2013年高考数学(人教版)二轮复习专题讲义：选修4-4 坐标系与参数方程 课件

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1．直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为 极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M 是平面内 的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ， ，θ)， ρ2＝x2＋y2， x＝ρcos θ， 则 y y＝ρsin θ， tan θ＝ x≠0. x
2 . 2
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(2011· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 求
x＝5cos φ， 过椭圆 y＝3sin φ x＝4－2t， y＝3－t
(φ 为 参 数 ) 的 右 焦 点 ， 且 与 直 线
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
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(2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r；②圆心位于 M(r,0)， 半径为 r：ρ＝2rcos θ；③圆心位于 2rsin θ. 3．参数方程 (1)直线的参数方程 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
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(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋ y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别
写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用 极坐标表示)； (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
2 2
π 2ρcosθ－4＝2，
π π ∴ρ －2 2ρ(cos θcos 4＋sin θsin4)＝2. ∴x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线 方程为 x＋y＝1.化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即
π ρsinθ＋4＝
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解析： (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2. 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ.
ρ＝2， 解 ρ＝4cos
π 得 ρ＝2，θ＝± ， 3 θ
π π C2 交点的坐标为2，3，2，－3.
故圆 C1 与圆
－ 3
x＝1， 或参数方程写成 － 3≤y≤ 3 y＝y， x＝ρcos θ， 方法二：将 x＝1 代入 得 ρcos θ＝1， y＝ρsin θ
1 从而 ρ＝ . cos θ 于是圆 C1 与 π ≤θ≤3.
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x＝1， C2 的公共弦的参数方程为 y＝tan θ，
x2 y2 (θ 为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆a2＋b2＝1 (θ 为参数)．
x＝acos θ， 的参数方程为 y＝bsin θ
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(2012· 江苏卷)在极坐标系中，已知圆 C 经过点
P π π 3 ，圆心为直线 ρsinθ－ ＝－ 2，4 3 2 与极轴的交点，求
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3．(2012· 鞍山一中模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 l x＝3－ 2t， 2 的参数方程为 2 y＝ 5＋ 2 t
(t 为参数)，在极坐标系(与直
角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A， B.若点 P 的坐标为(3， 5)， 求|PA|＋|PB|.
π (θ 为参数)，直线 l 经过点 P(2,2)，倾斜角 α＝ . 3 写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程．
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解析： 由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2＋y2＝ 16. π 因为直线 l 过点 P(2,2)，倾斜角 α＝3，所以直线 l 的参 x＝2＋tcos 数方程为 y＝2＋tsin π 3， π ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
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在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅
是要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围，
也即在消去参数的过程中，一定要注意普通方程与参数方程 的等价性．
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2．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为
x＝4cos θ， y＝4sin θ
x＝x ＋tcos α， 0 y＝y0＋tsin α π Mr，2，半径为
r：ρ＝
(t 为参数)．
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(2)圆、椭圆的参数方程 ①圆心在点 M(x0 ，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x ＋rcos θ， 0 y＝y0＋rsin θ
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解析： (1)由 ρ＝2 5sin θ，得圆的直角坐标方程为 x2 ＋(y－ 5)2＝5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， t2－3 2 得 t＋4＝0. 由 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0，故可设 t1，t2 是上述方程的 两根，
t ＋t ＝3 1 2 所以 t1· ＝4. t2
π － 3
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(1)求相关动点的轨迹方程时，用参数方程较为
方便．
(2)求两点间距离时，用极坐标比较方便，这两点与原点 共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定 理，解三角形求得．无论哪种情形，用数形结合的方法，总 容易得到解题思路．
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注：极坐标系下点的表示不唯一．
x＝ρcos θ， (2)方法一：由 y＝ρsin θ
得圆 C1 与 C2 交点的直角坐
标分别为(1， 3)，(1，－ 3)．
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故圆 C1 与 ≤t≤ 3.
x＝1， C2 的公共弦的参数方程为 y＝t，
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解析： 由题设知，椭圆的长半轴长 a＝5，短半轴长 b ＝3，从而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0. 1 1 故所求直线的斜率为 ，因此其方程为 y＝ (x－4)， 2 2 即 x－2y－4＝0.
于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.
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求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的
极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所
适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关 系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐 标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的 推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省
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2．直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它 的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点： θ＝α； ②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： ρcos θ＝a；③直线过点
圆 C 的极坐标方程．
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解析：在
π ρsinθ－3＝－
3 中令 θ＝0，得 ρ＝1， 2
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C 经过点
P
π 2， ， 4 π 2 ＋1 －2×1× 2cos 4＝
2 2
所以圆 C 的半径 PC＝ 1，
2，
又直线 l 过点(3， 5)， 故结合 t 的几何意义得， |PA|＋|PB| ＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
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略．
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1．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－ 2
π 2ρcosθ－4＝2.
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
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解析： (1)∵ρ＝2，∴ρ2＝4，即 x2＋y2＝4. ∵ρ 2