东北师大附中等六校2020届高三联合模拟理科数学试卷

东北师大附中
重庆一中 2020届高三联合模拟考试
长春十一高中
吉林一中
理科数学试题
四平—中
松原实验中学
本试卷共6页，本试卷满分150分，专试时间为120分钟. 注意事项
1. 答题前，专生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区
2. 选择题必须使用用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，短出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无.
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清浩，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
02|2≤--∈=x x Z x x A ，}1,0,1{-=B ，则=B A I
A.}1,0,1{-
B.}1,0{
C.}2,1,0,1{-
D.}21|{≤≤-x x
2. 复数bi a z +=),(R b a ∈是)21)(2(i i ++的共轭复数，则b a +=
A.5
B.5-
C.i 5
D.i 5-
3. 设命题p ：有的平行四边形是菱形，则p ⌝为
A.所有平行四边形都不是菱形
B.有的菱形不是平行四边形
C.有的平行四边形不是菱形
D.不是菱形的四边形不是平行四边形
4. 双曲线14
22
=-x y 的渐近线方程为
A.x y 4±=
B.x y 41
±=
C.x y 2±=
D.x y 2
1
±=
5. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，已知11=a ，
33
63
6=-S S ，则=5a A.3 B.5 C.7
D.9
6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式
求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例.若输入的4=n ，5=v ，2=x ，则该程序框图计算的是
A.54322524232221⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
B.4321252423221⋅+⋅+⋅+⋅+
C.432102423222120⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
D.54322423222120⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
7. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，
C 的对边，若c b 2=，6=a ，3
π
=A ，则ABC
∆的面积为 A.1 B.3 C.32
D.3
8. 已知直线a ，b 与平面α，β满足α⊂a ，β⊂b ，l =βαI ，则下列命题中正确的是
A.βα⊥是b a ⊥的充分不必要条件
B.l a ⊥是βα⊥的充要条件
C.设βα⊥，则b a ⊥是l a ⊥的必要不充分条件
D.设βα⊥，则b a ⊥是l a ⊥的既不充分也不必要条件
9. 在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若y x +=，
则y x +的最大值为 A.1 B.2 C.3
D.4
10. 已知函数)0(cos )6()(3>-=ωωx x x f ，若存在R a ∈，使得)(a x f +为奇函数，则ω的值
可能为
A.12π
B.
3π C.4
π D.5
π 11. 已知定义域为R 的函数)(x f 满足1)()(>'+x f x x f （)(x f '为函数)(x f 的导函数），则不等
x x f x f x +->-+)1()1()1(2的解集为
A.)1,0(
B.),1[+∞
C.),1()1,0(+∞Y
D.),0(+∞
12. 抛物线C :x y 42=的焦点为F ，点P ，Q ，R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则
||||QF PF +的取值范围为
A.]5,29()29,3(Y
B.]5,29()29,4[Y
C.)2
9,4()4,3(Y
D.]5,3[
二、填空题：本题共4小艇，每小题5分，共20分.
13. 已知函数)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足=-)()(x g x f +3x 23x
x 3+，则=+-)2()2(g f _________.
14. 实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤11y y x x
y ，则y x z +=2的最大值为_________.
15. 在ABC ∆中，6==AC AB ，4=BC ，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二
面角B AD C --等于︒120，则四面体ABCD 外接球体积为_________.
16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知01=a ，n n n n a a )2(])1(1[1-+-+=+，则______2=n a ；
=n S 2_________.
17. （本小题满分12分）
下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x （万元），人均消费y （万元）的几组对照数据:
（1）试建立y 关于x 的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据 回归方程预测2019该城市的人均消费；
（2）计算∑∑==---
=n
i i
n
i i i
y y
y
y
R 1
2
122)()ˆ(1，并说明线性同归方程的拟合效果.
附：回归方程x b a y
ˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑==---=n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
1
2
1
)()
)((ˆ,x b y a
ˆˆ-= 18. （本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中，1=AB ，3=BC ，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，
3
π
=
∠FAE ，)6
0(π
θθ<
<=∠EAB .
（1）求AE ，AF ；（用θ表示）
（2）求EAF ∆的面积S 的最小值.
19. （本小题满分12分）
如图，已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧面11BCC B 是矩形，BC BB 21=，E 为1AA 的中点，平面⊥1ECC 平面ABCD .
（1）证明：⊥1CC 平面ABCD ；
（2）判断二面角1B EC B --是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角1C EC B --的大小.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：12222=+b
y a x )0(>>b a 过点)23,1(，且离心率为21
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B 左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两
点（M 和N 均不在坐标轴上），直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q ，直线BM 、BN 分别与y 轴交于点R 、S ，求证：
|
||
|PQ RS 为定值，并求出该定值. 21. （本小题满分12分）
已知函数)(1)(2R a e ax x x f x ∈-+-=-. （1）讨论函数)()(x f e x g x =的单调性； （2）证明：当1>a 时，函数)(x f 有三个零点.
（二）选考题：共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：y y x 222=+，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ
θθρ2
cos cos sin 1
-=
)2
4
(
π
θπ
<
<.
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设点),(αρM 在曲线2C 上，直线OM 交曲线1C 于点N ，求||||ON OM ⋅的最小值. 23. （本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知0>a ，0>b ，0>c ，函数c b x a x x f +-++=||||)(. （1）当1===c b a 时，求不等式5)(>x f 的解集；
（2）若)(x f 的最小值为1，求c b a ++的值，并求a
c c b b a 2
22+
+的最小值.。