11.6-圆锥曲线的综合问题
第九节 圆锥曲线的综合问题
所以|AB|＝ 1＋2|x1－x2|
m2 1 2 2 ＝ 3· x1＋x2 －4x1x2＝ 3· m －m ＋4＝ 3· 4－ ． 2 2 |m| 1 又 P 到直线 AB 的距离为 d＝ ，所以 S△PAB＝ |AB|· d 2 3 2 2 m ＋ 8 － m m 2 2 m2 |m| 1 3 1 1 4－ · ＝ · 4－ · ＝ m＝ m28－m2 ≤ · 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ＝ 2． 当且仅当 m＝± 2∈(－2 2，2 2)时取等号，所以(S△PAB)max＝ 2．
圆锥曲线的综合问题
结束
第九节
圆锥曲线的综合问题
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的 方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的 方程 F(x， y)＝0， 消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程．
答案：A
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
圆锥曲线的综合问题
结束
考点一
直线与圆锥曲线的位置关系
[典例引领] (2016· 全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴 于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p＞0)于点 P，M 关于点 P 的对 称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H． |OH| (1)求 ； |ON| (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由．
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
圆锥曲线的综合问题
结束
2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点 (1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后， 应注意讨论二次 项系数是否为零的情况． (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时， 判别式 Δ 起着关键 性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取 舍某些解以免产生增根．
第五节-圆锥曲线的综合问题课件
教材研读 栏目索引
5.(2017无锡普通高中高三调研)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与椭圆 + =1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1 ,F2 分别为双曲线C的左,右焦
点,P为右支上任意一点,则 的最小值为
.
答案 8
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解析 椭圆 + =1的焦点为(±2,0),离心率为 ,则a2+b2=c2=4,c=2,则 = =2,a=1,b= ,又点P在双曲线的右支上,所以|PF1 |-|PF2 |=2,且|PF2 |≥c-a
为 ,且过点P(2,- 1).
(1)求椭圆C的方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两 条直线分别交椭圆C于两点A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),若直线 PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出 这个定值.
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解析 (1)因为椭圆C的离心率为 = ,所以
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2.最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高中数学的重要内容,试题把代数、三角和几 何等有机结合起来,从而使问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方 法有:(1)利用定义求解;(2)构造基本不等式求解;(3)利用数形结合求解; (4)构造函数求解.
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3.范围问题
求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构 造函数,然后去分析、研究问题,转化问题和解决问题. 对于圆锥曲线上 的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而 使一些线段的长度与a,b,c,e之间构成函数关系,处理这类问题时常常用 到函数思想.
分别为F1 ,F2 ,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,椭圆C的离心率为e.
广东省高三数学 第11章第6节 圆锥曲线的综合问题课件 理
2过 A作 x轴 的 垂 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 P,所 以 以
PAB为 直 角 的 RtABP只 有 一 个 .
同 理 ,以 PBA为 直 角 的 RtABP只 有 一 个 ．
若 以 A P B 为 直 角 , 设 P点 坐 标 为 ( x , 1 x 2 1)． 8
又 圆 C与 直 线 y x切 于 原 点 0,0，
代 入 圆 C的 方 程 中 ， 得 m 2 n 2 8 .②
联
立
方
程
①
和
②
组
成
方
程
组
| m
m
2
n n
| 4 2 8
,解
得
m
n
2 2
.
故 圆 C的 方 程 为 x 22 y 22 8.
2 依 题 意 知 a 5， 所 以 a 2 2 5，
金太阳新课标资源网 老师都说好!
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/162022/1/162022/1/162022/1/16
圆锥曲线的综合问题PPT教学课件
应激性
动物
反射
人类
思维、意识
意识是自然界长期进化的产物，是 社会的直接产物。
黑猩猩灭火
后黑来， 人猩们猩把经黑过猩人猩 放样它们练到点一的，船上个反它上火水复能，，桶训打同给， 让开它水灭龙火头，，但 它用此水时桶已放束水手 无灭策火了。。
思考：人脑与动物的大脑有何区别？人脑 有什么特殊的作用？
M（0,1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足 OP 1 (OA OB) 2
当l绕点M旋转时，求
，点N的坐标为 (1 , 1)
22
，
（Ⅰ）动点P的轨迹方程。
（Ⅱ已知椭圆的中心在原点，离心率为 1 一个焦点是F（-m,0)(m是大于0的常数） 2
常德市一中 高二数学备课组
1.解析几何的主要内容： 通过坐标用代数方法来研究几何图形的
一个数学分科，其中圆锥曲线作为研究曲线和 方程的典型问题，成了解几的主要内容。
2.本章的重点： ①圆锥曲线的标准方程及简单几何性质。 ②以圆锥曲线为载体，综合考查正确理解
概念，严谨的逻辑推理，正确迅速的计算能力 运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力
人脑的功能：
人脑与动物脑的区别：
人脑是意识的物质承担者，是产生 意识的生理基础，是产生意识的物质器官， 意识只是人脑特有的机能。
是否有了人脑就一定会产生意识呢？
有了人脑并不等于就有了意识。人只 有生活在一定的社会环境中，客观存在通 过人的实践作用于人脑，人脑才会形成对 客观存在的反映，这才有了意识。
高考要求： 1.掌握椭圆定义、标准方程和椭圆的简单几 何性质，了解椭圆的参数方程。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的 简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的 简单几何性质。 4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画 椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实 际问题中初步应用。 5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和 对立统一等观点的认识。
圆锥曲线的综合问题课件演示文稿[可修改版ppt]
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相交 Δ>0 直线与圆锥曲线有 两个 交点
相切 Δ＝0 相离 Δ<0
直线与圆锥曲线有 一个 切点 直线与圆锥曲线 无 公共点
2.直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－ y1| ， 其 中 求 |x2 － x1| 与 |y2 － y1| 时 ， 通 常 作 如 下 变 形 |x2 － x1| ＝ x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2，使用韦达定理 即可解决．
2．函数思想 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相 互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及 a、b、c、 e、p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有 效．
3．坐标法 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训 练． 4．对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条 件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题 速度，促成问题的解决．
[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点引一 弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如 图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝xy11－－xy22＝－12.
圆锥曲线的综合问题(答案版)
圆锥曲线的综合问题【考纲要求】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即⎩⎨⎧==++0),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02=++c bx ax(1)当0≠a 时，设方程02=++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长(1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=ak ∆⋅+21=1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 4、一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”双基自测1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解：y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，点在椭圆内部，故线与椭圆相交．答案A 2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析：根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-11222222221221b y a x by a x ，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 答案 B5．y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1【考向探究导析】考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.]21,21[-B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4] [审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆 x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解：由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题 【例2】若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3； (2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k ＋1，x 1x 2＝3m 2－13k ＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若 AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程作差a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a ，再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝ 2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1. 法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① ，设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的定点定值问题常见的类型(1)直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题．例3、(2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点． (1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得 |OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝ 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ， |OE |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．【训练3】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值． [审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．(1)解:因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k ＋2，x 1·x 2＝－1k ＋2，|CD |＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k ＋2，由已知得22k 2＋1k ＋2＝322， 解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为]0,1[k-，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋1y 1x 2－1，因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22x 1＋12y 21x 2－12＝2－2x 222－2x 21·x 1＋12x 2－12＝1＋x 11＋x 21－x 11－x 2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝21－k1＋k k 2＋2＝－21＋k 2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号，∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →为定值．[训练4](2012年高考福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程； (2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8.又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)所以P (－4k m ，3m)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4，4k ＋m ) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1，0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP =(－4k m －x 1，3m)，MQ =(4－x 1，4k ＋m )，由0MP MQ ⋅=，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m＋x 21－4x 1＋3＝0. (* *)由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【训练5】已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由抛物线定义AF ＝x 1＋1，DF ＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 故|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.考向四 最值与范围问题1．求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法(1)几何法：题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决；(2)代数法：题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数 的最值，求最值的常见方法是判别式法、基本不等式法，单调性法等．例4、已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程； (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程； (2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵22=a ，12=b ，∴1=c ，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ),21(t -，则圆半径r ＝23)2()21(=---，由|OM |＝r ，得23)21(22=+-t ，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为49)2()21(22=±++y x(2)设直线AB 方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k 2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为)0,21(-【训练6】已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当 直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 斜率是12时,l 方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②①2842121py y y y 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③,由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 方程为x 2＝4y .(2)设l :y ＝k (x ＋4)，BC 中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 中垂线为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)．[训练7]已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A ．(－23，0)B ．(0，23)C ．(－32，0)D ．(0，32)解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp >0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)>0，即3p 2－2p <0，解得0<p <23.考向五 探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．[例5】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有 FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设P (x ，y )是C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －12＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．FA →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③，由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0， 即3－22＜m ＜3＋22，由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．【训练8】(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0，2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0，2)的距离为d ，则d ＝（x －0）2＋（y －2）2＝x 2＋（y －2）2＝3b 2－3y 2＋（y －2）2＝－2（y ＋1）2＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1，d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2（1－1m 2＋n 2）.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0. ∴S △OAB ＝1m 2＋n 2（1－1m 2＋n 2）≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)或(－62，－22)， 此时△OAB 的面积为12.。
圆锥曲线的综合问题(含答案)
课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.【热身练习】1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.5．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k .由|k |4＋6k 21＋2k ＝103，解得k ＝±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．【试一试】1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 【由题悟法】1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【由题悟法】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b。
圆锥曲线的综合问题PPT教学课件
令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0 ∴y1y2=y02－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项∴. |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.
知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 x2 y2 =1的右支上.
45 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置， 利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得
kPA= 3, 所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角
应是北偏东30°.
则 2v0 sin
解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的
直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、 (－5，2). 由于B、C同时发现动物信号，
记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.
于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程
为 3x－3y +7 3=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，
一、基本知识概要：
重点难点： 正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥 曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨 论、等价转化等数学思想的运用.
思维方式： 数形结合的思想，等价转化，分类讨论， 函数与方程思想等.
一、基本知识概要：
特别注意： 要能准确地进行数与形的语言转换和运算、 推理转换，并在运算过程中注意思维的严 密性，以保证结果的完整。
二、例题：
例1. A，B是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两 点，且OA OB（O为坐标原点）求证：
圆锥曲线的综合问题课件
圆锥曲线在生活中的应用和价值
展望未来研究方向
探索圆锥曲线在各个领域的应用前景
关注圆锥曲线研究的最新进展和趋势
深入研究圆锥曲线的性质和几何特征
探讨圆锥曲线与其他数学分支的联系与融合
汇报人：
感谢观看
立体与圆锥曲线的交点求解方法
典型例题的解析与讨论
立体与圆锥曲线的最值问题
定义：最值问题是指求解某个函数在一定范围内的最大值或最小值
解题方法：常用的解题方法有代数法、几何法、三角法等
注意事项：在解题过程中需要注意函数的定义域、取值范围等限制条件
分类：根据不同的分类标准，可以分为不同的类型
06
圆锥曲线在实际问题中的应用
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的一般方程
03
圆锥曲线与直线的综合问题
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的交点求解
直线与圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的交点问题
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的交点求解方法
直线与圆锥曲线交点的应用
直线与圆锥曲线交点问题的注意事项
,a click to unlimited possibilities
圆锥曲线的综合问题课件
目录
01
添加目录标题
02
圆锥曲线的定义和性质
03
圆锥曲线与直线的综合问题
04
圆锥曲线与平面的综合问题
05
圆锥曲线与立体的综合问题06圆锥来自线在实际问题中的应用07
总结与展望
01
添加章节标题
02
圆锥曲线的定义和性质
直线与圆锥曲线的最值问题
方法技巧专题11 圆锥曲线综合问题 (解析版)
【练习 2】已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的离心率为 1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆
与直线 x y 6 0 相切，过点 P 4, 0 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点。
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 关于 x 轴的对称点是点 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点。
【解析】（1）由题意知，离心率 e
c a
1 2
，所以 e2
c2 a2
a2 b2 a2
1 4
，即 a2
4 b2 3
又 b 6 3 ，所以 a2 4 ， b2 3 ，所以椭圆的方程为 x2 y2 1 ．
11
43
（2）由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y k x 4 ，
方法技巧专题 11 圆锥曲线的综合问题（解析版）
一、 圆锥曲线的综合问题知识框架
二、知识点及例题
【一】定点问题 定点问题：圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的
007 界虚的 、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清． 习 学 ： 号 众 公
,
所以直线 的方程为
化简得
.
直线 过定点
.
2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知点 A，B 是抛物线 C : y2 2 px( p 0) 上关于轴对称的两点，点 E 是抛物线 C 的准线与 x
轴的交点.
（1）007若 EAB 是面积为 4 的直角三角形，求抛物线 C 的方程；
的
（界 2）若直线 BE 与抛物线 C 交于另一点 D，证明：直线 AD 过定点.
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(§11.6 文)（§12.6理）圆锥曲线的综合问题知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点，它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。
无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。
因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。
纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题：一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；（2）求平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。
在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：（1）求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。
在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性，使运算简捷。
（2）注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。
（3）注意用圆锥曲线的定义解题，有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。
（4）对称问题是高考的热点，注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的特点。
（5）解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。
反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.疑难点、易错点剖析1．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．直击考点考点一直线与抛物线的综合问题【例1】如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l 的截距式方程； （2）证明：11y +21y =b1； （3）当a =2p 时，求∠MON 的大小. 剖析：易知直线l 的方程为a x +by=1，欲证11y +21y =b 1，即求2121y y y y +的值，为此只需求直线l 与抛物线y 2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y 1+y 2、y 1y 2的值，进而证得11y +21y =b1.由·=0易得∠MON =90°.亦可由k OM ·k ON =－1求得∠MON =90°. （1）解：直线l 的截距式方程为a x +by =1.①（2）证明：由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay －2pab =0.②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故y 1+y 2=bpa2-，y 1y 2=－2pa . 所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1.（3）解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2， 则k 1=11x y ，k 2=22x y. 当a =2p 时，由（2）知，y 1y 2=－2pa =－4p 2， 由y 12=2px 1，y 22=2px 2，相乘得（y 1y 2）2=4p 2x 1x 2， x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(pp =4p 2， 因此k 1k 2=2121x x y y =2244p p -=－1.所以OM ⊥ON ，即∠MON =90°.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2）、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率. 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px .∵点P （1，2）在抛物线上， ∴22=2p ·1，得p =2.故所求抛物线的方程是y 2=4x ，准线方程是x =－1. （2）设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB . 则k P A =1211--x y （x 1≠1），k PB =1222--x y （x 2≠1）. ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A =－k PB . 由A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在抛物线上，得 y 12=4x 1， ①y 22=4x 2，②∴1412211--y y =－1412222--y y . ∴y 1+2=－（y 2+2）.∴y 1+y 2=－4. 由①－②得直线AB 的斜率 k AB =1212x x y y --=214y y +=－44=－1（x 1≠x 2）.考点二 函数最值与椭圆的综合问题【例2】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =23，已知点P （0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.思路分析：设椭圆方程为22a x +22by =1，由e =23知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，然后将距离转化为y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y =－21是否在y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标. 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是22a x +22by =1，其中a ＞b ＞0待定.由e 2=22a c =222ab a -=1－（a b ）2可知a b =21e -=431-=21，即a =2b . 设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2（1－22by ）+y 2－3y +49= 4b 2－3y 2－3y +49=－3（y +21）2+4b 2+3，其中－b ≤y ≤b . 如果b ＜21，则当y =－b 时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23）2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾.因此必有b ≥21成立，于是当y =－21时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3，由此可得b =1，a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是42x +y 2=1.由y =－21及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－21），点（3，－21）到点P 的距离都是7.解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ，∵e =23， ∴a =2b .设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2cos 2θ+（b sin θ－23）2=－3b 2·（sin θ+b21）2+4b 2+3.如果b21＞1，即b ＜21，则当sin θ=－1时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23） 2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾.因此必有b 21≤1成立，于是当sin θ=－b21时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3. x =2cos θ， y =sin θ.其中a ＞b ＞0待定，0≤θ＜2π， 由此得b =1，a =2.所以椭圆参数方程消去参数得42x +y 2=1，由sin θ=21-，cos θ=±23知椭圆上的点（－3，－21），（3，－21）到P 点的距离都是7. 锦囊妙计：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论. 举一反三：1.对于上例，根据图形的几何性质，以P 为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.x 2+（y －23）2=7，x 2+4y 2=4b 2，得3y 2+3y －49=4b 2－7， 由Δ=0得b 2=1，即椭圆方程为x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－21）、（3，－21）.2. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点P 的坐标为(0,b)，求点P 到该椭圆上点的最大距离。
解：椭圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==b y a x 。
设椭圆上任一点Q 的坐标为(acos θ,bsin θ)，则.))(sin ()sin (cos ||2242222222222b a a b a b b a b b a PQ -+-+--=-+=θθθ ①.||.||,sin ,2,12222242222222ba a PQb a a PQ b a b b a b a b -∴---=≥≤-有最大值取得最大值时当即若θ②.2||.4||,1sin ,2,122222b PQ b PQ b a b b a b 有最大值取得最大值时当即若∴-=<<>-θ 本题使用椭圆的参数方程，从而借助三角函数求最大值。
但要注意讨论1222≤-ba b 及提示：由1222>-ba b 两种情况。
考点三 直线与双曲线、椭圆的综合问题【例3】 （2007年东北重点中学高三调研考题）已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（如下图）2（1）当l 1与l 2夹角为60C 的方程； （2）当FA =λAP 时，求λ的最大值.思路分析：（1）求椭圆方程即求a 、b 的值，由l 1与l 2的夹角为60°易得a b=33，由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4，进而可求得a 、b .（2）由FA =λAP ，欲求λ的最大值，需求A 、P 的坐标，而P 是l 与l 1的交点，故需求l 的方程.将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标.将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±abx ，两渐近线夹角为60°， 又ab<1， ∴∠POx =30°，即ab=tan30°=33.∴a =3b . 又a 2+b 2=4，∴a 2=3，b 2=1.故椭圆C 的方程为32x +y 2=1.（2）由已知l ：y =b a （x －c ），与y =a b x 解得P （c a 2，cab），由FA =λAP 得A （λλ+⋅+12c a c ，λλ+⋅1c ab ）.将A 点坐标代入椭圆方程得（c 2+λa 2）2+λ2a 4=（1+λ）2a 2c 2. ∴（e 2+λ）2+λ2=e 2（1+λ）2. ∴λ2=2224--e e e =－［（2－e 2）+222e-］+3≤3－22. ∴λ的最大值为2－1.锦囊妙计：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.举一反三: 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3，（1）求椭圆方程；（2）椭圆与直线y=kx+m(k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当|AM|=|AN|时，求m 的取值范围。