2019年高考数学理科(课标版)仿真模拟卷(四)(含新题附答案)
2019届全国高考仿真试卷(四)理科数学卷
2019届全国高考仿真试卷（四）理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A。
2. 已知集合，则的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 5个D. 8个【答案】A【解析】，则子集为，共2个。
故选A。
3. 在不等式组表示的平面区域内任取一个点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以概率为，故选C。
4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（）A. B. C. D. 与的值有关【答案】C【解析】，则，，，，故选C。
5. 已知长方体的全面积为，十二条棱长度之和为，则这个长方体的一条对角线长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设长方体的长、宽、高分别为由题意可知，…….①，…….②，由①的平方减去②可得，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．6. 若是第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意，因为是第三象限的角，所以，........................考点：1．诱导公式；2．同角三角函数的基本关系．7. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】f(x)是奇函数,∴f(−x)=−f(x)且x0是y=f(x)−e x的一个零点,∴,∴，把−x0分别代入下面四个选项，A. ，故A错误；B. ，故B错误；C. ，故C不正确；D. ，故D正确。
2019年高考数学(理)仿真模拟试卷 四
2019年高考数学仿真模拟卷四理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|230}A x x x =--≤，且(][)23,1,2A B A B =-=-，，则集合B =（ ） A. ()(),22,-∞-+∞ B. (]2,2-C. [2,2]-D. ()2,2-2. 已知复数z 满足：()()11z i i -+=，则z =（ ） A.1122i + B.1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。
下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。
则下列说法中一定正确的是（ ）。
A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内4. 已知半径为2的球被截去两部分后，形成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. 16πB. 18πC. 8πD. 14π5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，菀生一日，长一尺。
蒲生日自半，菀生日自倍。
问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高到3尺，菀草第一天长高到1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”在该问题中，当第四天时，蒲草长高的尺寸和菀草的高度分别是（ ）A.45158， B.4588， C.388， D.3158， 6. 已知函数()()()22111,4f x x a x b a b =---+∈R 的最小值为0，若存在,a b ，使得 0ka b k ++=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. ,33⎡-⎢⎣⎦C. 3,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D. (][),11,-∞-+∞7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 某技术有限公司是一家生产销售通信设备的民营通信科技公司，旗下智能手机更受国人喜爱。
2019年高考理科数学模拟仿真卷4含答案
2019年高考模拟仿真卷 理科 数 学（4）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}21,A x x x U >=∈，则U A =ð（ ） A ．{}2,2-B ．{}1,1-C ．{}2,0,2-D ．{}1,0,1-2． i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13．在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体的一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC ．22π D ．221π-6．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．2π37．已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ） A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-8．函数()()2e e x x f x x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D11．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为（ ） A ．16π9B ．64π9C ．3π2D ．6π12已知锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =ABC △周长的最大值为（ ） A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．14．设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则2z x y =-的最大值是________．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为____．16．若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“M 函数”．已知函数()()11f x k x =--，()3g x =-，()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“M 函数”，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}1nn a -⋅的前2n 项和2n T ．18．（12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为713，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（ ）求条形图中m 和n 的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（ ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X ，求离散型随机变量X 的分布列与数学期望．19．（12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦，求AP 的长．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长等于F 距C 最远处的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值．21．（12分）已知函数()()ln 0b f x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ． （1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：()14918a b c a b b c c a++≥+++++．理科数学答案（4）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】211x x >⇒<-或1x >，又x U ∈，则{}2,2A =-，∴{}1,0,1U A =-ð，故选D ． 2．【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3．【答案】A【解析】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图所示，故选A ．4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5．【答案】A【解析】π1πS =⨯=矩形，又()ππ00sin dx cos cos πcos02x x=-=--=⎰，∴π2S =-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π221ππ-=-．故选A ． 6．【答案】C【解析】由函数图像可得2A =， ∵()01f =，∴1sin 2ϕ=，结合图像可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11ππ2sin 0126ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11ππ2π126k ω⨯+=，故2241111k ω=-+， ∴2ω=，∴π3ωϕ⋅=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称； ∴0x >时，()2x f x =；∴0x >时，()22x g x x =+，又()g x 是奇函数；∴()()()()()1212214411g g g g =-⎡⎤⎣-+-=-++++=-⎦．故选C ．8．【答案】A【解析】∵()()2e e x x f x x -=-，∴()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=--=--=-， ∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，∵2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >，e e x x y -=-在()0,+∞上是增函数且0y >， ∴()()2e e x x f x x -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且O A A P⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FBF S S S ''==△△，又2224tan45FBF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 11．【答案】B【解析】由题意，设ABC △的外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且OO d '=，依题意可知12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =，显然222R d r =+，故R =， 又由2sin AC r ABC ==∠，故r =O 的表面积为2216644πππ39R r ==，故选B ．12．【答案】B【解析】∵锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =∴2sin cR C=4=，∴sin C =， 又C 为锐角，∴π3C =，由正弦定理得4sin sin sin a b cA B C===，∴4sin a A =，4sin b B =，c =∴2ππ4sin 4sin 6sin 36a b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫++=+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当ππ62B +=，即π3B =时，a b c ++取得最大值+=B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号． 故答案为6． 14．【答案】1【解析】根据实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图：11y y x =-⎧⎨=--⎩解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 取最大值， 即()2011z =⨯--=．故答案为1． 15．【答案】2【解析】以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B ，()0,1D ，()1,1E ，设(),P x y ，01x ≤≤，∴()2,1DB =-，()0,1AD =，(),AP x y =， ∵AP DB AD λμ=+，∴()(),2,x y λμλ=-，∴2x x λμλ=⎧⎨=-⎩，∴232x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22x λμ+=≤，故答案为2．16．【答案】[]0,2【解析】由题意可得，()()3111ln k x x x -≤--≤+在区间[]1,2上恒成立，即()()()120111ln k x k x x x ⎧-+≥⎪⎨--≤+⎪⎩，当[]1,2x ∈时，函数()()12f x k x =-+的图像为一条线段， 于是()()110220f k f k ⎧=+≥⎪⎨=≥⎪⎩，解得0k ≥，另一方面，()1ln 11x x k x ++-≤在[]1,2x ∈上恒成立． 令()()1ln 1ln 1ln x x x m x x x x x ++==++，则()2ln x x m x x -'=， ∵[]1,2x ∈，∴()1ln 10x x x'-=-≥，于是函数ln x x -为增函数，从而ln 1ln10x x -≥->，∴()0m x '≥， 则函数()m x 为[]1,2上的增函数，∴()()min111k m x m -≤==⎡⎤⎣⎦，即2k ≤；综上所述，实数k 的取值范围是[]0,2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23n a n =-；（2）22n T n =．【解析】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列，则()22341a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，∴数列的通项公式23n a n =-．（2）由（1），可知12n n a a --=，∴()()()212342122n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=．18．【答案】（1）240m =，60n =，3人；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得参加跑步类的有778042013⨯=， ∴420180240m =-=，78042018012060n =---=， 根据分层抽样法知：抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人． （2）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=， 参加跳绳的学生人数有3人，∴X 的所有可能取值为1、2、3、4， ()134347C C 4135C P X ===，()224347C C 18235C P X ===， ()314347C C 12335C P X ===，()4447C 1435C P X ===， ∴离散型随机变量X 的分布列为：∴()418121161234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， 由已知得AF BD ⊥，BEBD B =，∴AF ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， 又AE DE ⊥，AEAF A =，∴DE ⊥平面ABFE ．（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DEEF E =，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =， 过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ，EF ，EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,2D ⎛- ⎝⎭，(AC =-，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得201202x y x y ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ， 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ===⇒=n ． ∴23AP =． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【解析】（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）∵过()1,0F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上）， ∴设:1l x ty =+，()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵OE OA OB =+，∴AOBE为平行四边形，∴122AOB S S y y ==-=△1m =≥，得21241313mS m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =． 21．【答案】（1）见解析；（2）(]0,1． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，∴()22x a f x x+'=．①当0a >时，()0f x '>，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． ②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，∴函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，∴函数()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． （2）∵对任意1x ，21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，∴()()()()12max min f x f x f x f x -≤-，∴()()max min e 2f x f x -≤-成立， ∵0a b +=，0b >时，()ln b f x b x x =-+，()()1b b x f x x-'=．当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，∴()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()e e b f b =-+，设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()0b >，()e e 220b b g b -'=+->=．∴()g b 在()0,+∞递增，∴()()00g b g >=，∴()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得()()max e e b f x f b ==-+，∴e 1e 2b b -+-≤-，即e e 10b b --+≤，设()e e 1b b b ϕ=--+，()0b >，()e 10b b ϕ'=->在()0,b ∈+∞恒成立．∴()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b --+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()240x ay a =>，10x y -+=；（2）14． 【解析】（1）曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ 可得()22cos 4sin 0a a ρθρθ=>，化简得()240x ay a =>； 直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），可得1x y -=-，得10x y -+=． （2）将21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入()240x ay a =>并整理得)()21810t a t a -+++=，韦达定理：)121t t a +=+，()12810t t a ⋅=+>，由题意得2MN PM PN =，即21212t t t t -=⋅，可得()21212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即()()2321401a a +=+，0a >，解得14a =． 23．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++<当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-；当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<；当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为()2,2-．（2）()()()f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+--+=++， ∵0a >，0b >，0c >，∴()min 1f x a b c =++=， ∴()149149a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ ()11492a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭22222212⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()2118182a b c ≥==++．。
2019年辽宁省高考数学四模试卷(理科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合P={x|1≤2x＜8}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{1}C．{2，3}D．{1，2，3}2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．30 B．600 C．720 D．8406．对任意的非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，且min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，则2⊗min{1，log0.30.1，30.1}的值为（）A．0 B．1C． D．2﹣30.17．关于函数，下列命题正确的是（）A．由f（x1）=f（x2）=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成C．y=f（x）的图象关于点对称D．y=f（x）的图象关于直线对称8．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC 外接球的体积为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，] D．[﹣，﹣] 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．7+B．7+2 C．4+2 D．4+11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A．[，]B．[，）C．[，]D．[，+∞）12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C． D．f（0）＞e2f （4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分， 13．若（x 2﹣）n 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 2的系数为 ． 14．已知实数x ，y 满足，则的最小值为 ．15．当x ∈（﹣∞，1]，不等式＞0恒成立，则实数a 的取值范围为 ．16．在△ABC 中，bcosC +ccosB=acosC +ccosA=2，且acosC +asinC=b +c ，则△ABC 的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，S 1，S 2，S 4成等比．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，证明对任意的n ∈N *，b 1+b 2+b 3+…+b n ＜2恒成立．18．某网站点击量等级规定如表：统计该网站4月份每天的点击数如下表：（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；（2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．19．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅱ）求二面角B 一PC ﹣D 的余弦值．20．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，且PF 2⊥x 轴，．直线l 经过F 1，与椭圆E交于A ，B 两点，F 2与A ，B 两点构成△ABF 2． （1）求椭圆E 的离心率； （2）设△F 1PF 2的周长为，求△ABF 2的面积的最大值．21．设函数f （x ）=（1﹣ax ）ln （1+x ）﹣bx ，其中a ，b 是实数．已知曲线y=f （x ）与x 轴相切于坐标原点． （1）求常数b 的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合P={x|1≤2x＜8}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{1}C．{2，3}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P，再由Q，求出两集合的交集即可【解答】解：由20=1≤2x＜8=23，∴0≤x＜3，∴集合P=[0，3），∵Q={1，2，3}，∴P∩Q={1，2}，故选：A．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z•i=2﹣i，得．故选：D．3．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出向量•的值，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵•（+）=2，∴•+2=2，即•=﹣2+2=2﹣1=1则cos＜，＞==，则＜，＞=，故选：D5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．30 B．600 C．720 D．840【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，则不同的发言顺序种数480+240=720种，故选：C．6．对任意的非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，且min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，则2⊗min{1，log0.30.1，30.1}的值为（）A．0 B．1C． D．2﹣30.1【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，并输出，比较1，log0.30.1，30.1的大小，即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，∵30.1＞1，log0.30.1＞1，可得：min{1，log0.30.1，30.1}=1，∵2＞1，∴y=2﹣1=1．故选：B．7．关于函数，下列命题正确的是（）A．由f（x1）=f（x2）=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成C．y=f（x）的图象关于点对称D．y=f（x）的图象关于直线对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，由f（x1）=f（x2）=1可得sin（2x1）=sin（2x2）=0，∴2x1﹣2x2是π的整数，即x1﹣x2是的整数倍，故A不正确．函数f（x）=3sin（2x﹣）+1=3cos[﹣（2x﹣）]+1=3cos（﹣2x）+1=3cos（2x﹣）+1=﹣3cos（2x+）+1，故B不正确．对于函数，令x=，可得f（x）=1，故y=f（x）的图象关于点对称，故C正确．令x=，求得函数f（x）=3sin（2x﹣）+1=3cos+1=﹣+1，不是函数的最值，故D错误，故选：C．8．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC 外接球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．9．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，] D．[﹣，﹣]【考点】抽象函数及其应用．【分析】由题意先求出设x∈[1，π]上的解析式，再用分段函数表示出函数f（x），根据对数函数的图象画出函数f（x）的图象，根据图象求出函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点时实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[1，π]，则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，则f（x）=，在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣πlnπ，0]故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．7+B．7+2 C．4+2 D．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为从正方体中切出来的三棱锥，利用正方体模型计算三棱锥的各边，再计算面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为2正方体中切出来的三棱锥A﹣BCD，如图所示．其中C为正方体棱的中点，∴S△ABC==2，S ABD==2，==．∵AC=BC==，∴S∵CD==3，BD=2，∴cos∠CBD==．∴sin∠CBD=．∴S△BCD==3．∴几何体的表面积S=2+2++3=7+．故选A．11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A．[，]B．[，）C．[，]D．[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得s﹣t=2a1，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得s﹣t=2a1，解得s=a+a1，t=a﹣a1，由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为a2+a12=2c2，由离心率的公式可得，+=2，由e∈[，]，可得e2∈[，]，即有2﹣∈[，]，解得e1∈[，]．＞b1，可得e1=＜，由a故选：B．12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C． D．f（0）＞e2f （4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．若（x2﹣）n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x2的系数为35．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数．【解答】解：∵（x2﹣）n展开式的二项式系数之和为2n=128，∴n=7，∴（x2﹣）n=（x2﹣）7展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x14﹣3r，令14﹣3r=2，求得r=4，可得展开式中x2的系数为=35，故答案为：35．14．已知实数x，y满足，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的定义，利用数形结合进行求解．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点与点E（3，0）的斜率，由图象知AE的斜率最小，由得，即A（0，1），此时的最小值为=，故答案为：15．当x∈（﹣∞，1]，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围为a＞．【考点】函数恒成立问题；指数函数综合题．【分析】容易知道分母恒大于0，得到分子要恒大于0．【解答】解：，∴1+2x+4x a＞0，设t=2x，因为x∈（﹣∞，1]，所以0＜t≤2．y=1+t+at2，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at2＞0，所以．设，则，因为0＜t≤2，所以，所以，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．16．在△ABC中，bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，且acosC+asinC=b+c，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由余弦定理结合已知可得a=b=2，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简等式acosC+asinC=b+c，可得sin（A﹣）=，结合范围A∈（0，），可求A=B=C=，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，∴在△ABC中，由余弦定理可得：b+c=a+c=2，∴整理解得：a=b=2，A，B为锐角，∵acosC+asinC=b+c，∴利用正弦定理可得：sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，∴sinAsinC=cosAsinC+sinC，∴sinA=cosA+1（sinC≠0），可得：2sin（A﹣）=1，可得sin（A﹣）=，∵A∈（0，），A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，可得：A=B=，可得：C=π﹣A﹣B=，∴△ABC的面积S=absinC==．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S1，S2，S4成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，证明对任意的n∈N*，b1+b2+b3+…+b n＜2恒成立．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，由题意可得：，即，解出即可得出．（2）（2）由（1）得，可得＜=（n≥2）．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意可得：，即，∵a1=1，d≠0，∴d=2，∴a n=2n﹣1．（2）由（1）得S n==n2，∴．当n=1时，b1=1＜2成立；当n≥2时，，∴b1+b2+…+b n＜成立，所以对任意的正整数n，不等式成立．18．某网站点击量等级规定如表：统计该网站4月份每天的点击数如下表：（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；（2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）设点击数落在同一等级的为事件A ，利用互斥事件概率加法公式能求出点击数落在同一等级的概率．（2）X 的可能取值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列与数学期望．【解答】解：（1）折点击数落在同一等级的为事件A 概率：，即点击数落在同一等级的概率为．（2）X 的可能取值为0、1、2、3，，，，，随机变量X的分布列为数学期望．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B一PC ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC …（Ⅱ）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（，﹣2，0），=（，﹣1，0），=（），=（0，2，0），设平面DCP的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，），设平面PCB的法向量=（a，b，c），，令a=1，得=（1，），cos＜＞==，∵二面角B一PC﹣D为钝角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值为﹣．20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2⊥x轴，．直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成△ABF2．（1）求椭圆E的离心率；PF2的周长为，求△ABF2的面积的最大值．（2）设△F【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设出两焦点的坐标，由x=c代入椭圆方程，可得P的坐标，求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）运用椭圆的定义，结合离心率，可得a，b，进而得到椭圆方程，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得三角形ABF2的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），设点P在第一象限，令x=c，可得y=±b=±，则，，，可得，则a2=4b2=4（a2﹣c2），可得3a2=4c2，即c=a，即有离心率e==；（2）由（1）可得2c=a，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，PF2的周长为2a+2c=，△F解得a=1，c=，则b==，可得椭圆方程为x2+4y2=1，由题知直线斜率不为0，设直线方程为，由，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有，，|y1﹣y2|===，则=，“=”成立时t2=2，即t=±，则△ABF2的面积的最大值为．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣bx，其中a，b是实数．已知曲线y=f（x）与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性，从而求出a的范围即可；（3）问题等价于，结合（2），取，得：对于任意正整数n都有成立；令n=1000得证．【解答】解：（1）因为y=f（x）与x轴相切于坐标原点，故f'（0）=0，故b=1，（2），x∈[0，1]，．①当时，由于x∈[0，1]，有，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0），因此f（x）在x∈[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0，符合；②当a≥0时，由于x∈[0，1]，有，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0不符；③当时，令，当x∈[0，m]时，，于是f'（x）在x∈[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是．（3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式恒成立，等价变形，相当于（2）中，的情形，f（x）在上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；取，得：对于任意正整数n都有成立；令n=1000得证．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．【解答】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…所以△ABP的面积为BP•PA=…（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…又ED=EP﹣PD=2，EB=DB﹣DE=8﹣2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …所以EC==2，故AC=5…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．。
2019届全国高考仿真试卷(四)数学(理)试卷
2019届全国高考仿真试卷（四）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】解方程组得解，即得M∩N的元素个数.【详解】解方程组得x=1,y=1,所以M∩N的元素个数为1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2)注意，它们的交集是一个点，不是一个数.2. 若复数满足,则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.3. 已知随机变量服从正态分布且,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求再求最后求.【详解】由题得所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查正态分布和指定区间的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于正态分布指定区间概率的计算，不要死记硬背，要结合正态分布图像求区间上的概率.4. 已知为实数,直线,,则“”是“”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5. 设,则的大小顺序是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用指数函数的性质比较得a>b>1,再分析得c<1，从而得到a,b,c的大小关系.【详解】，因为，所以.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较大小，一般先把所有的数分成正负两个集合，再把正数和1比，负数和-1比.6. 已知函数图象的一个对称中心为,且,要得到函数的图象可将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C因为函数图象的一个对称中心为，所以，因为，所以，，从而的图象可将函数的图象向右平移个单位长度得到，选C.7. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法,其内容如下：“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.”下图是该算法的程序框图,若输入,,则输出的值是( )A. 68B. 17C. 34D. 36【答案】C【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当时，，此时，则；这时，，此时，，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。
2019理科数学高考模拟试卷4(含解析)
仿真冲刺卷(四)(时间:120分钟满分:150分)第I卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合M={0,1},则满足MU N二{0,1,2}的集合N的个数是()(A) 2 (B)3 (C)4 (D)82. 如图，在复平面内，复数乙和乙对应的点分别是A和B,贝旷等于( )I 2 2 I(A) ■+ i (B) ：+ iI 2 2 I(C)-「i (D)- '- i} ±3. (2018 •河南郑州一中质检)若a“ sin xdx,则二项式(a「-「)6展开式的常数项是()(A)160 (B)20 (C)-20 (D)-1604. 小王的手机使用的是每月300M流量套餐,如图记录了小王在4月1 日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是()第4题图(A) 1日〜10日这10天的平均流量小于9.0M/日(B) 11日〜30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量(C) 从1日〜10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大(D) 从1日〜10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小5. (2018 •成都二诊)已知函数f(x)对任意x€ R都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(2 018)等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)0| a n+ 16. 若w " < 2(n € N),则称｛a n｝是“紧密数列” •若｛a n｝(n=1,2,3,4)3是“紧密数列”，且a1=1,a2= ,a3=x,a4=4,则x的取值范围为()(A)[1,3) (B)[1,3] (C)[2,3] (D)[2,3)7. (2018 •安徽淮北一模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()第7题图7 8 - IT 8 7 - ?!(A) (B) (C) ： (D)2x - y - 2 < Q r3x + y - 3 > 0,8. （2018 •山东、湖北重点中学三模）在满足条件L + y-^o 的区域内 任取一点M （x,y ）,则点M （x,y ）满足不等式（x-1） 2+y 2<1的概率为 7t 7T 7T 7T(A)(B) ' (C)1- (D)1- 9. 如图所示的程序框图中，输出s 等于（） 开姐］晡視图 7^-L)- * n 1 j^i+rm=n+l第9题图(A)45 (B)-55 (C)-66 (D)6610. （2018 •山东、湖北重点中学三模）已知三棱柱ABCABG的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为2dAB=4,AC=2, / BAC=60 ,若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为（）(A)8 n (B)(16-8 ) n (C)2 n (D)(4-211. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线I与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点，若/ PMF=30 , T T IF 品•為=0,则颐等于()(A) (B) ' (C)2 (D)12. 若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M,N关于原点对称，则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).『点<已知函数f(x)=忖-4切九则此函数的“和谐点对”有()(A)1 对(B)2 对(C)3 对(D)4 对第H卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~ 21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13. (2018 •山西太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若，入；+卩「，贝S实数入+卩= ______ .14. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 _______________ .15. 已知S n为数列｛a n｝的前n项和,a i=1,2S n=(n+1)a n,若存在唯一的正整数n使得不等式• -ta n-2t 2< 0成立，则实数t的取值范围为_____ . 16. 已知曲线y=e x+a与y=(x-1) 2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为________________ .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)△ ABC勺内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+'」=.(1)求A;⑵若BC边上的中线AM=2 ,高线AH=,求厶ABC的面积.18. (本小题满分12分)在三棱柱ABCABG中，侧面ABBA1为矩形,AB=1,AA1=?D为AA的中点,BD与AB交于点O,COL侧面AB昭.(1)证明:BC丄AB;⑵若OC=OA求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）（2018 •江淮十校联考）某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N（120,25），该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试估算该校高三年级数学的平均成绩；⑵从所抽取的50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.附：若X〜N0 ,（T2）,贝卩P（卩-3（T <X<a +3 ° ）=0.997 3.20. (本小题满分12分)(2018 •山东实验中学一诊)已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2,30),B(2,0), 直线RA,RB的斜率分别为k i,k 2,且kk二-;.设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；⑵四边形MNP啲四个顶点均在曲线C上，且MQ/ NP,MQ_x轴.若直线MN和直线QP交于点S(4,0),那么四边形MNP(的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. (本小题满分12分)(2018 •晋中调研)已知函数f(x)=e x-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2, 且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值；⑵证明：当x>0时,g(x) < f(x).请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是p =4cos 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程fx =1 + tcosa,是：:'(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵若直线I与曲线C相交于A,B两点，且|AB|=」：，求直线的倾斜角a 的值.23. (本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1) 解不等式f(x) < 3;3(2) 记函数g(x)=f(x)+|x+1| 的值域为M若t € M,证明:t 2+1占+3t.21.C 由题意得{2} ? N? {0,1,2},因此集合N的个数是2=4个,选C.。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(四)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（四）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i+等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，3b =， π6A =，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）33555．[2019·重庆]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．23C ．43D ．839．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A 3B 6C ．13D ．22310．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·青岛质检]已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()f x a =（a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．9,e 16⎛⎫⎪⎝⎭C ．(]9,0,e 16⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·江南十校]已知在直角坐标系xOy 中，()4,0A ，30,B ⎛⎫，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos cos12sin sinB C B C+=．（1）求A∠的大小．（2）若4b c+=，求ABC△的面积的最大值．18．（12分）[2019·贵阳期末]如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业（以下简称外卖A、外卖B）的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数人数种类[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100外卖A50 150 100 400 300外卖B100 100 300 200 300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：视频率为概率，解决下列问题：（1）从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，求X 的数学期望．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；②在M 市工作的小王决定从外卖A 、外卖B 这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ， 使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立． （1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（四）答 案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ， 设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ， 由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B = 故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ． 5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤．故选D ．【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=， 故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-， 直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或． 故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ， 抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上， 若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-， 准线与x 轴的交点为N ，则2tan233πAN ==，()1,23A -，则()33,2M ， ∴114234322MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角， 即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角， 在直角1ACA △中，1126cos 3AC ACA AC ∠===， 即m 与1A C 6B ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-， 即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】D【解析】当0x >时，函数()()2ln 11ln f x x x '=-+=-， 由()0f x '>得1ln 0x ->得ln 1x <，得0e x <<，由()0f x '<得1ln 0x -<得ln 1x >，得e x >，当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()e 2e eln e 2e e e f =-=-=，当0x ≤时，()223392416f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数()f x 的图象如图：要使()f x a =（a 为常数）有两个不相等的实根，则0a <或9e 16a <<，即实数a 的取值范围是()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可） 【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<， 又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=， 即121210a d +=，即1765a d a +==，()113713721313136522a a a S a +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】1010-【解析】角ϕ终边经过点()2251,2sin 55P ϕ--⇒==-，15cos 55ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=， 即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+， 2522510sin sin cos cos sin 1244425251πππ0πf ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 本题正确结果1010-． 16．【答案】3【解析】由()4,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(),M x y ，则()()()()2222124,2242124P x y x y x y -⇒-+=⇒-+=， M 的轨迹为圆()2,0D ，半径为12，故BM 的最大值为1513222BD +=+=，故答案为3．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（23 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =．（2）22π113334sin sin 322344242ABCb c S bc A bc bc +⎛⎫⎛⎫===≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △面积的最大值为3． 18．【答案】（1）3.5；（2）①0.24；②见解析． 【解析】（1）对外卖A 服务质量评价较高的概率()4003000.71000P A +==，从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，则()5,0.7X B ～，X ∴的数学期望()50.7 3.5E X =⨯=．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率：()20020010030040020030030010001000100010001000100010001000P B =⨯+⨯+⨯+⨯0.040.030.080.09=+++0.24=．②()2001004003000123 1.81000100010001000A E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()2003002003000123 1.61000100010001000B E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()A B E X E X >，A ∴的服务质量指标的期望高于B ，故选外卖A 更合适．19．【答案】（1）见解析；（2）22． 【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥， 又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角， 故45CBO ∠=︒，所以2AB 1AO BO CO ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，设平面11A B D 的法向量为()111,,x y z =n ，则1100A D B D ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=n n ，所以111100z x y z =-+=⎧⎨⎩，令11x =，得()1,1,0=n ，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以OB 为平面11AC D 的一条法向量， ()0,1,0OB =，2cos ,2OB OB OB⋅==⋅n n n 所以二面角111B A D C --2． 20．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意． 【解析】（1）因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为222222b a=，且离心率是22，所以2c a =24b =，28a =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+==()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-， 上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增； 当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增； 当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减． （2）由题意得()()1e x f x x =-， 即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'， 当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意； 当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>， 00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由0012x x +≥，得02k <<， 又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->，01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x xx x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =． 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点， 所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα， 因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=． 联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号， 47a b ∴+的最小值为9．。
普通高等学校招生模拟考试理科数学试题 四 答案
…………………10 分 …………………12 分
....................2 分 ...................4 分
直线 EA 与抛物线 C 相切， (2kt 4)2 4k 2t2 0 ，即 kt 1
代入 1 x2 2x t2 0 ， x t2 ，即 A(t2 , 2t) t2
…………………………………8 分
PX
4
2 4 5
16 ， P( X 625
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)3
216 625
P( X
2)
C41
(
2 5
)3
(
3 5
)
96 625
P( X
0)
C42
(
2 5
)
2
(
3 5
)
2
216 ； 625
P( X
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)
3
216 625
PX
4
..........................12 分
18．解：
（1）取 AB 的中点 O ，连 CO, DO ，
理科数学试题答案 第 1 页 共 8 页
在 RT ACB, RT ADB ， AB 2 ，则 CO DO 1 ，又 CD 2 ，
CO2 DO2 CD2 ，即 CO OD ， 又 CO AB ， AB OD O ， AB,OD 平面 ABD
f
( x)min
f
(x0 ) ex0
x0 2
(e x0
2) 2x0
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2019高考数学仿真模拟试题4及参考答案解析
2019高考仿真模拟(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{x ∈Z |x 2<4},B ＝{y |y ＝2x ,x ∈A },则A ∪B 中的元素个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.无数 答案 B解析 A ＝{－1,0,1},B ＝{12,1,2},所以A ∪B ＝{－1,0,12,1,2}.故选B. 2.命题p ：∃x <0,sin x ＋cos x ＝2的否定是( ) A.∀x <0,sin x ＋cos x ≠2 B.∀x ≥0,sin x ＋cos x ≠2 C.∃x <0,sin x ＋cos x ≠2 D.∃x ≥0,sin x ＋cos x ≠2 答案 A解析 命题p 的否定是：“∀x <0,sin x ＋cos x ≠2”.故选A.3.从3男4女共7名同学中任选3人参加一项活动,其中至少有1名女同学的概率是( )A.12B.47C.67D.3435 答案 D解析 设“至少有1名女同学”为事件A ,则P (A )＝1－C 33C 37＝3435.故选D.4.若复数z 满足|z |－2z ＝1＋2i,则复数z ＋2在复平面内对应的点所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ),则依题意a 2＋b 2－2(a ＋b i)＝1＋2i, 所以⎩⎨⎧a 2＋b 2－2a ＝1，－2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－1，经检验知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－1是增根,所以z ＋2＝2－i.故选D.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.30＋π B .30＋2π C .18－π4 D.18－π 答案 C解析 易知,所求几何体为一个长方体中间挖去一个小圆柱.所以,V ＝3×2×3－π×14×1＝18－π4,故选C.6.定义某种运算⊕,a ⊕b 的运算原理如图所示.设f (x )＝(0⊕x )(2⊕x ).f (x )在区间[－1,1]上的最大值为( )A.－1B.0C.1D.2 答案 C解析 依题意,f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，0，0<x ≤1.故选C.7.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.若a n ＝1＋2＋22＋…＋2n ＋2,n ∈N *,则S 5的值是( )A.57B.119C.243D.491 答案 D解析 易知,a n ＝2n ＋3－1,所以,S 5＝29－24－5＝491.故选D.8.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0,n >0)有共同的焦点,且b ＝n .若椭圆的离心率为32,则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±32x D.y ＝±x答案 B解析 设椭圆的半焦距为c .则依题意, ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2，m 2＋b 2＝c 2，a 2＝43c 2，又b ＝n ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝23c 2，n 2＝13c 2.所以,双曲线的方程为x 22－y 2＝c 23,其渐近线方程为y ＝±22x .故选B.9.已知x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x －2y －1≤0，则z ＝(x ＋12)2＋(y ＋12)2的最小值是( )A.22B. 2C.12 D.2 答案 D解析 可行域如图,所以点(－12,－12)到直线x ＋y －1＝0的距离为 2.故选D.10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (x ＋m )，0<x <1，x ，x ≥1在(0,＋∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是( )A.m ≤9B.0<m ≤9C.0≤m ≤9D.0≤m <9答案 C解析 依题意,lg (x ＋m )≤1,解得m ≤9.又m ≥0,所以0≤m ≤9.故选C. 11.函数f (x )＝cos 2πx －sinπx cosπx 在区间[a －10,a ＋10](a ∈R )上零点的个数是( )A.40B.41C.20或21D.40或41 答案 D解析 易知,f (x )＝22sin(2πx ＋3π4)＋12,周期T ＝1.所以区间[a －10,a ＋10](a ∈R )共包含20个周期再加上一个端点.因为f (x )在一个周期内恰有2个零点,所以,如果区间的两个端点都是零点,则有41个零点；如果区间的两个端点不都是零点,则有40个零点.故选D.12.“抢红包”是大家比较喜欢的一种活动.某人在一个群里用2元发了若干个“拼手气红包”,结果该群里的每一个人(包括他本人)都抢到了一个红包,且红包恰好被抢完.如果每人抢到的红包的金额各不相同,则该群里的成员至多有( )A.17人B.18人C.19人D.20人 答案 C解析 依题意,1＋2＋3＋…＋n ≤200,即n (n ＋1)≤400.解得n ≤19.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ＝(x,1),b ＝(1,－2),若a ∥b ,则x 的值是________. 答案 －12解析 依题意,－2x －1＝0,x ＝－12.14.已知在(x ＋2x )n 的展开式中,所有项的二项式系数和为128,则x 3的系数是________.(用数字作答)答案 84解析 依题意,2n ＝128,所以n ＝7,所以x 3的系数是C 5722＝84.15.在等差数列{a n }中,若1≤a 1≤3,2≤a 4≤4,则a 10的最大值是________. 答案 10解析 依题意,设数列{a n }的公差为d , 再设a 10＝ma 1＋ka 4,则a 1＋9d ＝ma 1＋k (a 1＋3d )＝(m ＋k )a 1＋3kd , 所以⎩⎨⎧ m ＋k ＝1，3k ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝－2，k ＝3， 所以a 10＝－2a 1＋3a 4,又1≤a 1≤3,2≤a 4≤4, 所以0≤a 10≤10.因为a 1＝1,a 4＝4时,a 10＝10.16.甲、乙、丙3人在同一个环形场地锻炼.甲以13(圈/分钟)的速度慢跑,乙以14(圈/分钟)的速度快走,丙以16(圈/分钟)的速度慢走.计时开始时,3个人的前进方向相同,且甲在乙后面13圈,乙在丙后面16圈(如图所示).那么,经过________分钟,甲和乙2人第一次相遇；1个小时之内,甲、乙、丙3人________(填“能”或“不能”)第一次同时相遇.答案 4 不能解析 设经过t 分钟,甲和乙2人第一次相遇.则依题意,13t －14t ＝13,解得t ＝4.所以,经过4分钟,甲和乙2人第一次相遇在B 处.设经过k 分钟,甲和丙2人第一次相遇. 则依题意,13k －16k ＝12,解得k ＝3.所以,经过3分钟,甲和丙2人第一次相遇在A 处.且再经过9分钟,甲和丙2人第二次相遇(甲超过丙一圈)仍在A 处.且甲和丙2人以后每次相遇总在A 处.又因为甲和乙2人每次相遇都在B 处.故甲、乙、丙3人不可能同时相遇. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a ＝4,b ＝5,△ABC 的面积为5 3.(1)求角C 的弧度数；(2)记θ＝max{A ,B ,C }(即θ为角A ,B ,C 中的最大角),求tan θ. 解 (1)依题意,在△ABC 中, S △ABC ＝12ab sin C ＝10sin C ＝53, 所以sin C ＝32,所以C ＝π3或2π3. (2)若C ＝2π3,则角C 最大,此时θ＝C . 所以tan θ＝－3；若C ＝π3,则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋25－20＝21,c ＝21,于是角B 最大,此时θ＝B .因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋21－25821＝2114,sin B ＝1－cos 2B ＝5714,所以tan θ＝tan B ＝533；综上,tan θ＝533或－ 3.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AB ∥CD ,∠ABC ＝90°,AD ⊥DB ,∠CDB ＝30°,平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：AD ⊥平面PBD ；(2)若PD ⊥DB ,AD ＝1,PD ＝2,E 为PB 的中点,求二面角E －AC －B 的余弦值. 解 (1)证明：因为平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ,AD ⊂平面ABCD ,AD ⊥DB ,所以AD ⊥平面PBD .(2)由(1)知,AD ⊥平面PBD ,所以AD ⊥PD .又AD ⊥DB ,PD ⊥DB ,所以AD ,PD ,DB 两两垂直,建系如图.则依题意,A (1,0,0),B (0,3,0),C (－34,334,0), P (0,0,2),E (0,32,1),因为PD ⊥平面ABCD ,所以平面ABCD 的一个法向量m ＝(0,0,1). 设平面EAC 的法向量n ＝(x ,y ,z ).因为AC→＝(－74,334,0), EC →＝(－34,34,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－74x ＋334y ＝0，n ·EC →＝－34x ＋34y －z ＝0，令x ＝33,得n ＝(33,7,－32). 所以|cos 〈m ,n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝3307＝921307. 因为平面ABCD 和平面EAC 所成二面角为锐角, 所以二面角E －AC －B 的余弦值为921307. 19.(本小题满分12分)为了提高产品的品质,某公司每年都要投入一定的科研经费.已知该公司从2014年起,连续4年先后分别投入科研经费173万元,170万元,176万元,182万元.(1)如果该公司前后相邻两年投入的科研经费线性相关,请用线性回归分析的方法求出回归直线方程y ^＝a ＋bx ,并预测该公司2018年投入的科研经费；(2)如果该公司前后相邻两年投入的科研经费适宜用回归方程y ^＝c ＋d ln x 来拟合,请根据题后给出的相关公式及初步处理数据求出c ,d 的值,并预测该公司2018年投入的科研经费(保留小数点后两位).附：在回归直线方程y ^＝a ＋bx 中,b ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2,a ＝y －b x ；∑3i ＝1(t i－t )(y i －y )＝0.102,t ＝5.153,∑3i ＝1(t i －t )2＝0.000578.其中t i ＝ln x i ,i ＝1,2,3,ln 182＝5.204.解 (1)列表：x ＝173,y ＝176,b ＝∑3i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑3i ＝1(x i －x )2＝1,a ＝y －b x ＝3, 所以,回归直线方程为y ^＝x ＋3,该公司2018年投入的科研经费约为185万元.(2)d＝∑3i＝1(t i－t)(y i－y)∑3i＝1(t i－t)2＝176.47,c＝y－d t＝176－176.47×5.153＝－733.35,所以,回归方程为y^＝－733.35＋176.47ln x,该公司2018年投入的科研经费约为－733.35＋176.47ln 182＝－733.35＋176.47×5.204≈－733.35＋918.35＝185万元.20.(本小题满分12分)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A是抛物线C上的一个动点,过A点作l的垂线AH,H为垂足.已知B（0,－p2）,且|AH|＋|AB|的最小值为2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点B的直线n与抛物线C交于点P.若|PF|＝λ|PB|,求实数λ的取值范围.解(1)易知,F（0,p 2）,根据抛物线的定义,|AH|＋|AB|＝|AF|＋|AB|≥|FB|＝p,当且仅当A点与坐标原点重合时等号成立.依题意,p＝2,所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)若直线n的斜率不存在,则|PF|＝|PB|,λ＝1；若直线n的斜率存在,设直线n的方程为y＝kx－1,根据对称性,不妨设k>0, 则过P点作PQ⊥l,垂足为Q,则|PF|＝|PQ|.因为|PF|＝λ|PB|,于是|PQ|＝λ|PB|,λ＝|PQ| |PB|.在直角三角形PQB中,sin∠PBQ＝|PQ| |PB|,所以λ＝sin∠PBQ.因为函数y＝sin x在(0,π2)上是增函数,所以λ随着∠PBQ的增大而增大；又函数y＝tan x在(0,π2)上是增函数,所以∠PBQ随着tan∠PBQ的增大而增大,所以λ随着k的增大而增大.所以,当直线n与抛物线C相切时,λ的值最小.由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －1得14x 2－kx ＋1＝0. 令Δ＝k 2－1＝0得k ＝1. 此时,∠PBQ ＝π4,λ＝sin π4＝22, 所以此时λ∈[22,1).综上,实数λ的取值范围是[22,1].21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax －b ,g (x )＝x .(1)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )恰好相切于点(0,f (0)),求实数a ,b 的值； (2)若f (x )≥g (x )恒成立,求a ＋b 的最大值. 解 (1)因为f ′(x )＝e x －a , 所以f ′(0)＝1－a ,又f (0)＝1－b ,所以曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的方程为y －(1－b )＝(1－a )x . 依题意,1－a ＝1,1－b ＝0. 所以a ＝0,b ＝1.(2)依题意,h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －(a ＋1)x －b ≥0恒成立,易得,h ′(x )＝e x －(a ＋1).①当a ＋1≤0时,因为h ′(x )>0,所以此时h (x )在(－∞,＋∞)上单调递增. 若a ＋1＝0,则当b ≤0时满足条件,此时a ＋b ≤－1； 若a ＋1＜0,则 取x 0<0且x 0<1－ba ＋1,则h (x 0)＝e x 0－(a ＋1)x 0－b <1－(a ＋1)1－ba ＋1－b ＝0,不满足条件； ②当a ＋1>0时,令h ′(x )＝0,得x ＝ln (a ＋1), 由h ′(x )>0,得x >ln (a ＋1)； 由h ′(x )<0,得x <ln (a ＋1),所以h (x )在(－∞,ln (a ＋1))上单调递减,在(ln (a ＋1),＋∞)上单调递增, 所以,当x ＝ln (a ＋1)时,h (x )min ＝(a ＋1)－(a ＋1)·ln (a ＋1)－b ≥0, 所以,b ≤(a ＋1)－(a ＋1)ln (a ＋1), a ＋b ≤2(a ＋1)－(a ＋1)ln (a ＋1)－1,令F (x )＝2x －x ln x －1,x >0,则F ′(x )＝1－ln x ,令F ′(x )＝0,得x ＝e,由F ′(x )>0,得0<x <e ；由F ′(x )<0,得x >e,所以F (x )在(0,e)上单调递增,在(e,＋∞)上单调递减,所以,当x ＝e 时,F (x )max ＝e －1,从而,当a ＝e －1,b ＝0时,a ＋b 的最大值为e －1.综上,a ＋b 的最大值为e －1.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2t ＋1，y ＝4t ＋1(t 是参数).在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝sin θ－cos θ(θ是参数).(1)将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程,并判断曲线C 2所表示的曲线；(2)若M 为曲线C 2上的一个动点,求点M 到直线C 1的距离的最大值和最小值.解 (1)将曲线C 2的极坐标方程ρ＝sin θ－cos θ化为直角坐标方程得(x ＋12)2＋(y －12)2＝12.所以曲线C 2表示以点C 2(－12,12)为圆心,22为半径的圆.(2)因为直线C 1的普通方程为y ＝2x －1,所以点C 2到直线C 1的距离为d ＝2×－12－12－15＝52,所以点M 到直线C 1的距离的最大值和最小值分别为5＋22和5－22. 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋2|＋|x ＋a |(a ∈R ).(1)若a ＝5,求函数f (x )的最小值,并写出此时x 的取值集合；(2)若函数f (x )≥3恒成立,求a 的取值范围.解 (1)若a ＝5,则f (x )＝|x ＋2|＋|x ＋5|≥|(x ＋2)－(x ＋5)|＝3.当且仅当(x ＋2)(x ＋5)≤0时等号成立,解得－5≤x≤－2.所以,此时函数f(x)的最小值为3,此时x的取值集合为{x|－5≤x≤－2}.(2)因为f(x)＝|x＋2|＋|x＋a|≥|(x＋2)－(x＋a)|＝|a－2|.当且仅当(x＋2)(x＋a)≤0时等号成立,所以函数f(x)的最小值为|a－2|.依题意,|a－2|≥3,解得a≥5或a≤－1.。
2019年高考理科数学(全国卷)全真模拟预测试卷精编-卷四(含答题卡 答案)
高考理科数学模拟试题精编(四)(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1}D ．{0}2．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．函数f (x )＝sin x ·(4cos 2x －1)的最小正周期是( ) A.π3B.2π3C ．πD ．2π4．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q5．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角为( )A.π2B.2π3C.π6D.5π66．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为( )A.32＋833πB.32＋33πC.4＋333πD.4＋33π7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ．8D ．910．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤π2}，B 是曲线y ＝sin x 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为( )A.2πB.4πC.2π3D.4π3 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3 C ．23＋1 D.3＋112．已知底面是边长为2的正方形，侧棱长是1的直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是平面A 1B 1C 1D 1上的动点．给出以下三个结论，则正确结论的个数是( )①与点D 距离为3的点P 形成一条曲线，且该曲线的长度是2π2；②若DP ∥平面ACB 1，则DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，＋∞；③若DP ＝3，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2.A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3项的系数为________．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为________．15．已知三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________．16．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： (1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； (3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE .(1)求BM的长；(2)求二面角A-DM-B的余弦值的大小．19．(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)．求随机变量X的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2x－4)e x＋a(x＋2)2(x＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22t .(1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.高考理科数学模拟试题精编(四)班级：__________姓名：__________得分：____________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)高考理科数学模拟试题精编(四)1．解析：选B.∵集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}＝{－1,0}，∴A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.2．解析：选D.由a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝a －3－i为纯虚数得a －3＝0，即a ＝3.3．解析：选B.∵f (x )＝sin x [2(1＋cos 2x )－1]＝2sin x cos 2x ＋sin x ＝sin 3x ＋sin(－x )＋sin x ＝sin 3x .∴最小正周期T ＝2π3.故选B.4．解析：选A.綈p ，表示“甲抛的硬币正面向下”，綈q 表示“乙抛的硬币正面向下”．则(綈p )∨(綈q )表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选A.5．解析：选C.通解：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0，即a·a －a·b ＝|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝|a |2|a |·|b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角为π6，选C.优解：因为a ⊥(a －b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a －b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C.6．解析：选D.该几何体是由一个圆锥和一个球组成的，球的半径和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13π×12×3＋43π×13＝4＋33π，故选D. 7．解析：选A.由图象知，A ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，所以2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，因为|φ|＜π2所以令k ＝0得φ＝π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，把函数f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)，故选A. 8．解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.10.解析：选D.构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得：面积为S ＝2∫π0sin x d x ＝－2cos x π0＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选D .11．解析：选D .∵直线y ＝33(x ＋c)过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P.∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选D .12．解析：选C .如图，与点D 的距离为3的点P 形成一个以D 1为圆心，半径为2的圆弧MN ，其长度为14×2π×2＝2π2，所以①正确；因为平面A 1DC 1∥平面ACB 1，所以点P 必须在面对角线A 1C 1上运动，当点P 在A 1(或C 1)时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DA 1O(或∠DC 1O)，tan ∠DA 1O ＝63，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最小，当点P 在O 1时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DO 1O ，tan ∠DO 1O ＝2，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最大，所以DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，2，所以②错误；设P(x ，y,1)，则x 2＋y 2＝2，所以DP 在前后、左右、上下面上的投影长分别是y 2＋1、x 2＋1、x 2＋y 2，所以DP 在6个面上的正投影长度之和为2(y 2＋1＋x 2＋1＋2)≤2⎝⎛⎭⎪⎫2y 2＋1＋x 2＋12＋2＝6 2.所以③正确．13．解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为C r6(2x)r ·C m5y m ，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.所以xy 3项的系数为C 16·2·C 35＝120.答案：12014．解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ⇒sin B ＝b sin C c ＝12，又c ＞b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 答案：3＋115．解析：因为BC ＝1，CD ＝3，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝AD ＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A-BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A-BCD 的外接球的体积为4π3. 答案：4π316．解析：f(x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，(1)正确；函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－34，0对称，(2)正确；因为f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f(－x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，(3)正确；f(x)是周期函数，在R 上不可能是单调函数，(4)错误．故真命题的序号为(1)(2)(3)．答案：(1)(2)(3)17．解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，(2分)又q ＞1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(6分)(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，(7分)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1 ②.(9分) ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，(11分) －T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.(12分)18．解：(1)设AC ∩BD ＝O ，取EF 中点N ，连接NO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵四边形BDEF 是矩形，∴ON ⊥BD ，(1分) ∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，ON ⊂平面BDEF ，∴ON ⊥平面ABCD ，(2分)以O 为原点，以OC ，OB ，ON 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，(3分) ∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，∵四边形BDEF 是矩形，DE ＝2，∴A (－3，0,0)，B (0,1,0)，C (3，0,0)，E (0，－1,2)，D (0，－1,0)，设BM ＝h ，则M (0,1，h )，(4分)∴DM→＝(0,2，h )，AE →＝(3，－1,2)．∵DM ⊥平面ACE ，∴DM→⊥AE →，(5分) ∴－2＋2h ＝0，解得h ＝1，∴BM ＝1.(6分)(2)AD→＝(3，－1,0)，DM →＝(0,2,1)，设平面ADM 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AD→＝0m ·DM→＝0，(7分)∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝02y ＋z ＝0，令x ＝3，得m ＝(3，3，－6)，(8分) 又AC ⊥平面BDM ，∴n ＝(1,0,0)是平面BDM 的一个法向量，(9分)∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝343×1＝14，(11分)∴二面角A -DM -B 的余弦值为14.(12分)19．解：设指针落在A ，B ，C 区域分别记为事件A ，B ，C . 则P (A )＝16，P (B )＝13，P (C )＝12(2分)(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域， ∴P ＝P (A )＋P (B )＝16＋13＝12，即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12.(4分)(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次． 随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120.(5分) P (X ＝0)＝12×12＝14；P (X ＝30)＝12×13×2＝13；P (X ＝60)＝12×16×2＋13×13＝518；P (X ＝90)＝13×16×2＝19；P (X＝120)＝16×16＝136，(9分)所以，随机变量X 的分布列为：(11分)其数学期望E (X )＝0×14＋30×13＋60×518＋90×19＋120×136＝40.(12分)20．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.(2分)∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，(6分)∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，(8分)∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，(10分) ∵k 2＞14，∴4k 2＞1，∴3＋4k 2＞4，∴0＜13＋4k 2＜14，∴1＜1＋13＋4k 2＜54，∴45＜45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2＜1，即45＜λ＜1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.(12分)21．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－(x －1)e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－(x －1)e xx ＋2，则g ′(x )＝－x e x (x ＋2)－(x －1)e x (x ＋2)2＝－(x 2＋x ＋1)e x(x ＋2)2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(6分)(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，(8分)又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t ＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－(t －1)e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．(10分)记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．(12分)22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(4分)(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，(5分)如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)，(7分)当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，(9分)由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．(10分)23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.(1分)当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0； 当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(5分)(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.(8分) 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.(10分)。
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2018高考仿真卷·理科数学(四)
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M= ,N={x|x ≥1,x ∈R },则下列结论正确的是( )
A.M ∩N=N
B.M ∩∁R N=⌀
C.M ∪N=R
D.M ⊂∁R N
2.已知i 为虚数单位,若复数z 满足(1-i)z=(1+i)2,则|z|等于( )
A.2
B.-
C.
D.1+i
3.在等差数列{a n }中,已知a 2=2,前7项和S 7=56,则公差d=( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图一),图二是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD 内部即为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形
AFB ,BCG ,CDH ,DAE 组成,其中BF=3,AF=4,分别延长FA ,GB ,HC ,ED 到A',B',C',D',使
AA'=FA ,BB'=GB ,CC'=HC ,DD'=ED ,连接A'B ,B'C ,C'D ,D'A ,我们将图中阴影所在的四个三角形ABA',三角形BCB',三角形CDC',三角形DAD'称为“风叶”,若在风车内随机取一点,则此点取自“风叶”的概率为( )
A. B. C. D. 5.设x ,y 满足约束条件 - -
- -
则
z=x+3y 的取值范围是( ) A.[8,12] B.[7,12] C.[7,8] D.[7,+∞
)。