2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.4直线、平面平行的判定与性质习题课件理
全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质课件201805092249
立体几何
第4讲 直线、平面平行的判定及性质
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 直线与平面平行 1．判定定理
2．性质定理
考点 2 平面与平面平行 1．判定定理
[必会结论] 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a ⊥β，则 α∥β. 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b ⊥α，则 a∥b. 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α 则 AB∥CD， CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又 AB⊄平面 MNQ， MQ⊂平面 MNQ， ∴AB∥平面 MNQ. D 项，作如图④所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ. 又 AB⊄平面 MNQ，NQ⊂平面 MNQ， ∴AB∥平面 MNQ. 故选 A.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那 么这两个平面平行．( × ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两 条直线平行或异面．( √ ) (3)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行， 则 a∥α.( × ) (4)平行于同一平面的两条直线平行．( × ) (5)若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内， 则 l∥α.( × )
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例 1
有关平行关系的判断
[2016· 全国卷Ⅱ]α，β 是两个平面，m，n 是两
条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β. ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. ③如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所 成的角相等．
【变式训练 1】 [2018· 潍坊模拟]已知 m，n，l1，l2 表 示直线， α， β 表示平面． 若 m⊂α， n⊂α， l1⊂β， l2⊂β， l1∩l2 ＝M，则 α∥β 的一个充分条件是( A．m∥β 且 l1∥α C．m∥β 且 n∥l2
2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第7章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定与性质
7．4 直线、平面平行的判定与性质[知识梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理3．必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．[诊断自测]1．概念思辨(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A2P61T1(2))如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b 与α的位置关系是( )A．b与α相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α答案 B解析 两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b∥a，可知若b与α相交，则a与α也相交，而由题目已知，直线a平行于平面α，所以b与α不可能相交，所以b∥α或b⊂α.故选B.(2)(必修A2P58T3)已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析 ①仅满足m⊂α，n⊂β，m∥n，不能得出α∥β，此命题不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．故选A.3．小题热身(1)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°答案 D解析 选项A ，B ，C 显然错误．∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角．∵ABCDEF 是正六边形，∴AD ＝2AB .∵tan ∠PDA ＝＝＝1，∴直线PD 与平面ABC 所PA AD 2AB 2AB 成的角为45°.故选D.(2)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①Error!⇒a ∥b ；②Error!⇒a ∥b ；③Error!⇒α∥β；④Error!⇒α∥β；⑤Error!⇒a ∥α；⑥Error!⇒a ∥α.其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①④解析 由三线平行公理，知①正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故②错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故③错误；面面平行具有传递性，故④正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故⑤错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故⑥错误．题型1 平行关系命题的真假判定典例 (2018·豫西五校联考)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α，β表示不同平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2排除法．答案 D解析 对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.方法技巧解决平行关系命题真假判断的一般思路1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．3．结合实物进行空间想象，比较判断．冲关针对训练(2017·山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β答案 C解析 对于A，墙角的三个墙面α，β，γ满足条伴，但γ与β相交，故A错误；m⊂α，n⊂β，且m，n平行于α，β的交线时符合B中条件，但α与β相交，故B错误；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，结合n⊥β可推出α∥β，故C正确；由D中的条件得α与β可能平行也可能相交，故D错误．所以选C.题型2 直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定与性质典例 (2017·保定期中)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)若M是CD上异于C、D的点，连接PM交CE于G，连接BM交AC于H，求证：GH∥PB.利用中位线证线线平行从而证线面平行，利用线面平行证线线平行．证明 (1)连接BD，交AC于O，连接EO，则O是BD的中点．又E是PD的中点，∴PB∥EO.∵PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC.(2)由(1)知PB∥平面EAC，又平面PBM∩平面EAC＝GH，∴根据线面平行的性质定理得GH∥PB.角度2 直线与平面平行的探索性问题典例 (2018·包河月考)在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，2∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)证明：l∥CD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．通过证明面面平行来证明线面平行．证明 (1)∵菱形ABCD ，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD ＝l ，∴AB ∥l ，∵AB ∥CD ，∴l ∥CD .(2)当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC.证明如下，如图取PE 的中点M ，连接FM ，由于M 为PE 中点，F 为PC 中点，所以FM ∥CE .①由M 为PE 中点，得EM ＝PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，12连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，因为四边形ABCD 是菱形，则O 为BD 的中点，由于E 是MD 的中点，O 是BD 的中点，所以BM ∥OE .②由①FM ∥CE ②BM ∥OE 知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC .方法技巧线面平行问题的证明策略1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．2．判断或证明线面平行的方法：①线面平行的定义(反证法)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．3．线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．冲关针对训练(2017·济南一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱3形，AB＝2，∠DAB＝60°，EF∥AC，EF＝.求证：FC∥平面BDE.证明 设AC∩BD＝O，连接EO.∵底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OC＝.33∵EF∥AC，EF＝OC＝，∴EFCO为平行四边形，∴FC∥EO，∵FC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴FC∥平面BDE.题型3 平面与平面平行的判定与性质典例 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H 分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，∴A1G綊EB.∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .[条件探究] 在典例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求的值．ADDC 解 连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .所以BC 1∥D 1O ，则＝＝1.A 1D 1D 1C 1A 1O OB 同理可证AD 1∥DC 1，则＝，∴＝1，即＝1.A 1D 1D 1C 1DC AD DC AD AD DC 方法技巧1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行．(2)证明两平面垂直于同一条直线．(3)证明两平面与第三个平面平行．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．冲关针对训练(2018·西安模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝.2(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．解 (1)证明：由题设知BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝AC ＝1，AA 1＝，122∴A 1O ＝＝1.AA 21－OA 2又∵S △ABD ＝××＝1，1222∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.1.(2017·福建八校联考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行答案 B解析 如图，MC 1⊂平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β；②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案 ②③④解析 对于①，由m ⊥n ，m ⊥α可得n ∥α或n 在α内，当n ∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n 作平面与平面α交于直线c ，由n ∥α可知n ∥c ，∵m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.3．(2018·河北唐山统考)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．答案 8解析 过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB ，分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝AC ＝2，FM ＝EN ＝PB ＝2，所以截面的周长为23132×4＝8.4．(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面PAB ；(2)求点M 到平面PAN 的距离．解 (1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝BC ＝1，13AM ＝AD ＝1.12又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形，∴MN ∥AH .又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.(2)连接AC ，MC ，PM ，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h .由题意可得CD ＝2，AC ＝2，23∴S △PAC ＝PA ·AC ＝4，123S △AMC ＝AM ·CD ＝，122由V M －PAC ＝V P －AMC ，得S △PAC ·h ＝S △AMC ·PA ，1313即4h ＝×4，∴h ＝，3263∴点M 到平面PAN 的距离为.63 [重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·南开模拟)下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.2．下列命题中，错误的是( )A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析 D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，α⊥β，直线AB与α，β都成45°角，但α∩β＝l.故选D.3．(2018·福建联考)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m⊥l，m⊥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上①④正确．故选B.4．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与平面BDH的关系是( )A．MN∩平面BDH＝M B．MN⊂平面BDHC．MN∥平面BDH D．MN⊥平面BDH答案 C解析 连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示．∵M，N分别是BC，GH的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝CD ，12NH ∥CD ，且NH ＝CD ，12∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形，∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，∴MN ∥平面BDH .故选C.5．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25答案 D解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25，故选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置2a 3关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B 解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.2a 3∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面AA 1D 1D .∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.7．(2018·宜昌一模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE答案 B解析 在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF∥MN，EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形．故选B.8．(2017·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( ) A．4条B．6条C．8条D．12条答案 D解析 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．故选D.9．(2018·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )答案 C解析 过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于Q ，连接QN .∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x .∵＝＝2，∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MQ AQ DD 1AD MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.10．(2018·昆明模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.B. 4524532C ．45D ．453答案 A 解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊AC 綊DE ，所以四边形12DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝·＝.故选A.(12AC )(12SB )452二、填空题11．如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.答案 5解析 ∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝(AB ＋CD )＝5.1212．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 、平面ABD解析 连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由＝＝，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABCEM MA EN NB 12且MN ∥平面ABD .13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.答案 64解析 如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝××＝(cm 2)．122326414．如图，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 M 位于线段FH 上(答案不唯一)解析 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.B 级三、解答题15．(2018·石家庄质检二)如图，在三棱柱ABC －DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝，BC ＝.点F 在平面π3212ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝，点M 在线段3CF 上，且CM ＝CF .14(1)证明：直线GM ∥平面DEF ；(2)求三棱锥M －DEF 的体积．解 (1)证明：∵点F 在平面ABED 内的正投影为G ，∴FG ⊥平面ABED ，∴FG ⊥GE .又BC ＝＝EF ，FG ＝，∴GE ＝.212332∵四边形ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝，π3∴AE ＝2，∴AG ＝.12如图，过点G作GH ∥AD 交DE 于点H ，连接FH .则＝，∴GH ＝，由CM ＝CF 得MF ＝＝GH .GH AD GE AE 321432易证GH ∥AD ∥MF ，∴四边形GHFM 为平行四边形，∴MG ∥FH .又GM ⊄平面DEF ，∴GM ∥平面DEF .(2)由(1)知GM ∥平面DEF ，连接GD ，则有V M －DEF ＝V G －DEF .又V G －DEF ＝V F －DEG ＝FG ·S △DEG ＝FG ·S △DAE ＝，13133434∴V M －DEF ＝.3416．(2018·郑州质检二)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝AB ＝1，M 为AB 的三等分点，现将△AMD 沿MD 折起，13使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC的距离．解 (1)当AP ＝AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：13连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，＝＝，DN NB DC MB 12∵△ADB 中，＝，∴AD ∥PN .AP PB 12∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC .(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ，平面AMD 中AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD .∴V P －MBC ＝×S △MBC ×＝××2×1×＝.13AM 213121216在△MPC 中，MP ＝AB ＝，MC ＝，12522又PC ＝＝，(12)2＋1252∴S △MPC ＝×× ＝.122(52)2－(22)264∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝＝＝.3VP －MBC S △MPC 3×16646317．(2018·简阳市模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点．(1)求证：MN ∥PC ；(2)求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明 (1)由题意：P －ABCD 是四棱锥，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点，连接AC ，∴N 是AC 的中点．∴MN 是三角形ACP 的中位线，∴MN ∥PC .(2)由(1)可得MN ∥PC .∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ是三角形ADP的中位线，∴MQ∥AD.又由AD∥BC，∴MQ∥BC.由MQ∥BC，MN∥PC，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，同理MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M.∴平面MNQ∥平面PBC.18．(2018·德州模拟)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，CE⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明 (1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD，知CO⊥BD.又CE⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，所以BD⊥OE.又因为O是BD中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC, BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.。
高考数学一轮复习 7.4直线、平面平行的判定及其性质课件 文
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解析：连接AB1、AD1，
∵点P是面AA1D1D的中心， ∴点P是AD1的中点，
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∵PQ∥面AB1，
PQ⊂面D1AB1，
面D1AB1∩面AB1＝AB1， ∴PQ∥AB1，
∴PQ＝12AB1＝
2 2.
答案：
2 2
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பைடு நூலகம்
考点
互动探究
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考点一 直线与平面平行的判定与性质
判定直线与平面平行，主要有三种方法 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直 线．常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线 作一平面找其交线．
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(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个 平面内的任一直线平行于另一平面．
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2．平面与平面平行 (1)判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内有两条相 判
交的直线都平行于另一个 定
平面，那么这两个平面平 定
行(简记为“线面平行⇒ 理
面面平行”)
符号语言
a⊂α
b⊂α
a∩b＝P⇒
a∥β
b∥β
α∥β
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(2)两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两平行平 性
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(2)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD，
四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝ 22AD，∴△PAD是等腰直角三角形， 且∠APD＝2π，即PA⊥PD.
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定及其性质课件
笔记本电源灯不亮的解决方法随着笔记本电脑价格的不断下降，如今拥有一台笔记本电脑已经不是什么稀罕事儿了。
随之而来的各种问题也涌现出来了——由于笔记本电脑是一个复杂、精密的系统，而且有不少用户在使用过程中不小心或者存在一些误区，因而笔记本电脑的各个部件非常容易发生故障。
下面是店铺为大家整理的关于电脑笔记本的常见故障之电源灯不亮的解决方法，供大家参考和学习。
笔记本电源灯不亮的解决方法俗话说“求人不如求己”：对于笔记本电脑的一些常见故障，用户完全可以进行初步诊断，动手能力强的还可以进行维修。
我们来说说笔记本电脑的常见故障，并且分析造成这些故障的原因：一、开机不亮这也许是笔记本用户遇到最多的问题——按下开机按钮结果电源指示灯不亮、屏幕也是黑的。
碰到这种情况不要紧张，首先看看你的笔记本电脑是否接通电源：电池是否安装到位?适配器是否顺利连接上电源?电源插座上的按钮是否切断电源了?许多用户碰到的往往是这些让人虚惊一场的问题。
接下来可能是真的发生了一些故障导致笔记本开机不亮，这里可分成好多种情况：处理器、内存、显卡、主板显卡控制芯片、主板BIOS、信号输出端口、电源适配器损坏都会导致笔记本电脑无法开机的情况。
这里面有一个检测方法，可以判断到底是笔记本主机出了问题还是适配器出了问题：如果是电源适配器的问题可以用替换法来判断，不过只限于同型号相同规格的电源。
要是换了一个电源适配器笔记本依然不亮，那么很有可能就是笔记本主板上的故障了——这时候就需要拆机检查了：这需要维修者具备丰富的电路知识和维修经验。
如果您的笔记本出现了上述故障，最好找一家有实力的维修中心送修，以免人为损坏，扩大故障。
开机系统不运行、死机等故障二、电源指示灯亮但系统不运行，屏幕也没显示如果笔记本电脑开机后电源指示灯亮了，但是屏幕没有显示——这时候有条件的朋友可以将笔记本连接一台显示器，并且确认切换到外接显示状态：如果外接显示器能够正常显示，则通常可以认为处理器和内存等部件正常，故障部件可能为液晶屏、屏线、显卡和主板等。
高考数学一轮复习 7.4 直线、平面平行的判定及其性质精品课件 理 新人教A版
3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平 面内的任一直线平行于另一平面．
特别警示：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平 行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
[例1] 如右图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的 面A1B1BA和面ABCD的中心．
证明：PQ∥平面BCC1B1.
答案：D
4．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与 平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：各中点连线如下图，只有面EFGH与面ABB1A1平行， 在四边形EFGH中有6条符合题意．
D 中，M∈AB，N∈AD，若AMMB ＝NAND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________．
又PE、QE⊂平面PQE，PE∩QE＝E， ∴平面PQE∥平面BCC1B1， 又PQ⊂平面PQE， ∴PQ∥平面BCC1B1.
即时训练 如右图所示，在三棱锥P－ABC中，若D，E，F
分 别 为 PB ， PC ， AC 的 中 点 ， 问 在 PB 上 是 否 存 在 一 点 G ， 使 得 FG∥平面ADE?
[ 例 5] (2010· 湖 南 高 考 ) 如 右 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的 结论．
[解] (1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E 是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
[思路探究] 可考虑用线面平行的判定定理，在平面BCC1B1 内构造与PQ平行的直线；也可利用面面平行的定义来证明，需构 造过PQ且与平面BCC1B1平行的平面．
高考数学总复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课件 理
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所以△DEF 的面积 S＝12×2×2＝2， 所以三棱锥 B DEF 的体积 V＝13×S×BH＝13×2×2＝43.
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角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，
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第二十三页，共五十页。
解：(1)证明：连接 AG 并延长交 PD 于 H，连接 CH. 由四边形 ABCD 是梯形，AB∥CD，且 AB＝2DC， 知FACF＝21， 又 G 为△PAD 的重心，∴GAGH＝21， 在△ACH 中，GAGH＝FACF＝21， 故 GF∥HC. 又 HC⊂平面 PDC，GF⊄平面 PDC， ∴GF∥平面 PDC.
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(2)(2019·山东泰安二模)已知 m，n 是两条不同直线，α，β，γ 是三
个不同平面，下列命题正确的是( D )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C．若 m∥α，m∥β，则 α∥β
D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析：对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行，可能
获得的结论证明一些空 平行、线面平行及面面平行的判
间图形的平行关系的简 定及应用，题型为解答题中的一
单命题.
问.
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课堂探究(tànjiū) 考点突 破
真题模拟(mónǐ)演练
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课堂探究 考点突破
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第七章
高考数学(理科全国通用)一轮总复习课件：第七章 立体几何 7.4
文字语言
一条直线与一
个平
面平行,则过这
条
交线
性 直线的任一平
质面
定 与此平面的
理 ห้องสมุดไป่ตู้____
与该直线平行
图形语言
符号语言
l∥α, l⊂β
因为α∩β=b
______ _____,
_________, 所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两
条 相交直线
【解题导引】构造线线平行或面面平行证明线面平行. 【规范解答】如图,连接DG,CD,设CD∩FG=O,连接OH. 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形 DFCG为平行四边形, 所以点O为CD的中点.
又因为点H为BC的中点, 所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH, 所以BD∥平面FGH.
2.(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,点E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系
为
.
【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,点E,O分别是DD1,BD的中点,则 EO∥BD1,又因为EO⊂平面ACE,BD1⊄平面AEC,所以BD1∥平面ACE. 答案:平行
感悟考题 试一试
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是
直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相 交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β” 是“α∥β”的必要而不充分条件.
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定与性质课件
点 G，连接 PG，Q G. 在△ABE 中，PB＝PE，AG＝GE，
所以 PG∥BA，又 PG⊄平面 ABCD，BA ⊂平面 ABCD，
所以 PG∥平面 ABCD.
12/11/2021
在梯形 ADFE 中，DQ ＝Q F，AG＝GE，所以 GQ ∥AD， 又 GQ ⊄平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， 所以 GQ ∥平面 ABCD. 因为 PG∩GQ ＝G，PG⊂平面 PQ G，GQ ⊂平面 PQ G， 所以平面 PQ G∥平面 ABCD. 又 PQ ⊂平面 PQ G，所以 PQ ∥平面 ABCD.
又 CN∩MN＝N，∴平面 CMN∥平面 PAB.
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．
由 AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝ 3，
∴三棱锥 P-ABM 的体积 V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC
＝13×12×1×
3×2＝
3 3.
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2．(2019·西安调研)如图，在多面体 ABCDEF 中，AD∥BC，AB⊥AD， FA⊥平面 ABCD，FA∥DE，且 AB＝ AD＝AF＝2BC＝2DE＝2. (1)若 M 为线段 EF 的中点，求证：CM∥平面 ABF； (2)求多面体 ABCDEF 的体积．
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解：(1)证明：取 AD 的中点 N，连接 CN，MN， ∵AD∥BC 且 AD＝2BC， ∴AN∥BC 且 AN＝BC， ∴四边形 ABCN 为平行四边形， ∴CN∥AB. ∵M 是 EF 的中点，∴MN∥AF. 又 CN∩MN＝N，AB∩AF＝A，∴平面 CMN∥平面 ABF. 又 CM⊂平面 CMN，∴CM∥平面 ABF. (2)∵FA⊥平面 ABCD，∴FA⊥AB. 又 AB⊥AD，且 FA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 ADEF，即 CN⊥平面 ADEF. 连接 AC，则多面体 ABCDEF 的体积 VABCDEF＝VF-ABC＋ VC-ADEF＝13×12×2×1×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝83.
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定及其性质课件
[解题技法] 线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一 条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征， 合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边 形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有 时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
AD 的中点，∴BC 綊 AE，∴四边形 ABCE 是平行
四边形，∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP. ∵FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF，∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH，OH，∵F，H 分别是 PC，CD 的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面 PAD，FH⊄平面 PAD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点，∴OH∥AD. 又∵AD⊂平面 PAD，OH⊄平面 PAD，∴OH∥平面 PAD. 又∵FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵1G2/1H1/2⊂021平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
考点二 面面平行的判定与性质 [师生共研过关]
12/11/2021
[典例精析]
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分 别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
[证明] (1)∵在△A1B1C1 中，G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴GH 与 BC 确定一个平面 α，∴G，H，B，C∈α， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，∴EF∥平面 BCHG.