点整合】1、二项式定理：()n a b += ；通项1k T += .2、二项式系数的性质：（1）对称性：（2）增减性与最大值：（3）各二项式系数的和：012...n n n n nC C C C ++++= ； 当n 为偶数时，024...n n n n nC C C C ++++= = ； 当n 为奇数时，0241...n n n n nC C C C -++++= = ； （4）思考：二项式系数与项的系数一样吗？如果不一样，则区别在哪儿？【典型例题】一、利用二项式的通项公式求项数和特殊项例1、（1）已知2()n x x -的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为（ ）A.80B.160C.-80D.-160（2）1(2)n x x -的展开式中含有21x 项的系数与含41x的系数之比为-5，则n= ；并求含2x 项的二项式系数、系数分别为 和 .（请用数字作答）二、有关二项展开式的系数问题例2、设5250125(21)...x a a x a x a x -=++++，求：（1）012345a a a a a a +++++；（2）012345a a a a a a -+-+-；（3）135a a a ++；（4）01234a a a a a ++++.【高考真题】1、（2012 安徽）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ）D A.-3 B.-2 C.2 D.3 2、（2012 天津）在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为（ ）DA.10B.-10C.40D.-40 3、（2012 湖北）设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ ）D A.0 B.1 C.11 D.124、（2012 重庆）81()2x x+的展开式中常数项为（ ）BA.3516B.358C.354D.105 5、（2011 新课标）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）D A.-40 B.-20 C.20 D.406、（2011 福建）5(21)x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）BA.80B.40C.20D.107、（2011 天津）在62()2x x-的二项展开式中2x 的系数为（ ）C A.154- B.154 C.38- D.388、（2010 陕西）5()ax x +的展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）D A.-1 B.12C.1D.2 9、（2010 江西）8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）BA.-1B.0C.1D.210、（2012 湖南）61(2)x x -的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）-16011、（2010 四川）631(2)x -的展开式中的第四项是 .160x - 【课后反思】。
二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r r r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=； 令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】 若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模 【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求． 【答案】15；【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==． 【答案】20；【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T x xx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=． 【答案】45；【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到551(2x x +==所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x =．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．；【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略； 【答案】B ；【例23】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-， 常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项， 则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =， 故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数． 常数项为2332C 60215n n n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年，四川高考 【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-． 令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=． 【答案】D ；【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=． 【答案】9；84；【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=． 【答案】1512，；【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；有理项【例41】 求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数， 又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数， 故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】 已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==， 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】 二项展开式15中，有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C Cr rrr rrT x--+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r=，，时，为有理项，选A．【答案】A；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1 0px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B；11111111323211111C3232Crr r rr r r rrT x x x--+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是r可取3，9，则21126P==，1711660066|77x dx x⎰==【答案】B；【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n n n +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去） 设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >． 故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110． 【答案】x 的值为1或110．【例54】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rr rr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +． 用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+． 令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，． 所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=， 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误； 当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。
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二项式定理专题一、基础知识 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
二、专题练习（一）二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==（二）利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
（三）利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？ 解：5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. （四）利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
（五）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅（六）最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =练：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r rr T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==（七）含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。