高中学业水平考试数学2(有答案)
2023年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷及答案
2023年3月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分100分，答题时间为90分钟。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负。
2．答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”。
3．答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题每小题4分，共50分）1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅2．sin150︒=（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．“2x =”是“24x =”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知i 是虚数单位，则()i 2i +=（）A ．12i-B ．12i--C ．12i+D ．12i -+5．已知向量()3,1a =与(),6b x =- 垂直，则实数x 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．已知函数()3,0,2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩若()8f a =，则a 的取值为（）A ．3B ．5C ．3-D ．5-7．某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人；高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为（）A ．30B ．34C ．36D ．608．为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把正弦曲线sin y x =上所有的点（）A ．向左平行移动2π3个单位长度B ．向右平行移动2π3个单位长度C ．向左平行移动π3个单位长度D ．向右平行移动π3个单位长度9．已知2log 5a =，2log 3b =，1c =，则（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．a b c>>10．函数1y x =-的定义域为（）A ．{}01x x x >≠且B ．{}01x x x ≥≠且C ．{}1x x ≠D ．{}x x ≥11．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.612．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则直线AC 与1A B 所成的角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒13．在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且2sin c B =，则角C 为（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒14．一个棱长为）A ．18πB ．C ．D ．36π15．在ABC △中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，则BO = （）A ．1122BC BA+B ．1142BC BA+C ．1144BC BA+D ．1124BC BA+第Ⅱ卷（非选择题共50分）二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分）16．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，若()2f a =，则()f a -=______．17．若0a >，0b >，且1a b +=，则11a b+的最小值是______．18．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙）19．在ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且120A =︒，7a =，8b c +=，则ABC △的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．已知函数()sin f x x x =-．（1）求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．21．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲成功破译的概率为34，乙成功破译的概率为23．（1）求两人都成功破译的概率；（2）求至少有一人成功破译的概率．22．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D ，E 分别是AB ，PB 的中点，2PC AC ==，BC =（1）求证：DE ∥平面PAC ；（2）求三棱锥D PAC -的体积．23．已知函数()[)()21,1xf x x x =∈+∞+．（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减；（2）若()()223f af a >+，求实数a 的取值范围．。
2025年安徽省高中学业水平合格考试数学试卷试题(含答案)
12025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题本试卷共三大题，25小题，满分为，共4页，考试时间为90分钟一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛1，2，3｝，则AB（）A.{1}B.{0,1}C．{0,1,2}D.{0,1,2,3}
2．命题“1x，210x”的否定是（）A.1x，210xB.1x，
210x
C.1x，210xD.1x，2
10x
3．复数12i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是（）A．90B．88C．82D．765．“acbd”是“ab且cd”的（）
A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知幂函数ayx
的图象过点（9，3），则
a
等于（）
A．3B．2C．32D．12
7．若函数yfx是定义在R上的奇函数，则101fff（）
A．0B．1C．－2D．－3
8．已知向量2,1BC，
0,1AB
，则AC（）
A．2B．3C．2D．22
9．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（）A．2B．3C．4D．510．若空间中三条直线a，b，c满足ab，bc∥，则直线a与c（）A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交11．函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）12．下列函数中，既是偶函数，又在0,上单调递减的函数是（）
A.2yx=B.yxC.2y
xD.
2yx2
13．已知一组样本数据1x，2x，…，nx(nN)的均值和方差分别为2和0.25，则31x＋2，32x＋2，…，
2020年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷二(含答案)
2020年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。
考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求)1.设集合A=｛1，2，3｝，B=2，3，4｝，则AUB=()A.｛1，2，3，4｝B.｛1，2，3｝C.｛2，3，4｝D.｛1，3，4｝2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递的是()A.y=x12B.y=2−xC.y=log12x D.y=533.在等差数列｛a n｝中，a1=2，a3+a5=10，则a7=()A.5B.8C.10D.144.已知向量BA =(BA =(12,32)，则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.a c>b dB.a c<b dC.a d>b cD.a d<b c6.已知互相垂直的平面α，β交于直线l。
若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n7.对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列8.在x轴上与点(3，2，1)的距离为3的点是()A.(-1,0,0)B.(5,0,0)C.(1,0,0)D.(5，0，0)和(1，0，0)9.设 = ,0< <1,2 −1, 1，，若 =2，则a=()A.2B.4C.6D.810.若tanα=13,tanα+β=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.5611.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.2212.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π813.在△ABC中,a，b，c分別为内角A，B，C所対边的边长，若c2=（a-b）2-+6，C=π3，则ab的值是()A.3B.6C.9D.1214.平行于直线2x+y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=015.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学含答案
2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共6页25题。
全卷满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
在试卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交．一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）。
1．已知U={2，4，6，8}，A={6，8}，则∁U A= A ．{2，4} B ．{2}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6} 2．cos(π2－θ)= A ．－sin θ B ．sin θ C ．－cos θ D ．cos θ3．欧拉恒等式e i π+1=0（其中i 为虚数单位，e 为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式e ix =cosx+isinx 的特例，即当x=π时，e i π=cos π+isin π=－1，得e i π+1=0．根据欧拉公式，e (i π4)表示的复数是 A ．－√22+√22iC．√22－√22iD．－√22－√22i4．已知向量a⃗=(1，0)，b⃗=(0，1)，则2a⃗+3b⃗=A．(－2，－3)B．(2，－3)C．(2，3)D．(－2，3)5．命题∀x∈R，x2－x+1>0的否定是A．∀x∈R，x2－x+1<0B．∀x∈R，x2－x+1≤0C．∃x0∈R，x02－x0+1<0D．∃x0∈R，x02－x0+1≤06．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497．5g∼501．5g之间的概率约为A．0．15B．0．1C．0．5D．0．257．已知tanα=3，则2sinα+cosαsinα－2cosα=A．3B．1C．7D．58．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了。
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含答案
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。
2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交.一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}2,4,6,8,6,8U A ==，则U A =ð（）A.{}2 B.{}2,4 C.{}2,4,6 D.{}2,4,6,8【答案】B 【解析】【分析】利用补集的定义即可求解.【详解】由{}2,4,6,8U =，{}6,8A =，则{}2,4U A =ð，故选：B .2.πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.sin θ B.sin θ- C.cos θD.cos θ-【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式求解.【详解】πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A3.欧拉恒等式iπe 10+=（其中i 为虚数单位，e 为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式i e cos isin x x x =+的特例，即当πx =时，iπe cosπisinπ1=+=-，得iπe 10+=.根据欧拉公式，πi 4e 表示的复数是（）A.B.+C.22i 22-- D.22i 22-【答案】A 【解析】【分析】复数πi 4ππecosisin 44z ==+，进而得出共轭复数为z.【详解】由题意，复数πi 4ππ22e cosisin i 4422z ==+=+.故选：A4.已知向量()()1,0,0,1a b == ，则23a b +=r r （）A.()2,3- B.()2,3-- C.()2,3- D.(2,3)【答案】D 【解析】【分析】运用向量的坐标运算计算即可.【详解】已知向量()()1,0,0,1a b == ，则()()()2321,030,12,3a b +=+=.故选：D.5.命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A.2x ,10R x x ∀∈-+≤B.2x ,10R x x ∀∈-+<C.2000x ,10R x x ∃∈-+≤ D.2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据否定的定义书写命题即可.【详解】全称命题的否定“2000,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：C.6.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g 501.5g ~之间的概率约为（）A.0.1B.0.15C.0.25D.0.5【答案】C 【解析】【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在497.5g 501.5g ~之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在497.5g 501.5g ~之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在497.5g 501.5g ~之间的频率为：50.2520=.用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选：C7.已知tan 3α=，则2sin cos sin 2cos αααα+=-（）A.1B.3C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【详解】将2sin cos sin 2cos αααα+-分子分母同除以cos α可得：2sin cos 2tan 12317sin 2cos tan 232αααααα++⨯+===---.故选：D.8.已知b 克糖水中含有a 克糖()0b a >>，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）A.a m ab b+< B.b m ba a+<C.a m ab m b+>+ D.b m ba m a+>+【答案】C 【解析】【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为a b，加糖之后的浓度为a m b m ++，则有a m ab m b+>+.故选：C9.如图，1C 是函数(01)x y a a =<<的图象，234,,C C C 是由1C 经轴对称变换得到的函数图象，则234,,C C C 对应的函数解析式分别是（）A.,log ,log xa a y a y x y x -===-B.log ,,log xa a y x y a y x -===-C.log ,log ,xa a y x y x y a-==-=D.log ,,log xa a y x y a y x -=-==【答案】B 【解析】【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.【详解】由图可知，2C 与1C 关于直线y x =对称，所以2C 的解析是为log a y x =；3C 与1C 关于y 轴对称，所以3C 的解析是为x y a -=；4C 与3C 关于y x =轴对称，所以4C 的解析是为log a y x =-.故选：B10.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为2%，本利和为y （单位：元），存期数为x ，则y 关于x 的函数解析式为（）A.2009800y x =+B.20010000y x =+C.1100001.02x y -=⨯ D.10000 1.02xy =⨯【答案】D 【解析】【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果.【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为()1000012%10000 1.02y =⨯+=⨯，存期数为2时可得本利和为()221000012%100001.02y =⨯+=⨯，⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以存期数为x 时，本利和为10000 1.02x y =⨯.故选：D11.若函数()f x 满足“对定义域内任意实数,a b ，都有()()22f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭”，则()f x 可以是（）A.()f x x =B.()2f x x=C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】A 【解析】【分析】根据解析式代入检验判断A ，取特殊值检验判断BC ，根据解析式及基本不等式可判断D.【详解】对A ，22a b a bf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b ++=，所以满足条件，故A 正确；对B ，取0,1a b ==，11(0)(1)1,2422f f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，不满足条件，故B 错误；对C ，取0,1a b ==，1(0)(1)1232222f f f ++⎛⎫===⎪⎝⎭，不满足条件，故C 错误；对D ，(),0,a b ∞∈+，ln 22a b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()ln ln ln ln 222f a f b a b ab ++===由2a b +≥知当a b ≠时，2a b+>，故()()22f a f b a b f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A12.向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下：2107416554675678570565428358859286668722872699861057511558117361212112386124001303916530则这组数据的第50百分位数为（）A.8720B.8722C.8724D.8726【答案】C 【解析】【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果.【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16530；又2050%10⨯=，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为8722872687242+=.故选：C .13.如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上的一点，则（）A.DA DP PA+= B.DA AB BP DP++= C.AB BC CP PA ++=D.PA PB BA+=【答案】B【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】DA DP PA -= ，故A 错误；DA AB BP DP ++=，故B 正确；AB BC CP AP ++= ，故C 错误；PA PB BA -=，故D 错误.故选：B14.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式2012h v t gt =-，其中2010m /s ,g v ≈为初速度.向盼归同学以011m /s v =竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为（）A.1.8s B.2.8sC.3.8sD.4.8s【答案】A 【解析】【分析】令25112h t t =->，求解t ，求出排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间.【详解】由题意得：2115h t t =-，令25112h t t =->，即211205t t -+<，解得0.22t <<，所以排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为20.2 1.8s -=.故选：A.15.习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t （单位：h ），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为（）A.0.150B.0.400C.0.450D.0.850【答案】D【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为：()004000300015100850....++⨯=，故选：D二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）16.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，则（）A.a b= B.a b=C.a b⊥D.//a b【答案】BC 【解析】【分析】根据向量的坐标可判断A ；计算向量的模判断B ；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.【详解】由于()()1,1,1,1a b ==- ，则a b ≠ ，A 错误；由于a b === ，B 正确，因为()11110⨯+⨯-=，故a b ⊥，C 正确；因为()11110⨯--⨯≠，故,a b不平行，D 错误；故选：BC17.已知e 2.71828= 为欧拉常数，π 3.14159= 为圆周率，则（）A.3πe e <B.3πe 3> C.e e3π< D.e 33π>【答案】AC 【解析】【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可.【详解】因为函数e x y =是增函数，且3π<，所以3πe e <，故A 正确；因为函数3y x =是增函数，且e 3<，所以33e 3<，又函数3x y =是增函数，且3π<，所以3π33<，所以3πe 3<，故B 错误；因为函数e y x =在0,+∞是增函数，且3π<，所以e e 3π<，故C 正确；因为函数πx y =是增函数，且e 3<，所以e 3ππ<，所以e e 33ππ<<，D 错误.故选：AC18.如图，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 平行的是（）A. B.C. D.【答案】BCD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.【详解】对A ：如图：连接BC ，交MN 于点E ，连接EQ ，则EQ ，AB ⊂平面ABC ，且直线EQ 与直线AB 不平行，所以直线AB 与平面MNQ 相交，故A 错误；对B ：如图：因为////AB CD MQ ，MQ Ì平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故B 正确；对C ：如图：取AC 中点F ，易证,,,M N Q F 四点共面，且//AB QF ，QF ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 正确；对D ：如图：连接CD ，则////MN CD AB ，MN ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）19.已知1a b == ，且0a b ⋅=，则a b += ______.【解析】【分析】根据a b += .【详解】a b +===.20.已知事件A 与事件B 相互独立，且()()0.7,0.8P A P B ==，则（1）()P A B ⋂=______；（2）()P A B = ______.【答案】①.0.56②.0.94【解析】【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可.【详解】()()()0.56P A B P A P B ⋂=⨯=；()()110.30.20.94P A B P A B ⋃=-⋂=-⨯=.故答案为：0.56；0.9421.已知3log 21x=，则24x x +=__________.【答案】12【解析】【分析】根据指数与对数的运算法则计算．【详解】由3log 21x=得23x =，则24(2)9x x ==，所以243912x x +=+=，故答案为：12.22.已知函数()sin cos f x x x m =+的最大值为32，则（1）常数m 的值为______；（2）()f x 取最大值时，x 的一个取值为______.【答案】①.1②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据倍角公式可得()1sin 22f x x m =+，进而结合正弦函数的性质求解即可.【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x m x m =+=+，则()max 1322f x m =+=，即1m =.当()f x 取最大值时，sin 21x =，即π22π2x k =+，k ∈Z ，即ππ4x k =+，k ∈Z ，所以x 的一个取值为π4.故答案为：1；π4（答案不唯一）.四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）23.《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马V ABCD -中，VD ⊥底面ABCD ，点E 是VC 的中点，连结,,DE BD BE.（1）证明：,,VD AD CD 两两垂直；（2）设阳马V ABCD -的体积为1V ，四面体E BCD -的体积为2V ，求12V V 的值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质可得VD AD ⊥，VD CD ⊥，和“阳马”的定义得AD CD ⊥；（2）取DC 的中点G ，连接EG ，可得EG ⊥底面ABCD ，再利用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】由VD ⊥底面ABCD ，,AD CD ⊂底面ABCD ，则VD AD ⊥，VD CD ⊥，又在阳马V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，因此可得,,VD AD CD 两两垂直.【小问2详解】取DC 的中点G ，连接EG ，又点E 是VC 的中点，则//VD EG ，且12EG VD =，又VD ⊥底面ABCD ，则EG ⊥底面ABCD ，则四面体E BCD -的体积211111113232243V DC BC EG DC BC VD DC BC VD ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又阳马V ABCD -的体积113V DC BC VD =⋅⋅，则2114V V =，因此可得124V V =.24.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S .已知π33,32B S ==，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求ABC V 的周长.①a c +=；②ab =注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】3+【解析】【分析】若选择①，根据面积公式求ac ，再根据余弦定理求b ，即可求解周长；若选项②，根据面积公式求角C 以及角A ，再结合ab =，即可求解周长.【详解】若选择①a c +=，1333sin 242S ac B ac ===，得6ac =，()2222222cos 327169b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，得3b =，所以3a b c ++=+；若选择②ab =1sin 22S ab C C ===，得1sin 2C =，因为π3B =，所以π6C =，那么ππ2A B C =--=，sin 2b a B a ==，232ab a ==a =，3b =，1sin 2c a C a ===，所以3a b c ++=+，所以ABC V 的周长为3+25.已知函数()ln (,,R 1m f x a b a b m x =++∈+，且0)m ≠.（1）当0a =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；（2）对给定的非零常数m ，是否存在实数,a b ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，2m a =-，ln 2m b =-【解析】【分析】（1）结合函数的定义域，分区间(),1∞--和()1,∞-+，证明函数的单调性；（2）根据函数的定义域，确定2m a =-，并根据()00f =确定eb a -=，并代入验证函数是奇函数.【小问1详解】当0a =时，()ln1m f x b x =++，设121x x >>-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x >>-，所以12110x x +>+>，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,∞-+上单调递减；设121x x <<-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x <<-，所以12110x x +<+<，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在(),1∞--上单调递增；【小问2详解】()()1ln 1a x mf x b x ++=++，因为1x ≠-，若函数是奇函数，则1x ≠，即20a m +=，则2m a =-，所以()()1ln 1a x f x b x -=++，()0ln 0f a b =+=，即e b a -=，所以()1ln e 1b x f x b x -⎛⎫-=⋅+ ⎪+⎝⎭，()11ln e ln e 11b b x x f x b b x x --⎛⎫⎛⎫--+-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，()()2ln e 2220b f x f x b b b -+-=+=-+=，所以只要满足2m a =-，e b a -=，即2m a =-，ln 2m b =-时，函数()f x 是奇函数.【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，()00f =.。
2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学含答案
2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学（本试卷分I、II两卷，满分100分，考试时间90分钟）第I卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算(1+i)i的值是A．1+iB．-1+iC．1-iD．-1-i2．已知集合A={-1,0,1,3},B={0,1,2,4},则A∩B=A．{0,1}B．{-1,3}C．{2,4}D．{-1,0,1}3．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则A>B是a>b的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f(x)=a(x+3)(a>0且a≠1)的图像一定过点A．(0,3)B．(3,1)C．(-3,0)D．(-3,1)5．“山海有情，天辽地宁”。
为推动辽宁文旅产业快速发展，辽宁电视台推出了2024年春节“回辽过年、来辽过年”大型系列活动。
某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像（如图），其下半部可看成直径约为2m的球体，则雪人下半部的体积（单位：m³）约为πA．43πB．83πC．32πD．326．平流层是指地球表面以上10km到50km的区域。
下列不等式中，能表示平流层高度的是A．x+20<30B．x-20<30C．x+30<20D．x-30<207．已知tanα=√3，则tan2α的值为3A．-√3B．√32C．√3D．28．已知a,b是空间中两条不同的直线，α,β,γ是空间中三个不同的平面，下列命题正确的是A．若a∥α,b∥α,则a∥bB．若a⊥α,b⊥α,则a∥bC．若a⊥b,a⊥α,则b∥αD．若a⊥β,β⊥γ,则a⊥γ-x²，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是9．已知函数f(x)=5xA．(-2,-1)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,+∞)10．如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4．8m，圆上最低点与地面距离为0．8m，60s转动一周。
(完整版)高中数学学业水平测试必修2练习和答案解析
WORD 格式 . 整理版高中数学学业水平测试系列训练之模块二一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题 5 分，共 50 分）．1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A ．1B ． 1C ． 2D ． 323．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ） A ．α∥β B ．α与β订交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β订交4．以下四个说法① // α，bα , 则 //b② a ∩α＝ P ，b α，则 a 与 b 不平行aa③ a α，则 a // α ④a // α， b // α，则 a // b此中错误的说法的个数是（ ）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个5．经过点 P( 2, m) 和 Q (m,4) 的直线的斜率等于 1，则 m 的值是 （）A ． 4B ． 1C ． 1 或 3D ． 1 或 4 6．直线 kx － y ＋ 1＝3k ，当 k 改动时，全部直线都经过定点（）A ． (0 ， 0)B ． (0 ， 1)C ． (3 ， 1)D ． (2 ， 1)7．圆 x 2y 2 2x 2 y 0 的周长是（ ）A ． 2 2B ． 2C ． 2D ． 48．直线 x － y+3=0 被圆（ x） 2 （ y － ） 2=2 截得的弦长等于（）+2+2A ．6B ． 3C ． 23D ． 629．假如实数 x, y 知足等式 ( x 2)2y23 ，那么 y的最大值是（）xA ．1B ． 3C ． 3D ． 323210．在空间直角坐标系中，已知点 P （ x ， y ， z ），给出以下 4 条表达：① 点 P 对于 x 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ）② 点 P 对于 yOz 平面的对称点的坐标是（ x ，－ y ，－ z ） ③ 点 P 对于 y 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ） ④ 点 P 对于原点的对称点的坐标是（－ x ，－ y ，－ z ）此中正确的个数是（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版11 x2 y22x 4 y 20 0，则x2y2 的最小值．．已知实数 x，y 知足关系：12．向来线过点（－ 3，4），而且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 _____ _____ ．13．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________．14．在棱长为a的正方体 ABCD－ A B C D 中， D 到 B C 的1 1 1 1 1 1距离为 _________， A 到 A1C 的距离为 _______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15．已知：一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在此中有一个高为x 的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为什么值时，圆柱的侧面积最大．16．以下图，四棱锥P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、PC的中点， PA＝ AD＝a．（1）求证： MN∥平面 PAD；（2）求证：平面 PMC⊥平面 PCD．17．过点5， 4 作向来线l，使它与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5．18．（ 12 分）已知一圆经过点A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C在直线 l ：x 2 y 30 上，求此圆的标准方程．19．（ 12 分）一束光芒l 自 A（－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙ C： x2＋ y2－4x－4y＋7＝0上．（1）求反射线经过圆心C时，光芒l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围．20．（ 14 分）如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F分别是 BB1、 CD 的中点（1）证明：AD D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED面A1FD1．高中数学学业水平测试系列训练之模块二（参照答案）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题5 分，共 50 分）．CDDCB CADBC二、填空题：请把答案填在题中横线上（每题6 分，共 24 分）．11． 3010 5；12． x 3y 9 0 或 4x y 160 ；13． 48cm 3；14． 6a ，6a ；23三、解 答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15． 解：（ 1）设内接圆柱底面半径为 r .S 圆柱侧 2 r x ①r H xrR (Hx) ②RHH② 代入 ①S 圆柱侧2 xR( H x) 2 R x 2 Hx (0 x H ) H H22 （ 2） S 圆柱侧2 R x 2Hx2 R x HHHH2 4x H 时S圆柱侧最大RH2216．证明：如答图所示， ⑴ 设 PD 的中点为 E ，连接 AE 、NE ，由 N 为 PD 的中点知 EN //1DC ，2又 ABCD 是矩形，∴ DC // AB ，∴ EN //1AB2又 M 是 AB 的中点，∴ EN // AN ，∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而 AE 平面 PAD ， NM 平面 PAD∴MN ∥平面 PAD证明： ⑵ ∵PA ＝AD ，∴ AE ⊥ PD ，又∵ PA ⊥平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，∴ C D ⊥PA ，而 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 PAD∴ C D ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴ AE ⊥平面PCD ，∵MN ∥AE ，∴ MN ⊥平面 PCD ，又 MN 平面 PMC ，∴平面 PMC ⊥平面 PCD.PNEDCAMBWORD 格式 . 整理版17．剖析：直线 l 应知足的两个条件是（ 1）直线 l 过点（－ 5,－4）；（ 2）直线 l 与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5.假如设 a ，b 分别表示 l 在 x 轴， y 轴上的截距，则有1 b5 .a2这样就有以下两种不一样的解题思路：第一，利用条件（ 1）设出直线 l 的方程（点斜式），利用条件（ 2）确立 k ； 第二，利用条件（ 2）设出直线 l 的方程（截距式），联合条件（ 1）确立 a ， b 的值 .解法一：设直线 l 的方程为 y 4k x 5 分别令 y0， x 0 ，得 l 在 x 轴， y 轴上的截距为：a5k4，b5k 4k由条件（ 2）得 ab105k 4 5k 410k得 25k 230 k 16 0 无实数解；或 25k250k16 0，解得 k 18， k 2 25 5故所求的直线方程为：8x 5y20 0 或2x 5y10 0解法二：设 l 的方程为x y 1，由于 l 经过点5， 4，则有：ab5 4 1 ①又ab10 ②ab5 b1a5 a5联立 ① 、② ，得方程组ab解得2或b4 b2ab10所以，所求直线方程为：8x 5y 20 0 或2x 5y 10 0 .18．解：由于 A （ 2，－ 3），B （－ 2，－ 5） ，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 （ 0，－ 4），y又k AB5 ( 3)1，所以线段 AB 的垂直x-2y-3=02 22O x均分线的方程是y2x 4 ．A联立方程组 x2 y 3，解得 x 1 ．By 2 x 4y 2所以，圆心坐标为C （－ 1，－ 2），半径r| CA |(2 1)2( 3 2) 2 10 ，所以，此圆的标准方程是(x1)2 ( y 2) 2 10 ．19．解： ⊙ C ： ( x － 2) 2＋ ( y －2) 2＝ 1（Ⅰ） C 对于 x 轴的对称点 ′(2，－ 2) ，过 ， ′的方程 ： x ＋ y ＝ 0 为光芒 l 的方程．CAC优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版切时，有 2 k 2 3k 3 1 k 4 或k31 k234 ∴过 A′，⊙ C 的两条切线为y 3 4(x 3), y 33(x 3) 令y＝0，得3 , x2 3 4x1 14∴反射点M x轴上的活动范围是3 ,1在420．（ 1）AC1是正方体AD 面 DC 1 , 又 D1F 面 DC1 , AD D1 F （2）取AB中点G，连接A1G，FG , F是 CD中点GF / / AD 又 A1 D1 / / ADGF // A1 D1 GFD1 A1是平行四边形A1G // D1 F设 A1 G AE H则 AHA1是 AE与 D1 F所成的角E是BB1的中点Rt A1 AG Rt ABE GA1 A GAH A1 HA 90 即直线 AE 与D1 F所成角是直角（3）AD D1 F（ (1)中已证）AE D1 F ,又 AD AE A, D1 F 面AED ,又 D1 F 面 A1 FD 1 ,面 AED 面 A1 FD1。
2025年安徽高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)
2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.43.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥4.函数()1xf x x =+-的定义域是（）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞5.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.67.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-8.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥ B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β10.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．2711.若一个圆台的高为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.3B.3C. D.12.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >13.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为4的矩形C.面积为D.面积为324的菱形14.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)15.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）A.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -16.要得到函数()1sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 43a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.18.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0ax b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．19.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.20.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率________．21.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．24.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（参考答案）二、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.25.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【解析】C 依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .26.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【解析】D 因为21>，所以()24f =.27.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【解析】C命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<.28.函数()1xf x x =+-）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞【解析】D 由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.29.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A 因为关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根，所以240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，因为{}3mm >∣是集合{2m m ≤-∣或}2m ≥的真子集，所以“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的充分不必要条件.30.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【解析】B 由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====.31.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-【解析】B 因为向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，且a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.32.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<【解析】D 由x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <可得01a b a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故02ax b x +≥-可变形为102x x +≤-，不等式102x x +≤-等价于()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得12x -≤<.33.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β【解析】A 对A ：根据线面垂直的性质：两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，故选项A 正确；对B ：若m ⊥n ，n //α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项B 错误；对C ：若m //β，β⊥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项C 错误；对D ：若m //n ，m //β，则n //β或n β⊂，故选项D 错误.34.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．27【解析】C 由题意知[4.7，0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.35.，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.73π3B.53π3C. D.【解析】A 设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=，又因为圆台的高h 1r r '-==，故有12r r '==，，圆台的体积()()221173πππ124333V h r r r r ''=++=++=圆台．36.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >【解析】A 若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，则141x y+=，144()224444y y y x x x x y x y +=++=+++ ，当且仅当48x y ==时取得等号，不等式234y x m m +>-恒成立，等价为23()4min ym m x -<+，则234m m -<，解得14-<<m ．37.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为324的矩形C.面积为D.面积为4的菱形【解析】C 451D O A O C C D '∠''''''=== ，，所以O D ''=故在原图中，OD =1CD C D ''==3OC ===，所以四边形OABC 为菱形(如图所示)，3OA =，则原图形面积为S OA OD =⨯=38.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】C 因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内.39.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）B.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -【解析】B 在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC = ，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+ .40.要得到函数()13sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【解析】A ()13πsin 2cos 2sin 2223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把函数()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足要求，A 正确，其他选项均不合要求.41.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,sin 43a A B π===，则b =（）A.3B.C.D.【解析】A因为3,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin ab A B =，23=，解得3b =.42.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0a x b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9【解析】C 当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg0a x b x +-⋅≤恒成立，得当10x b +-≥时，2lg a x ≤恒成立，且当10x b +-≤时，2lg 0a x ≥恒成立，即当1x b ≥-时，2x a ≥恒成立，且当1x b ≤-时，02x a <≤恒成立，因此21a b ≤-且21a b ≥-，则21a b =-，即21a b +=，于是12124(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时取等号，所以12a b +的最小值为8.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．43.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.【解析】已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()23f -=，所以()()()230f f f -==．44.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率__________．【解析】记事件A ：“李明成绩不低于90分”，事件B ：“李明成绩不低于60分且低于90分”，事件C ：“李明成绩低于60分”，则()0.1P A =，()0.6P B =，A 与B 互斥，所以()()110.10.60.3P C A B P A B =+=-+=--=.45.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【解析】2a b += ，46.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．【解析】如下图所示，连接1AD 、AE 、DE ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，因为11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，所以，异面直线1BC 和1D E 所成角为1AD E ∠或其补角，因为AE ===，同理可得1AD =，DE =，由勾股定理可得13D E ===，由余弦定理可得222111112cos 22AD D E AE AD E AD D E +-∠==⋅，所以，145AD E ∠=，故异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为45 .三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．47.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【解析】（1）在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，12EF AD =，又由（1）可得BC ∥AD ，且12BC AD =，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB．48.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.【解析】（1）由诱导公式得，原式sin sin 32tan cos 2αααα--===--.（2）原式tan 11tan 211αα+==--.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【解析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x xx x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(1),1,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(1)24006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.。
2024-2025学年广东省第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷二及答案
2025年广东省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．集合𝐴={0,1,2}，𝐵={―1,0,3}，则𝐴∩𝐵=（ ）
A．{0,1}B．{0}C．{0,1,2}D．{―1,0,1}2．命题“∀𝑥≥0，𝑥2≥0”的否定为（ ）
A．∃𝑥≥0，𝑥2<0B．∃𝑥<0，𝑥2≥0
C．∀𝑥<0，𝑥2≥0D．∀𝑥≥0，𝑥2<0
3．已知复数𝑧=2+3i，则|𝑧―1|=（ ）A．10B．13C．2D．44．不等式𝑥2―𝑥―2<0的解集是（ ）
A．{𝑥|―1<𝑥<2 }B．{𝑥|𝑥<―1 或𝑥>2}
C．{𝑥|𝑥<―2 或𝑥>1}D．{𝑥|―2<𝑥<1 }
5．下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( )
A．y=x12B．y=(13)xC．y=log0.5xD．y=
3
x
6．已知角𝛼的顶点为坐标原点，始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边经过点𝑃(―1,3)，则cos𝛼=（ ）
A．―1B．3C．―12D．32
7．为了得到函数𝑦=cos𝑥+
π
6的图象，只需将函数𝑦=cos𝑥的图象上所有的点（ ）
A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π7个单位长度
C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π9个单位长度
8．已知𝑓(𝑥)=e𝑥―2,𝑥<4log5(𝑥―1),𝑥≥4 ，则𝑓(𝑓(6))等于（ ）
A．15B．1e
C．1D．2
9．sin80°cos50°―cos80°sin50°=（ ）A．32B．22C．12D．010．已知向量 𝑎=―1，3，𝑏=2，𝑚 ，若 𝑎//𝑏 ，则 𝑚=（ ）A．―4B．―6C．6D．411．已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（ ）A．中位数为2B．众数为2C．70百分位数为3D．平均数为312．已知平面𝛼，𝛽和直线𝑚,𝑛，若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛼，则“𝑚//𝛽，𝑛//𝛽”是“𝛼//𝛽”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件