2018秋上海教育版数学八上19.9《勾股定理》同步练习
沪教版八年级数学上册《19.9勾股定理》同步练习题-带答案
沪教版八年级数学上册《19.9勾股定理》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A ．1，2，3 B ．1，2和3 C ．3，4，5 D ．4，5，62．在平面直角坐标系中，点M 的坐标为()3,4-，则OM 的长为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．123．在Rt ABC △中90C ∠=︒，AB=10，BC=8，则AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．104．如图，以Rt △ABC 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，若S 1＝8cm 2，S 2＝17cm 2，则斜边AB 的长是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．4cmD ．5cm5．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（ ）A ．3B ．41C ．6D ．76．如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小正方形方格的顶点上，则AB 边上的高等于（ ）A ．1310B ．1013C ．13D ．107．如图，有一张直角三角形的纸片ABC ，两直角边4AC =，BC=8，现将Rt ABC △折叠，使点B 与点A 重合，得到折痕MN ，则ACM △的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD ，交于点O ．若1AD =，BC=4，则22AB CD +等于（ ）A ．15B ．16C ．17D ．209．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5m ，高3m 的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m ，则共需购买红地毯（ ）A ．221mB ．245mC ．224mD ．212m证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题 11．如图，点A 在数轴上表示的数是 ．12．如果一梯子底端离建筑物9 m 远，那么15 m 长的梯子可到达建筑物的高度是 m ． 13．已知直角坐标平面内两点()6,4A 和()2,1B ，则线段AB 的长为 ．14．如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为9cm ，7cm ，5cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所走的最短路线的长是 cm ．15 . 如图，在中，点B 在上，且，与关于对称，则____________．三、解答题1 . 如图在四边形中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且，求的度数．17．某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境．已知一种草皮售价为70元/2m ，90CBA ∠=︒则购买这种草皮需要多少钱？18．如图．在Rt ABC △中90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒将ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度得到△DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ，连接AD ，点E 恰好在AC 上．(1)求CAD ∠的大小；(2)若2AB =，求AE 的长度．参考答案13．【答案】514．【答案】1515．【答案】16．【答案】135︒．17．【答案】购买这种草坪需要2520元18．【答案】(1)75︒(2)423-。
八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
八年级上勾股定理同步练习含答案解析.docx
八年级上勾股定理同步练习含答案解析一・选择题（共14小题）1. （2016・荆门）如图，AABC 中,AB=AC, AD 是ZB AC 的平分线・已知AB=5, AD=3, 则BC 的长为（ ）2. （2016・漳州）如图,在厶ABC 中，AB=AC=5, BC=8, D 是线段BC ±的动点（不含端 点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ） A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个3. （2016-株洲）如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角A. 13B. 19C ・ 25D. 1697. （2016•青海）如图，正方形ABCD 的边长为2,其面积标记为Si,以CD 为斜边作等腰 直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作止方形，其面积标记为S2,…， 按照此规律继续下去，则S9的值为（A. 5C. 8三角形和正方形, 上述四种悄况的而积关系满足S 】+S2=S3图形个数有（C. 3D. 4 4.12上, ZACB=90°,若Zl=15°, 则Z2的度数是（A. 35°D. 20°B. 6 3D. 10 第2题A. 1B. 2 )第5题丄A.迈）68. （2016*淄博）如图,正方形ABCD 的边长为10, AG=CH=8, BG=DH=6,连接GH,则线段GH 的长为（二.填空题（共8小题）11. （2016•安顺）如图，直线m 〃n, AABC 为等腰直角三角形，ZBAC=90°,则Zl= 度. ZACB=90°, ZB=40°, D 为线段 AB 的中点,则ZACD=6 （2016-黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小止方形拼成的大正方形，如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直 角边长为b,那么（a+b ） $的值为（ ）V2 B. ( 2)7 C. ( 2)6 D. ( 2 ) 7V2 8^3~~5~ 11 A. 5 B. 2V2 C. 5 D. 1O-5V29.如图，将一边长为a 的正方形（最中间的小正方形）>a ）拼接在一起，则四边形ABCD 的面积为（ A. b 2+ （b - a ）2 10.如图，RtAABC 中，ZACB=90°, ZA=55°, 折痕为CD,则ZA ,DB=( ) A. 40°B. 30°C. 20° 与四块边长为b 的正方形（其中bD. a 2+2ab将其折叠，使点A 落在边CB 上H 处, D. 10°12.如图,在ZXABC 中, (b+a)13. （2016*绥化）如图，在四边形ABCD 屮，对角线AC 、BD 相交于点E, ZDAB=ZCDB=90°,ZABD=45°, ZDCA=30°, AB=V6,则 AE= _________ （提示：可过点 A 作 BD 的垂线）14. 如图，它是山四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果 大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短的直角边长为a,较长的直 角边长为b,那么（a+b ） $的值为 ________ .15. 如图，RtAABC 的周长为（5+3后）cir,以AB 、形ACMN.若这两个正方形的面积之和为25 cm 2,则Z\ABC 的面积是 _______ cm 2. 16. 如图，在 RtAABC 中，ZACB=90°, AC=3, BC=4,点 D 在 AB ±, AD=AC, AF 丄 CD 交CD 于点E,交CB 于点F,则CF 的长是 ________17. 如图，在 RtAABC 中，ZACB=90°, ZBAC=30°, AB=4,以 AC 为斜边作 RtAACCi ， 使ZCACi=30°, RtAACCi 的面积为 Si ；再以 ACi 为斜边作厶AC I C 2，使ZC]AC 2=30o , RtAACiC 2的面积记为S2，…，以此类推，贝US* _____18. 如图，AABC 和ADEF 是两个全等的等腰直角三角形，点G 在直角边BC 上，BG=5, CG=1,将ADEF 的顶点D 放在肓角边AC 上，肓角边DF 经过点G,斜边DE 经过点B, 则 CD=第13题AC 为边向外作正方形ABPQ 和正方（用含n 的式子表示）B第16题二.解答题（共6小题）19.（2016*益阳）在厶ABC 中,AB=15, BC=14, AC=13,求AABC 的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.B D C20.作图题：如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形.（1）从点A出发的一条线段AB,便它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5；（2）以（1）屮的AB为边的一个等艘三角形ABC,使点C在格点上，请画出所有满足条件的点C・在厶ABC屮，AB、BC、AC三边的长分别为（瓦V10. V13,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小止方形的边长为1），再在网格中画出格点AABC （即AABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示.这样不盂求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积. （1）请你将AABC 的面积直接填写在横线上23.在Rt A ABC +, ZC=90°,以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C 作CH 丄 AB 于H,延长CH 交MN 于点I.（1）如图（1）若AC=3V2, BC=2V3，试通过计算证明：四边形AH1N 的面积等于正方形 AEFC 的面积.（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC 2+BC 2=AB 2.（2）若ZiABC 三边的长分别为Vin 2+16n\ V9m 2+4n 2, 2Vm 2+n 2(m >0, n>0,mHn ）,运用构图法可求出这三角形的面积为 _______ 22. 一、阅读理解：在厶ABC 中，BC=a, （1） 若ZC 为直角，（2） 若ZC 为锐CA=b, AB=c ；则 a 2-'b 2=c 2； 则a 2+b 2与c 2的关系为：a 2+b 2>c 2； 试推导a'+b?与J 的关系.二、探究问题：在AABC 中，BC=a=3, CA=b=4, AB=c,若AABC 是钝角三角形，求第三 边c 的取值范围.CN M参考答案与解析一.选择题（共14小题）1.（2016-荆门）如图，ZXABC 中，AB=AC, AD 是ZB AC 的平分线.已知AB=5,AD=3, 则BC的长为（）【分析】根据等腰三介形的性质得到AD丄BC, BD=CD,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解：TAB=AC, AD是ZB AC的平分线，A AD丄BC, BD=CD,•.* AB=5, AD=3,・・.BD=V A B2 ~ AD2=4,.\BC=2BD=8,故选C.【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.2.（2016*漳州）如图，在厶ABC中，AB=AC=5, BO8, D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【分析】首先过A作AE1BC,当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC,进而可得BE的长，利用勾股定理计算岀AE长，然后可得AD的取值范|札进而可得答案.【解答】解：过A作AE丄BC,TAB二AC,X・・・EC=BE=2B O4,.•.AE=V52 - 4%,・・・D是线段BC ±的动点（不含端点B、C）.・・・3WAD<5,A AD=3 或4,・・•线段AD氏为正整数，・••点D的个数共有3个，故选：C.【点评】此题主要考杏了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算岀 AD 的最小值，然后求出AD 的取值范围.3. （2016-株洲）如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角 三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S 2=S 3图形个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据在角三角形a 、b 、c 为边，应用勾股定理，可得a 2+b 2=c 2.（1） 第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后 根据 a 2+b 2=c 2, IJ 得 S1 +S2=S3 •（2） 第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的Ifli 积；然后根据a 2+b 2=c 2, 可得 Si+S 2=S 3.（3）第三个图形屮，首先根据等腰肓角三角形的面积的求法，表示出3个等腰玄角三角形 的面积；然后根据a 2»b 2=c 2,可得Si+S 2=S 3.（4）第四个图形小，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a 2+b 2=c 2,可得 Si+S2=S3.【解答】解：(1) Si= 4 a 2, *.* a 2+b 2=c 2,返返返.・・ 4 a 2+ 4 b 2= 4 c 2,•：S1+S2=S3・TT兀兀(2) Si= 4 a 2, S2= 4 b 2, S3= 4 c 2,• a +b =c ， JU 7T 7T・・・ 4 a 2+ 4 b 2= 4 c 2,Vs S 2= 4 b 2,VsS3= 4 c 2,• • S[ +S2=S3 •丄丄丄(3)Si= ^a2, S2= b2, S3=4j,*.* a2+b2=c2,丄丄丄.・・ 4a2+4b2=4c2,/.S1+S2=S3.（4）S j=a2, S2=b2, S3=c2,Va2+b2=c2,.•.S1+S2=S3.综上，可得血积关系满足S[+S2=S3图形有4个.故选：D.【点评】（1）此题主耍考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握.4.（2016-杭州）已知肓角三用形纸片的两条直用边长分别为m和n （mVn）,过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A. m2+2mn+n2=0B. m2 - 2mn+n2=0C. m2+2mn - n2=0D. m2 - 2mn - n2=0【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m2= （n-m）〈整理即可求解【解答】解：如图，m2+m2= （n-m）2,2m =n - 2mn+rrT,7 om_+2mn - n =0.【点评】考杳了等腰肓角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系.5.（2016-济南）如图,直线h〃b，等腰直角AABC的两个顶点A、B分别落在直线h、b上，ZACB=90°,若Zl=15°,则Z2 的度数是（）C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得ZCAB=45。
《勾股定理》最新初二数学课后同步练习-word
《勾股定理》2019年最新初二数学课后同步练习《勾股定理》2019年最新初二数学课后同步练习1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A、2，3，4 B、，， C、6，8，10 D、，，2、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍 3、下列说法中正确的是( ) A、已知是三角形的三边，则 B、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C、在中，，所以 D、在中，，所以 4、下列四组数：①5，12，13;②7，24，25;③3a，4a，5a(a>0);④32，42，52。
其中可以构成直角三角形的边长有( ) A、1组 B、2组 C、3组 D、4组 5、在中，，AC=5cm，BC=12 cm，其中斜边上的高为( ) A、6 cm B、8.5 cm C、 cm D、cm 6、一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，，则木板的面积为( ) A、60 B、24 C、30 D、12 7、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A、100cm B、50cm C、140cm D、80cm 8、满足的三个正整数称为。
9、如图，直角三角形中未知边的长度= 。
10、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形。
11、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为 ( ) A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm 12、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( ) A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm2 13、如图(1)，带阴影的矩形面积是( )平方厘米 A.9 B.24 C.45 D.51 14、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为( ) A.65 B.60 C.120 D.130 15、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为 ( ) A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm 题型一：直接考查勾股定理 1、在△ABC中，∠C=90°，AB=10. (1)当∠A=30°时，求BC、AC (2) 当∠A=45°时，求BC、AC 题型二：应用勾股定理建立方程 1.在中，，，，于，求的长。
2018年秋八年级数学上册 第14章 勾股定理检测题 (新版)华东师大版
第14章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(广西中考)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，2， 32．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”用反证法证明，应假设( D )A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b23．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( B )A．75 B．100 C．120 D．125,第3题图) ,第4题图),第6题图)4．(大连中考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为( D )A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋15．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( D )A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角 E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( D )A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米7．直角三角形中，斜边长为2 cm，周长为(2＋10) cm，则它的面积为( A )A．1.5 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．6 cm28．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以,第8题图) ,第9题图),第10题图) 9．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝9 cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为( A )A ．6 cm 2B ．8 cm 2C ．10 cm 2D ．12 cm 210．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 距点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( B )A ．521B ．25C ．105＋5D ．35二、填空题(每小题3分，共24分)11．若直角三角形的两直角边长为a ，b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．12．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．13．(2017·长春)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形．若EF ＝2，DE ＝8，则AB 的长为__10__．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，分别以边AC ，BC 为直径向三角形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为__92π__．(结果保留π) ,第13题图) ,第14题图),第15题图) ,第16题图)15．(2017·烟台)如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连结OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为__7__．16．如图，Rt △ABC 的两直角边分别为1，2，以Rt △ABC 的斜边AC 为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；再以△ACD 的斜边AD 为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；依此类推，第n 个直角三角形的斜边长是__n ＋4__．17．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__310或10或8__．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，P是AB边上一动点，则PC＋PD的最小值是__5__．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.证明：假设PB＝PC，又∵AB＝AC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC，这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，即PB≠PC20．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB 的度数．解：135°21．(8分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n 是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．(1)这个说法是否正确？请说明理由；(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．解：(1)正确，理由略(2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题22．(7分)如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝90°，BC ＝13米，AC ＝5米，∴AB ＝132－52＝12(米)，∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，∴CD ＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD ＝CD 2－AC 2＝64－25＝39(米)，∴BD ＝AB －AD ＝12－39(米)，答：船向岸边移动了(12－39)米23．(7分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C 周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由勾股定理得AB ＝500米，由S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC×BC ，得CD ＝240米＜260米，∴公路AB 段有危险，需要暂时封锁24．(8分)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，求证：AD 2＋DB 2＝DE 2.证明：易证△ACE≌△BCD ，∴AE ＝DB ，∠CAE ＝∠B ，∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ＝∠CAD＋∠B ＝90°，∴AE 2＋AD 2＝DE 2，即DB 2＋AD 2＝DE 225．(10分)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．作AD⊥BC于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数式表示CD →根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；(2)填空：在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，则△DEF 的面积是__24__．解：(1)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，故152－x 2＝132－(14－x )2，解得：x ＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84(2)如图，在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，设GD ＝x ，则GE ＝15－x ，由勾股定理得：FG 2＝DF 2－GD 2＝42－x 2，FG 2＝EF 2－EG 2＝132－(15－x )2.故42－x 2＝132－(15－x )2，解得：x ＝2.4.∴FG ＝3.2.∴S △DEF ＝12DE·FG ＝12×15×3.2＝24.故答案为：2426．(12分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务，渔政船位于南海的O 处执行任务，一艘外国渔船从点O 正东方向25海里的A 处，以20海里/时的速度沿AB 方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．(1)已知渔政船到AB 的距离OD 长为7海里，那么外国渔船从A 点行驶到D 点经过多长时间？(2)若在A ，D 之间的点C 处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C ，D 两处相距多远？(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？解：(1)AD ＝OA 2－OD 2＝24海里，外国渔船从A 点行驶到D 点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD ＝x 海里，则OC ＝AC ＝(24－x )海里，由x 2＋72＝(24－x )2，解得x ＝52748，∴C ，D 两处相距52748海里 (3)在AB 上取E ，F 两点，使OE ＝OF ＝8海里，E 点为外国渔船进入禁区地点，F 点为外国渔船驶离禁区地点，由三线合一得DE ＝DF ，∵DE ＝OE 2－OD 2＝15(海里)，∴EF ＝215海里，所以外国渔船会在我渔政船禁区内行驶21520＝1510(小时)。
八年级数学沪科版 第18章 勾股定理 训练习题课件18.1.1 勾股定理
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝ 90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：如图，连接 BD，过点 B 作 DE 边上的 高 BF 交 DE 的延长线于点 F，则 BF＝b－a. ∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝12ab＋12b2＋12ab， 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE ＝12ab＋12c2＋12a(b－a)， ∴12ab＋12b2＋12ab＝12ab＋12c2＋12a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2.
O.若点 O 是 AC 的中点，
则 CD 的长为( A )
A．2 2 B益阳]在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路．请你按 照他们的解题思路，写出解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，设 BD＝x，则 CD＝14－x， 根据勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2 ＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得 x＝9. ∴AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144. ∴AD＝12. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.
2．已知直角三角形中 30°角所对的直角边长是 2 3cm，则另一 条直角边的长是( C ) A．4 cm B．4 3cm C．6 cm D．6 3cm
3．[合肥十九中期中]如图，在下列横线上填上适当的值．
①x＝____5____；②y＝___2_.5____； ③m＝___9_____；④n＝____9____．
【答案】B
8．[合肥期中]如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是
沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.9勾股定理(含答案)
19.9（1）勾股定理一、填空题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC= ．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=7，AC=24，则AB= ．3．△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BC=1，则AB= ．4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=10，则BC= ．5．边长为2的等边三角形的高等于 ．6．等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为 ．7．直角三角形的两边长为3和4，则第三边长 ．二、 选择题8. 下列各组数分别为三角形三边的长，(1) 25，24，7；(2) 16，8，15；(3) 41，40，9； (4) 13，14，15；其中是直角三角形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 9. 如图所示，字母B 所代表的正方形的面积是( )A. 12B. 13C. 144D. 194 第8题图10. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则a ∶b ∶c 等于( )A. 1∶3∶2B. 3∶1∶2C. 1∶1∶2D. 1∶2∶311. 等腰三角形的两边长为4和6，则它的面积是( )A. 82B. 15C. 82或15D. 82或37三、解答题12. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶BC＝4∶3，AB＝15 cm，CD⊥AB，D是垂足．求AD的长．13.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，BD是AC边上的中线．求BD的长．14.已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AB ＝ 2.求△ABC 的面积．四、提高题15．已知：如图，60DAB CD AD CB AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB CD ==，．求：ＡＤ和ＢＣ的长．DC AB19.9（2）勾股定理一、解答题1．如图1,在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
八年级上华东师大版勾股定理同步练习
勾股定理一、课内训练:1．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB22．填空:（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；（2）在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，• AB 边上的高为________；（3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．3．判断题:（1）三角形三边长分别为7、24、25，则这个三角形的面积为168；（）（2）三角形的三边长分别为9、16、25，则此三角形为直角三角形；（）（3）若三角形三边长分别为n-1、n、（n+1）（n>1），则此三角形为直角三角形（） 4．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③：2：，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．6．如图，设火柴盒ABCD的两边之长为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是AB′C′D′，试利用该图验证勾股定理的正确性．7．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗请画出拼后的示意图．（无需证明）8．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，•求四边形ABCD的面积．（提示：直角三角形中，30°角所对边是斜边的一半）B CAD 9．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2，S1=1；（2）2+1=3，S2=2；（3）2+1=4，S3=32；…（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．二、课外演练：1．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：72．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ） A．4 B．8 C．10 D．123．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（）A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：54．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（）A．，， B．6，8，10 C．4，5，6 D．34,55，255．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，•小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（• ） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米6．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．7．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．8．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是________．9．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是（） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形10．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．11．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．A B C D 12．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．B CAC'EDFBCAD13）如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．14．阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、•阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=12（m2-1）和c=12（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：勾m 3 5 11 …股12（m2-1） 4 12 60 …弦12（m2+1） 5 13 61 …m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 …n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 …a=m2-n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11 …b=2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60 …c=m2+n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，•各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．15．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），•根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，•试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．答案:一、课内训练:1．B 点拨：BC是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．2．（1）12；（2）8 24点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高；（3）13．3．（1）×（2）×（3）×点拨：（1）是直角三角形，面积为12×7×24=84；（2）不能构成三角形；（3）中（n-1）2+n2≠（n+1）2．4．B 点拨：②③可构成直角三角形；①不能构成三角形；④不能构成直角三角形．5．8 点拨：此三角形为直角三角形．6．点拨：可看成火柴盒ABCD绕A点旋转90°后得到△AB′C′D′，有∠CAC′=•90°，△ACC′为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可．7．（1）是直角梯形；c cb aba（2）因为S梯形=12（a+b）（a+b）=12（a+b）2，S=2×12ab+12c2=ab+12c2，所以12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2．（3）如图所示．833点拨：延长AD 、BC 交于点E ，S 四边形ABCD =S △AEB -S △EDC ． 9．（1）n ）2+1=n+1，S n =2n ；（2）OA 105510;(3)4． 二、课外演练： 1．C2．C 点拨：设斜边长为x ，有x 2=（x-2）2+62，x=10．3．C 点拨：设两直角边为5x ，12x 22(5)(12)x x +． 4．B5．A 222.5 2.4-．6．57 点拨：分4为斜边长和直角边长解． 72 点拨：设直角边长为x ，有x 2+x 2=22，2．8．30cm 2点拨：此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm ，12cm ． 9．C 点拨：把c 2-26c+169变为（c-13）2，则（a-5）2（b-12）2，（c-13）2都是非负数，它们和为0， 即（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0， 所以a=5，b=12，c=13，有c 2=a 2+b 2． 10．295点拨：设DE=x ，则DE=BE=x ，AE=AB-BE=10-x ； 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， 所以x 2=（10-x ）2+16，即x=295． 11．A A 不是直角三角形，B 、C 、D 是直角三角形 点拨：先观察得出A•不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．12．解：设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，在Rt△ADC中，AD2=152-（14-x）2，所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，在Rt△ABD中，．13．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．在Rt△ABC中，=（米）．14．（1）方法1c-a=12（m2+1）-m=12（m2-2m+1）=12（m-1）2>0，c-b=1>0，所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[12（m2-1）] 2=（14m4-2m2+1）+m2=14（m4+2m2+1）=[12（m2+1）] 2=c2，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．同理可证方法2．（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．（3）120．15．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2．证明：①当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．cb BCADc ba BCAD②当△ABC 是钝角三角形时，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ， 设CD•为x ，•则BD 2=a 2-x 2． 根据勾股定理，得（b+x ）2+a 2-x 2=c 2． 即b 2+2bx+x 2+a 2-x 2=c 2．∴a 2+b 2+2bx=c 2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a 2+b 2<c 2．。
沪教版(上海)八年级第一学期19.9《勾股定理》综合练习
勾股定理一、选择题1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )A. 1.8B. 2.4C. 3.2D. 3.62. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )A. 48B. 60C. 76D. 803. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在A处，点D落在DD′处.若AB=3，BC=9，则折痕EF的长为( )A. √10B. 4C. 5D. 2√104. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题: 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远, 问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A. x2−3=(10−x)2B. x2−32=(10−x)2C. x2+3=(10−x)2D. x2+32=(10−x)25. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 ( )A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m6.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB 在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为()A. (√3,1)B. (2,1)C. (1,√3)D. (2,√3)7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A. 2aB. 2√2aC. 3aD. 4√3a38. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 ( )A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是 ( )A. 10B. 5C. 245D. 12510. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 911. 一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为 ( )A. 3B. √41C. √41与3D. 不确定12. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为 ( )A. 25米B. 12米C. 13米D. 4√3米13. 如图,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )A. 65B. 95C. 125D. 16514. 如图,在ΔABC中,∠C=90°,AB=15,则两个正方形面积的和为( )A. 150B. 200C. 225D. 35015. 若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高是( )A. 5B. 2.4C. 3.6D. 1.816. [2016·株洲中考]如图,以直角三角形a ,b ,c 为边,向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3的图形个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题17. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 上的一个动点，以EF 为对称轴折叠△CEF ，使点C 的对称点G 落在AD 上，若AB =3，BC =5，则CF 的取值范围为 .18. 如图所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米.梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下滑了____米.19. 如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为____.20. 已知长方形ABCD，AB=3 cm，AD=4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为____.21. 如图,在RtΔABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为_____.22. 如图所示,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4,则S1+S2+S3+S4=_____.23. 直角三角形的周长为12,斜边长为5,则该直角三角形的面积为_____.24. 如图，A,B两个火车站相距25km，C、D两村位于铁路的同侧，且CA⊥AB，DB⊥AB，且AC=15km，BD=10km.现要在铁路AB段上建一个中转站E，使得CE=DE，则中转站E应建在距A站____km处.三、解答题25. 如图,已知在ΔABC中,AB=10,AC=21,BC=17,求AC边上的高.26.在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.(1)如图1,若AB=3√2,BC=5,求AC的长;图1(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC 于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.图227. 为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20 cm，宽AB=16 cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据步骤①②解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)计算EC的长.28. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.29. 如图，已知在长方形ABCD中，AD=3cm，AB=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求ΔADE的面积.四、证明题30. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：图① 图②将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b2=c2.证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.∵S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=12b2+12ab，S四边形ABCD=SΔADB+SΔDCB=12c2+12a(b−a)，∴12b2+12ab=12c2+12a(b−a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b2=c2.31. 如图,在ΔABC中,AB=AC,D为BC边上任意一点.求证：AD2+BD⋅CD=AB2.32. 如图,四边形ABCD,EFGH,NHMC都是正方形,边长分别为a,b,c,且点A,B,N,E,F在同一直线上.求证：S正方形NHMC =S正方形ABCD+S正方形EFGH.33. 如图所示,已知AD是ΔABC的中线.求证：AB2+AC2=2(AD2+CD2).34. 以a,b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形.把这四个直角三角形拼成如图所示的形状.求证：a2+b2=c2.35. 已知：如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点.求证：2PA2=PB2+PC2.参考答案1. 【答案】D 【解析】连接BF ，交AE 与点H ，由折叠的性质可得FE=BE ，BF ⊥AE ，∵BC =6，点E 为BC 的中点，∴BE =3，又Rt △ABE 中，AB =4，由勾股定理得AE =√AB 2+BE 2=5，∴BH=AB∙BE AE =125，则BF =245，在△BFC 中，FE=BE=EC ，∴∠BFC =90°，∴CF =√BC 2-BF 2=√62-(245)2=185.故选D.2. 【答案】C 【解析】∵∠AEB =90°，AE =6，BE =8，∴AB 2=AE 2+BE 2=100，∴S 阴影部分=S 正方形ABCD -S △ABE ，=AB 2-12×AE ×BE =100-12×6×8=76.故选C.3. 【答案】A 【解析】由翻折可知AE =EC ,设BE =x ，则AE =9-x 在Rt △ABE 中，根据勾股定理得3²+x ²=(9-x )²，解得x =4，∴AE =5.在△ABE 和△AD ′F 中，AB =AD ′, ∠BAE =∠FAD ′, ∠B =∠D ′,∴△ABE ≌△AD′F (AAS).∴AF =AE =5.过点F 作FH ⊥BC 交BC 于点H ,则FH =3，EH =5-4=1.在△EFH 中，根据勾股定理得EF =√12+32=√10.故选A.4. 【答案】D 【解析】设折断后的竹子高x 尺，根据勾股定理可得x 2+32=(10-x )2 ，故选D.5. 【答案】D 【解析】如图所示，作BC ⊥AE 于点C ，因为四边形BDEC 为矩形，所以BC =DE =8，设AE =x ，则AB =x ，AC =x -2，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2+BC 2=AB 2，即(x -2)2+82=x 2，解得x =17.即旗杆的高度为17 m,故选D.6. 【答案】D【解析】由题知AB=AD'=D'C'=2,AO=1,∴由勾股定理知OD'=√3,∴点C'的坐标为(2,√3),故选D.7. 【答案】B【解析】因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以由勾股定理得,CE=√2a,因为点E是线段AB的中点,∠ACB=90°,根据直角三角形的性质可得AB=2CE=2√2a,故选B.8. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中,AC=6 cm，BC=8 cm，根据勾股定理得：AB=10 cm，根据折叠性质得：DE⊥AB，CD=DE，AE=AC=6 cm，∴BE=10-6=4(cm)，设CD的长为x cm，则BD=(8-x)cm，在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2,即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即CD的长为3 cm，故选B.9. 【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∵BC=8，AC=6，根据勾股定理得AB=10，根据三角形的面积公式得：S△ABC=12×6×8=12×10×CD，解得CD=245，故选C.10. 【答案】A【解析】在Rt△ABD中，因为AB=4，BD=5，由勾股定理得DA=√BD2−AB2=√52−42=3.因为点D在∠ABC的平分线上，所以D到BA和点D到BC的距离相等，所以点D到BC的距离等于3，故选A.11. 【答案】C【解析】根据题意可知：本题存在两种情况：①当5是直角边时，则第三边长是2+52=√41;②当5是斜边长时，则第三边长是√52−42=3，故选C.12. 【答案】B 【解析】点A 与点B 之间的距离为线段AB 的长度， ∵∠ABC =90°，AC =20米，BC =16米.在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AB =√AC 2−BC 2=12(米)，故选B.13. 【答案】C 【解析】连接AM .因为AB =AC 且M 为BC 的中点,则AM ⊥BC ,CM =12BC =12×6=3.在RtΔACM 中,由勾股定理,得AM =4.又S ΔAMC =12×AM ⋅CM =12×AC ⋅MN ,即12×4×3=12×5×MN ,得MN =125.故选C.14. 【答案】C 【解析】因为在ΔABC 中,∠C =90°,所以两正方形面积和=AC 2+BC 2=AB 2=152=225.故选C.15. 【答案】B 【解析】因为三角形是直角三角形,所以先由勾股定理a 2+b 2=c 2得斜边为5,再利用等面积法12×3×4=12×5×h ,可求得斜边上的高h 是2.4.故选B.16. 【答案】D 【解析】本题考查利用勾股定理验证图形面积的关系.在第1个图中,S 1=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2,根据勾股定理a 2+b 2=c 2,得S 1+S 2=S 3;在第2个图中,S 1=π8a 2,S 2=π8b 2,S 3=π8c 2,根据勾股定理a 2+b 2=c 2,得S 1+S 2=S 3;在第3个图中,S 1=14a 2,S 2=14b 2,S 3=14c 2,根据勾股定理a 2+b 2=c 2,得S 1+S 2=S 3;在第4个图中,S 1=a 2,S 2=b 2,S 3=c 2,根据勾股定理a 2+b 2=c 2,得S 1+S 2=S 3,故满足条件的有4个,故选D. 勾股定理是判断本题等式是否成立的关键.17. 【答案】53≤CF ≤3【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C =90°，BC =AD =5，CD =AB =3，当点D 与F 重合时，CF 最大=3，如图1所示；当B 与E 重合时，CF 最小，如图2所示：在Rt △ABG 中， BG =BC =5，AB =3，∴AG =√BG 2−AB 2=4，∴DG =AD -AG =1，设CF =FG =x ， 在Rt △DFG 中，∵DF 2+DG 2=FG 2，∴(3-x )2+12=x 2，解得x =53，∴53≤CF ≤3.18. 【答案】0.5【解析】在Rt△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC=√AB2−BC2=2(米)，在Rt△CDE中，CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE=√DE2−CD2=1.5(米)，∴AE=2-1.5=0.5(米).19. 【答案】7【解析】因为∠B=90°，所以由勾股定理得BC2=AC2-AB2=52-32=16，所以BC=4.根据折叠的性质，所以EC=EA，所以△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.20. 【答案】78cm【解析】连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，设AE=x cm，则DE=(4-x)cm，∴EB=(4-x)cm，因为四边形ABCD为矩形，所以∠A=90°，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即x2+32=(4-x)2，解得x=78.故AE=78cm.21. 【答案】24【解析】设以两直角边为直径的半圆面积分别为S1和S2,以斜边为直径的半圆面积为S3,则S1=12π(AC2)2=18π⋅AC2,S2=12π(BC2)2=18π⋅BC2,S3=12π(AB2)2=18π⋅AB2,则阴影部分的面积为18π⋅AC2+18π⋅BC2+SΔABC−18π⋅AB2=18π⋅(AC2+BC2−AB2)+SΔABC=SΔABC=24.22. 【答案】4【解析】由图易证,最左端斜放置的正方形与相邻两个正方形所夹的两个直角三角形是两个全等的三角形,则易得S1+S2=1.同理可证S3+S4=3,∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.23. 【答案】6【解析】设此直角三角形的两直角边长为a、b,因为周长为12,斜边长为5,则a+b=12−5=7,又由勾股定理知a2+b2=25,∴2ab=(a+b)2−a2−b2=49−25=24,则ab= 12,故其面积为1ab=6.224. 【答案】10【解析】设AE=x km，则BE=(25-x)km.∵AC2+AE2=CE2，BD2+BE2=DE2，而CE=DE，∴152+x2=102+(25−x)2.解得x=10.即中转站E应建在距A站10km处.25. 【答案】过点B作BD⊥AC于点D.设AD=x,则CD=21-x.在RtΔABD中,BD2=AB2−AD2=102−x2.在RtΔBCD中,BD2=BC2−CD2=172−(21−x)2,∴102−x2=172−(21−x)2,解得x=6,∴BD2=102−62=82,∴BD=8.即AC边上的高为8.26.(1) 【答案】AC=√13.【答案补充】∵∠ABM=45°,AM⊥BM∴△ABM为等腰直角三角形,又∵AB=3√2,∴AM=BM=3,∴CM=2,∴AC=√CM2+AM2=√22+32=√13.(2) 【答案】延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.∵DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,∴△BMD≌△AMC,故AC=BD,又CE=AC,因此BD=CE,∵BF=FC,∠BFG=∠EFC,FG=FE,∴△BFG≌△CFE,故BG=CE,∠G=∠E,∴BD=BG,∴∠BDF=∠G,∴∠BDF=∠CEF.27.(1) 【答案】因为∠C=90°，所以∠FEC+∠EFC=90°，因为∠AFE=90°，所以∠EFC+∠AFB=90°，即∠AFB=∠FEC,因为∠B=90°，所以∠BAF+∠BFA=90°，所以∠FEC的余角有∠EFC，∠BAF.(2) 【答案】设EC=x cm.由题意得，EF=DE=(16-x)cm，AF=AD=20 cm.在Rt△ABF中，BF=√AF2−AB2=12 (cm).FC=BC-BF=20-12=8(cm).在Rt△EFC中，由勾股定理得EF2=FC2+EC2,即(16−x)2=82+x2，解得x=6，∴EC的长为6 cm.28. 【答案】在RtΔACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=102，∴AB=10.又由折叠知，∠C=∠AED=90°，AC=AE=6 cm，CD=DE，∴BE=AB-AE=4 cm.∵BD=8-CD，∴在RtΔBED中，由勾股定理，得DE2+42=(8−DE)2.解得DE=3.∴CD的长为3 cm.29. 【答案】设AE=x cm，则DE=BE=(9-x) cm.在RtΔADE中，根据勾股定理，得(9−x)2−AD⋅AE=6 c m2.x2=32.解得x=4，∴SΔADE=1230. 【答案】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED =SΔACB+SΔABE+SΔAED=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED =SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab+12c2+12a(b−a)，∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b−a)，∴a2+b2=c2.31. 【答案】证明：过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC,∴BE=EC.又∵AE⊥BC,∴AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,∴AB2−AD2=BE2−DE2=(BE+DE)⋅(BE−DE)=(CE+DE)(BE−DE)=CD⋅BD,即AD2+BD⋅CD=AB2.32. 【答案】证明：由题意,得∠CBN =∠NEH =∠CNH =90°,CN =NH ,∴∠BCN +∠CNB =90°,∠CNB +∠ENH =90°.∴∠BCN =∠ENH . 在ΔCBN 和ΔNEH 中,{∠CBN =∠NEH,∠BCN =∠ENH,CN =NH,∴ΔCBN ≌ΔNEH ,∴CB =NE =a .在RtΔNEH 中,NE 2+HE 2=NH 2,即a 2+b 2=c 2,∴S 正方形NHMC =S 正方形ABCD +S 正方形EFGH .33. 【答案】证明：过点A 作AE ⊥BC 于点E .在RtΔABE,RtΔACE,RtΔADE 中,有AB 2=AE 2+BE 2,AC 2=AE 2+CE 2,AE 2=AD 2−ED 2,∴AB 2+AC 2=(AE 2+BE 2)+(AE 2+CE 2)=2(AD 2−ED 2)+(DB −DE)2+(DC +DE)2=2AD 2−2ED 2+DB 2−2DB ⋅DE +DE 2+DC 2+2DC ⋅DE +DE 2=2AD 2+DB 2+DC 2+2DE(DC −DB).又∵AD 是ΔABC 的中线,∴DB=DC ,∴AB 2+AC 2=2AD 2+2DC 2=2(AD 2+CD 2).34. 【答案】证明：S 正方形ABCD =c 2,且S 正方形ABCD =4×12ab +(b −a)2=c 2,∴4×12ab +(b −a)2=c 2.化简、整理,得a 2+b 2=c 2.35. 【答案】证明:过A 点作AD ⊥BC 于点D ，∴PA 2=AD 2+PD 2.又∵∠BAC =90°，AB=AC ，∴AD =BD =DC =12BC .又∵PB-PD =BD =DC=PD+PC ，∴PD =12(PB −PC)，∴PA 2=AD 2+PD 2=(12BC)2+[12(PB −PC)]2=[12(PB +PC)]2+[12(PB −PC)]2=12(PB 2+PC 2)，∴2PA2=PB2+PC2.。
沪教版八年级数学第一学期19.9 勾股定理(1)同步单元测试练习
数学八年级上 第十九章 几何证明19.9 勾股定理（1）一、选择题1．下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 ( ) (1)7,24,25 (2)32,42,52(3)25,2,23 (4)8,15,17 (5)10,15,20 A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是 （ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 （ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 （ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 335. 下列说法正确的是 （ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，，则a 2＋b 2＝c 2．6、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 （ ） A. 56 B. 48 C. 40 D. 3217、如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是 （ ） A.2n B. n+1 C. n 2－1 D. n 2+190=∠A 90=∠C8、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 （ ） A. 6cm 2B. 8cm 2C 10cm 2D. 12cm 2第8题 第9题9、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 25海里 B 30海里C 35海里D 40海里10、直角三角形的周长为12cm ，斜边长为5cm ，则其面积为 （ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2二、填空题11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________12、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm ，则斜边上的中线长为 。
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19.9勾股定理
一、课本巩固练习
1.在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为
2、已知直角三角形的两边长为
3、2，则另一条边长是________________．
3、在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为_______________．
4、下面四组数中是勾股数的有（）．
（1）1.5，2.5，2 （2
2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A．1组B．2组C．3组D．4组
5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12
6、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
7、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。
8、已知：如图，已知∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6。
求：四边形ABCD的面积。
A
B
C
D
9、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，则四
边形ABCD 的面积
10.如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边
点G 处，求BE 的长.
二、基础过关
1．已知△ABC 中，∠A=
12
∠B=1
3∠C ，则它的三条边之比为（ ）．
A ．1：1
B ．1 2
C ．1
D ．1：4：1 2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．
A ．
52 B ．3 C D 3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A ．6，7，8
B ．5，6，7
C ．4，5，6
D ．3，4，5 4．下列各命题的逆命题成立的是（ ） A ．全等三角形的对应角相等
B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C ．两直线平行，同位角相等
D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．
A 2
B ．2
C ．2
D ．4cm 2
6．在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为（ ）．
A ．2
B ．4
C ．
D 7．如图所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=5，BC=4，则BD 的长为（ ）．
A B C ．1 D ．1
2
8．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）
A ．182
B ．183
C ．184
D ．185
9．如图，长方形ABCD 中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN 折叠，使点C 与
点A 重合，•
求CN 的长
10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F •处，•如
果
AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长．
11、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
12、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm.
13、如图，一个梯子AB=5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m?
14、在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,
记()2
1
,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++
=_____.
.15、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
2+1=2 S 1
2+1=3 S 2
2+4=5 S 3
=
2
D ˊ
B ˊ
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
求出S12+S22+S22+…+S102的值。