复变函数期末复习题及答案
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
复变函数期末试卷及答案2套
1 复变函数与积分变换（B 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设1z =，则（ ）A ．||1,arg 3z z π== B ．||2,arg 3z z π==- C ．||2,arg 3z z π== D ．||4,arg 3z z π==-2．下列等式成立的是（ ） A ．1i e π=- B ．1i eπ--=- C ．1i e π-=- D ．21ieπ=-3．函数2()||f z z =在复平面上（ ）A ．处处不连续B ．处处连续，在点0z =解析C ．处处连续，处处不可导D ．处处连续，仅在点0z =可导 4．下列复数中为实数的是( )A 3(1)i -B ln iC ii D 5．设C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分Czdz =⎰（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．1i +6. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分z Ce dz =⎰( ).A ．1B ．2πC ．0D ．2i π7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线，则积分53()C z dz z z =-⎰ ( ).A ．0B ．2i πC ．502z i πD ．3020z i π8．函数1()2f z z=+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10(1)2n nnn z +∞=-∑ B. 1(1)2n nn n z ∞+=-∑ C. 02n n n z ∞=∑ D.12nn n z ∞=∑ 9. 0z =是函数3sin ()z zf z z-=的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:10.设1()(2)zf z z e =+，则Re [(),0]s f z =（ ） A ．12 B ．32 C ．2 D ．52二、填空题(每空3分，共15分)1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数期末考试及答案(珍藏版)
一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
完整版《复变函数》期末试卷及答案A卷
学号和姓名务必正确清楚填写。
因填写错误或不清楚造成不良结果的，均由自己负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。
系别专业班级姓名XXXX学院 2016— 2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30 20 30 30复查人得分答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一吻合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。
）勿1. Re(i z) ( )超过 A. Re(i z) B. Im(i z)此 C. Im z D. Im z密2. 函数f ( z)2( )封z 在复平面上线 A. 各处不连续 B.各处连续，各处不可以导， C. 各处连续，仅在点z 0 处可导 D. 各处连续，仅在点z 0 处剖析否1，则a b的值则 3. 设复数a与b有且仅有一个模为( )视1 abA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D.为无量大无4. 设z x iy， f ( z) y i x ，则 f ( z) ( )效 A. 1 i B. i C. 1 D. 0。
C z 1sin z2 i ，则整数n 等于设是正向圆周，5. C z n dz ( )A. 1B. 0C. 1D. 26. z 0 是f (z)e z 1的( )z2A. 1 阶极点B. 2 阶极点C. 可去奇点D. 本性奇点7. 幂级数( 1)n z n 的和函数是( )n 02n n!z zA. e zB. e2C. e 2D. sin z8. 设C是正向圆周z 2 ，则dz( )C z2A. 0B. 2 iC. iD. 2 i9. 设函数f ( z)在0 z z0 R (0 R ) 内剖析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是( )A. lim f (z) a （a为复常数）B. lim f ( z)z z0 z z0C. lim f (z) 不存在D. 以上都对z z010. ln z 在 z 1处的泰勒级数张开式为( )A. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11B. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 1 n 1 n 1 nC. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11D. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 0 n 1 n 0 n得分评卷人复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )11. z 1 2i 的共轭复数 z ________ .12. 设 z (2 3i )( 2 i ) ，则arg z ________ .13. 在复平面上，函数 f (z) x2 y 2 x i (2xy y2 ) 在直线________ 上可导 .14. 设 C 是正向圆周z 1 ，则cos5z________ .dzC z15. 若级数z n收敛，而级数z n发散，则称复级数z n为________ .n 1 n 1 n 1《复变函数》试卷第 1页（共 4 页）《复变函数》试卷第2页（共4页）1 / 3得分评卷人复查人5 小题，每题8 分，共 40 分 ) 1 i 2dz .三、计算题 ( 本大题共20. 计算积分z16.利用柯西 - 黎曼条件谈论函数 f (z) z的剖析性 .17. 判断数列2017 ni 的收敛性 . 若收敛，求出其极限 . 得分评卷人复查人z n三、证明题 ( 本大题共 1 小题，每题 15 分，共 15 分 )n 121. 试证明柯西不等式定理: 设函数f ( z)在圆C : z z0 R 所围的地域内剖析，且在 C上连续，则f ( n) ( z0 ) Mn! ( n 1,2,...)R n其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.18. 求在照射w z2下， z 平面上的直线z ( 2 i )t 被照射成 w 平面上的曲线的方程.19. 求e z在z0 处的泰勒张开式.《复变函数》试卷第 3页（共 4 页）《复变函数》试卷第4页（共4页）2 / 33 / 3XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试复变函数 答案（ A 卷）一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1 －5 C C B B D 6-10 A C A B C二、单项选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11. 1 2i 12. arctan813. 1y 14. 2 i 15.2条件收敛三、计算题（本大题共 5 小题，每题 8 分，共 40 分） 16. 解：因 f ( z)z x iy ，故 u( x, y)x, v(x, y)y ，从而u 1,u 0,u 0,u 1,x yxy因此在任何点 ( x, y) 处，uv，因此 f (z) 在复平面内各处不剖析。
复变函数复习题详细答案
复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。
复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。
5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。
6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。
(完整)复变函数_期末试卷及答案,推荐文档
复变函数与积分变换 第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（ ）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换 第 2 页 共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（ ）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.
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复变复习题及答案
一、单项选择题（本题共6小题，每小题 4 分，共24分）在每小题列出的三个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、下列命题中, 正确的是_____________.
A. 2121z z z z -≥-
B. 2121z z z z +≥+
C.
零的幅角为零
D. 仅存在一个z 使
z z
-=1
2、在复数域内,下列数中为实数的是__________. A.
i cos
B.
2)1(i - C.
3
8- D. i ln
3、函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续
B. 可导
C.
解析 D. 间断
4、积分
dz z z
z ⎰=-22)
1(sin =_______________. A. 1cos
B.
i π21cos C. i π2sin1 D. 0
5、0=z 是z e z f 1
)(=的____________________. A. 零点 B. 极点
C. 本质奇点
D. 可去奇点
6．设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析. A.
可导函数
B. 调和函数
C. 连续函数
D. ),(y x u 的共轭调和函数
二、填空题（每空4分，共24分）
1.复数方程01=+z
e 的解为____________________________________
2、设i z 22-=,则Argz =_____________,z Ln =___________________________.
3、函数)1()(z z z f -=
的支点分别为___________ 和 _______________.
4、0=z 是z z z f sin )(-=的____________阶零点. 三、计算题（本题共4小题，每小题 7分，共28 分）
1．将复数ϕϕsin cos 1i z +-=)0(πϕ≤<化为指数形式的表达式 。
2. 求积分⎰
++=c
z z dz
I )1)(12(2
,其中曲线c 分别为
（1）1=-i z
（2）2
3=
+i z 3、求2
)1(1
5)(--=
z z z z f 在孤立奇点的留数 。
4．下列函数在何处可微? 何处解析?
(1) 2
)(z z f = (2) 3
3
32)(iy x z f +=
四、综合题（本题共3 小题，每小题 8 分，共24 分）
1、求222y xy x u -+=的共轭调和函数),(y x v ，并使1)0,0(=v 。
2. 将)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在以下区域展成洛朗展式
（1）1<z <2 （2）110<-<z （3） +∞<-<21z
3．设 3w z = 确定在从原点 0z = 起沿负实轴割破了的 z 平面上，且 ()w i i =-. 求 ()w i - 的值.
答案与评分标准
一、单项选择题（本题共6小题，每小题 4 分，共24分）在每小题列出的三个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、（A ） 2、（A ） 3、（A ） 4、（B ） 5、（C ） 6、（D ）
二、填空题（每空4分，共24分）
1 ,210()12(±±=+，，
k i k π ) 2 )2,1,0(24
±±=+-
k k ππ
，i k i ππ
242ln 23+-
3
0=z ，1=z
4 阶3
三、计算题（本题共4小题，每小题7 分，共28分）
1、解： 由题意得
利用2
sin
2)(sin )cos 1(22ϕ
ϕϕ=+-=z ，
2
2cos 1sin arctan
ϕ
πϕϕθ-=-=， 4分
则 i e
z )2
2(2
sin
2ϕ
πϕ
-= 7分
2、解：1) 当C 为1=-i z 时
I=)21(5
|))(12(12i i z z i
i z -=++=π
π 3分
2) 当C 为2
3
=+i z 时 I=
⎰⎰
+2
1
)()(c c dz z f dz z f (其中21,c c 分别以21
,--i 为圆心,21,r r 为半径且互不相
交的两个圆) =]|)
)((21
|))(12(1[
221-=-=-++-+z i z i z i z i z z i π
=
)61(5
58)21(5
i i i +-=+
--π
ππ
7分 3、解：显然,z=0,z=1是)(z f 的奇点且z=0为一阶极点, z=1为二阶极点, 所以
1)1(15)(Re 0
2
-=--===z z z z z f s 4分
1)1
5(
)(Re 1
1
='-===z z z z z f s 7分 4、解：(1) 2
2
)(y x z f +=
解：由于
2u x x
∂=∂, y y u 2=∂∂, 0v x ∂=∂, 0=∂∂y v 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 0==y x 时，,u v 才满足 C-R 条件. 故
22)(y x z f += 仅在 0=z 点上可微, 在 z 平面上处处不解析. 3分
（2）3
3
32)(iy x z f +=
由于
26x x
u =∂∂, 0=∂∂y u , 0=∂∂x v ，29y y v =∂∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2
2
96y x = 时，,u v 才满足 C-R 条件.
故3
3
32)(iy x z f +=仅在032=±y x 上可微,在z 平面上处处不解析. 7分
四、综合题（本题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
1、证明：C dy x u dx y C dy y v dx x y)v(x y )
(x,(0,0) y )(x,(0,0) +∂∂+∂∂-=+∂∂+∂∂=⎰⎰u v
⎰
+++=
y)
(x,(0,0)
C
2y)dy (2x 2x)dx -(2y
3分
C y 2x y -x 2
2
+++= 6分
由1,v(0,0)=得1C ＝。
故1x -y 2x y v 2
2
++= 8分
2、解：1). 当1<z <2时, )
2
1(21)
1
1(1)(z z
z z f --
--=
=n
n n n z z
)2
(21)
1
(01
0∑∑+∞=++∞
=-- 3分
2). 当110<-<z 时, 1
1
)1(11)(-----
=z z z f
=1
1
)1(0
--
--
∑+∞
=z z n n 6分 3).
当+∞<-<21z 时, )2
11)(2(1
21)(-+--
-=
z z z z f
=∑+∞=-----0)2
1()1(2121n n
n z z z 8分 3、解：设 i z re θ
=, 则 ()23
3
()z k i
k w r z e
θπ
+=, 0,1,2k =
当 z i = 时, 46
k i
i e
ππ+-=, 则 2k =. 4分
故 472
3
6
62()i i i
w i e
e e π
π
π
π-+-===-. 8分。