复变函数与积分变换复习题.
复变函数积分变换复习题
复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（ ）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（ ） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （ ） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（ ）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（ ）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （ ） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（ ）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（ ）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（ ）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是 （ ）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是 （ ）（A ） 实变数 （B ）虚变数 （C ）复变数 （D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （ ）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则 （ ）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （ ）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（ ）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （ ）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （ ） （A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （ ）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （ ）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。
期末复习-复变函数与积分变换
复变函数与积分变换第一章⒈ 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角：（2）234.12i i +⎛⎫⎪-⎝⎭解(2)()()()()2225105212121432143⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i i i i i i z ()i i 43212--=+-=，则 3Re -=z ，4Im -=z ，i z 43+-=；54322=+=z ； π-=34arctanarg z 。
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式： （3） 31i +；解 (3) 这里1=x ,3=y ,则()23122=+=z ,从而有21cos =θ，23sin =θ；得 3arg π=z ， 则三角式与指数式分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3sin 3cos 2ππi z ,ie z 32π=.4. 求下列各式的值：（2） 327-。
解 (2)因为 ()ππsin cos 2727i +=-,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=-32sin 32cos 272733ππππk i k ()2,1,0=k ， z⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 32cos 3ππππk i k ， ()2,1,0=k 。
5. 指出下列各题中点的轨迹或所在范围，并作图： （5）122-=+z z ；解 (5) 设iy x z +=， 由122-=+z z ，得()()iy x iy x +-=++122， 即()()[]2222142y x y x +-=++化简得4)2(22=+-y x点z 的轨迹表示以2=z 为圆心,以2为半径的圆周.6. 函数z1=ω把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？ （3）1=x ； 解 ：(3) 211y u +=，21yy u +-=，消去参数y ,得u v u =+22,即41)21(22=+-v u ,是ω平面上一圆周.8. 下列函数在何处可导？在何处解析？（2）()x i x ez f ysin cos )(+=-； 解 （2）因()x i x ez f ysin cos )(+=-,即x e u y cos -=, x e v y sin -=,而x e x u y sin --=∂∂,x e y v y sin --=∂∂,x e yu y cos --=∂∂,cos y ve x x -∂=∂在复平面处处连续,且处处满足R C -方程.故()zf 在复平面上处处可导,处处解析. 10. 下列复函数在点0=z 处解析的是：（1）()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=≠+=+--+=0,0,0,112233iy x z iy x z yx i y i x z f 解 （1） 考察极限()()00lim--→z f z f z , 当z 沿虚轴()00→=x 时,有z z ω()()()i iy i y iy f iy f y y +=--=-→→11lim 0lim 3300, 当z 沿直线()0→=x y 时,有()()()()2211211lim 0lim 23300i i i x ix x i x i x ix x ix x f x x y -=+=+--+=+-+→→=, 从而()()00lim--→z f z f z 不存在,则函数()z f 在0=z 不可导,即不解析.第二章3. 沿抛物线2y x =计算积分120()i x iy dz ++⎰的值．解:路线2y x =的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩，01t ≤≤或2,01z t it t =+≤≤，则(12)dz it dt =+，所以1111222230()()(12)(1)(2)ix iy dz t it ti dt i t dt i t dt ++=++=++⎰⎰⎰⎰1566i =-+.6. 计算（1）11i z ze dz +⎰；解 (1)1111iizz ze dz zde ++=⎰⎰11111111(1)iz i z i zi i zee dz i e e e ie +++++=-=+--=⎰.7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分：（8）221(1)(4)C dz z z ++⎰，C ：32z =； 解 (8) ()f z 有四个奇点，其中z i c =±在内，作互不相交互不包含且在C 内的小圆周12c c 和 包含i 与-i ，则122211(4)()(4)()c c dz dzz z i z i z z i z i +=++-+-+⎰⎰ ()()()()iz i z z z i z z i-==-++++2412241222ππ()()0142114212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=i i i π 8. 计算下列积分（3）2sin 4z C e zdz z +⎰， C ：3z =为正向． （4）33cos (1)Czdz z z π-⎰， C ：2z =为正向． 解 (3)因为 4sin 2+z ze z 在:C 3=z 内的奇点为 i i 2,2-则=+⎰=dz z ze z z 324sin +-+⎰=-dz i z i z ze i z z 1222sin dz i z i z ze i z z ⎰=++-1222sin i i i e i i i i e i i i 22)2sin(2222sin 222---++=-ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22sin 22sin 22i e i e i i π 22sin 22ii e e i-+=πi i 2cosh 2sin π=. 即 =+⎰=dz z ze z z 324sin i i 2cosh 2sin π. (4)33)1(cos -z z zπ在:C 2=z 内的奇点为1,0 则，=-⎰=dz z z zz 233)1(cos πdz zz z z ⎰=-2133)1(cos πdz z z z z ⎰=--+21133)1(cos π()1''30''3cos !221cos !22==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=z z z z i z z i ππππ()122)12()12(222-=-+-=ππππππi i i即)12(2)1(cos 233-=-⎰πππi dz z z z C . 9. 由下列各调和函数，求解析函数()f z u iv =+．（2）22u x y y =--，()f i i -=； 解 (2)2,21u u x y x y ∂∂==--∂∂ ，因为2,v u x y x∂∂==∂∂ 所以 2()v xdy f x =+⎰= 2()xy f x +'2()21v u y f x y x y∂∂=+=-=+∂∂ ，则 ()f x x c =+所以2v xy x c =++，22()(2)f z x y y i xy x c =--+++， 由()f i i -=得 c =1, 则有22()(21)f z x y y i xy x =--+++=)1(2++z i z第三章1. 下列数列{}n z 是否收敛?如果收敛，求出它们的极限.（2）()1nn z i -=+;解 化为实部与虚部两个实数分别讨论. （2）()()[]nnn i i Z --+=+=θθsin cos 21()θθn i n nsin cos 21-=41arctan πθ== 0cos 22lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→θn nn ()0sin 22lim =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→θn nn 故()nn i z -+=1收敛于零。
【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案
复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。
2018-2019学年度高等教育理科《复变函数与积分变换》大学试题含填空选择答案
复变函数与积分变换复习题1一、单项选择题（每小题2分，共24分）.1. 复数ii+-=3z 位于复平面第( ) 象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四解：()()()10313333z ii i i i i i --=-+--=+-=，故选择C 2. 下列等式成立的是( ). A ．i ne5l i5=； B ．)arg()(r i i g A =；C ．1e L =n ；D ．)z z Re(z z =。
解：A z i z nz arg ln l +=，故A 不对; B ，πk z z g A 2)arg()(r +=，B 不对 CiArgz z n +=ln z L ，故C 不对; D ，z z 是个实数，故选择D3. arg6z 满足( ). A.在复平面上连续 B.在原点处连续C.在负实轴连续D.在除原点及负实轴上连续解：argz 在除原点及负实轴上连续，故arg6z 也是这样。
选D 4. 方程54z 1z =-++表示的图形是（ ）. A.圆 B. 直线段 C.椭圆 D.双曲线 解：该方程表示的是复平面上的动点z 到两个定点i z 011+-=和i z 042+=的距离的和，而1z 和2z 的距离就是5，所以该动点在1z 和2z 所连线的直线段上。
选B 5. ()i sin 是( ).A. 0B. 一个纯虚数C. 一个实数D. 无法计算解:由欧拉公式可以推导出ie e x ixix 2sin --=，故i sin 是纯虚数或者用θθish i =)sin(也可以判别选B6. 若lnz )(=z f (0,0>>y x )，则 =')(z f ( ).A ．2z 3 B. 0 C. ze33 D. 1-z选D,求导公式，本题是平凡的 7. 计算积分⎰=Ldz zz I4cos ，其中)10(:<<=r r z L ，方向正向，I ＝（ ）.A ．－π2B ．i π2C ．i π2-D ．0 解：由于奇点0在L 内部，故可以使用高阶求导公式()()()()dz z z z f i n z f Cn n ⎰+-=1002!π（n 为正整数）奇点内点是D z 0,D 为L 所围成的封闭区域。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换复习题.
第一章 一、选择题1. 一个向量顺时针旋转3π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2B. 1C.i D.i +2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -+ B. 34i + C. 34i - D. 34i -- 3.方程23z i +-= C ）A. 中心为23i -的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z-+=的最小值是（A ）A. -3B. -2C. -1D. 1 二、填空题1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。
（椭圆2222153()()22x y +=） 2. 复数22(cos5sin 5)(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（16ieθ）3. 方程2112(1)z ii z--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .5．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.（5/12π-）6. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（43v u =）三、对于映射12()w z z=+，求出圆周4z =的像。
（表示平面上的椭圆2222u v +=11715()()22）第二章 一、选择题1.下列函数中，为解析函数的是（C ）A. 222x y xyi -- B. 2x xyi + C. 222(1)(2)x y i y x x -+-+ D. 33x iy +2. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -23. 函数2()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 4. 22()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i 5. ii 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2e πD. 2eπ-6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）A. ()f z 在复平面B. ()f z 以为周期C. ()2iz ize ef z --= D. ()f z 是无界7. 设α是复数则（C ）A. z α是在复平面上处处解析 B. z α的模为 zαC. z α一般是多值函数 D . z α的幅角为z 的幅角的α倍 二、填空题1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1lim z f z z→-=______________(1+i)2. 3322()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(272748i -)3.复数1i 的模为______________(2(0,1)k e k π-=±)4.方程10ze--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=±)5.ii -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .三、设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.；,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='xv ixuf)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+'四、解方程：sin cos 4z i z i +=一、选择题1. 设C 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()cx iy dz +=⎰（）DA.1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则(1)(1)c zdz z z -+⎰为（）DA.2i π B. 2i π-C. 0D. A,B,C 都有可能二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)2. 积分⎰=1||z zdz z e的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 .3. 设()2sin2f z d zξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.（0）三、计算26(1)(2)z R zdz z z =-+⎰，其中0 1 R R >≠，，且2R ≠。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（ ）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（ ）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（ ） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（ ） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。
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第一章 一、选择题
1. 一个向量顺时针旋转
3
π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，
对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2
B. 1
C.
i D.
i +
2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -
+ B. 34i + C. 3
4
i - D. 34i -- 3.
方程23z i +-= C ）
A. 中心为23i -
的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+
D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+
5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z
-+=的最小值是（A ）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 1 二、填空题
1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。
（椭圆
22
22153()()22
x y +=） 2. 复数
2
2
(cos5sin 5)
(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（
16i
e
θ）
3. 方程
2112(1)z i
i z
--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）
4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴
为25
的椭圆，该图形是否为区域 否 .
5．复数
()
i i z --=
11
32
的模为_________，辐角为____________.
（5/12π-
）
6. 曲线
()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（
43v u =
）
三、对于映射12()w z z
=+，求出圆周4z =的像。
（表示平面上的椭圆
22
22u v +=11715()()22
）
第二章 一、选择题
1.下列函数中，为解析函数的是（C ）
A. 2
2
2x y xyi -- B. 2
x xyi + C. 2
2
2(1)(2)x y i y x x -+-+ D. 33
x iy +
2. 若函数2222
()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
3. 函数2
()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 4. 2
2()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i 5. i
i 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2
e π
D. 2
e
π-
6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）
A. ()f z 在复平面
B. ()f z 以为周期
C. ()2
iz iz
e e
f z --= D. ()f z 是无界
7. 设α是复数则（C ）
A. z α
是在复平面上处处解析 B. z α
的模为 z
α
C. z α
一般是多值函数 D . z α
的幅角为z 的幅角的α倍 二、填空题
1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1
lim z f z z
→-=______________(1+i)
2. 3322
()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(272748
i -)
3.复数1i 的模为______________(2(0,1)k e k π
-=±L )
4.方程10z
e
--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=±L )
5.
i
i -+1)1(的值为
Λ
,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224
±=-+-+k i e k π
ππ
π
；
主值为)]
2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-π
ππ
i e .
三、设i y x y x z f 2
2
3
3
2)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出
导数值.；
,
0)))0(0
,0(0,0(=∂∂+∂∂='x
v i
x
u
f
)1(16
27
)4343()4
3,43()4
3,43(i x
v i
x
u i f +=
∂∂+∂∂=+'
四、解方程：sin cos 4z i z i +=
一、选择题
1. 设C 为从原点沿2
y x =至1+i 的弧段，则2()c
x iy dz +=⎰
（）D
A.
1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566
i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则
(1)(1)c z
dz z z -+⎰为（）D
A.
2
i π B. 2
i π-
C. 0
D. A,B,C 都有可能
二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)
2. 积分⎰=1||z z
dz z e
的值为i π2，
⎰==
-2||2)2(sin z dz z z
π 0 .
3. 设
()2
sin
2f z d z ξ
π
ξ
ξ
ξ==-⎰Ñ，其中
2z ≠，则()1f '=_______.（0）
三、计算
26(1)(2)z R z
dz z z =-+⎰Ñ，其中0 1 R R >≠，
，且2R ≠。
解：
当0<R<1，积分值＝0 当1<R<2，积分值＝8i π 当R>2，积分值＝0
四、⎰=-++=321
73)(ξξ
ξξξd z z f ，求).1(i f +'
解：)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ
五、验证
()22
,22v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv =+满足条件()2f i i =-.
解：)22()14()(2
2x y x i y xy z f +-++--=
1. 设0()()f t t t δ=-，则f(t)的傅氏变换为（D ） A. 1 B. 2π C. 0
jwt e
D. 0
jwt e
-
2. 设0()cos f t w t =，则f(t)的傅氏变换为（A ）
A. 00[()()]w w w w πδδ++-
B. 00[()()]w w w w πδδ+--
C. 00[()()]j w w w w πδδ+--
D. 00[()()]j w w w w πδδ++- 3. 设()sin()3
f t t π
=-
，则f(t)的拉氏变换为（A ）
A. 212(1)s -+
B. 2
2(1)
s s + C. 3
21(1)s e s π-+ D. 32(1)s s e s π-+ 5.
设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F ,
则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21t f t f F F ⋅其中)()(21t f t f *定
义
为
⎰
∞
+∞
--τ
ττd t f f )()(21. 6. 已知()()()()1
2,,t
f t e u t f t tu t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________. （1t
t e --+）
4. 利用 ()
[
]()s f t F s ds t
∞=⎰
已知sin ()kt
f t t
=，求()F s
6. 用Laplace 变换求解常微分方程：
⎩⎨
⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y
解： 1)]([)(1+==-t
e S Y t y L
7. 用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2t
y y e
''''+=满足初始条件
()()()0000y y y '''===的解. (
Y(t)t
t e t sin 51
cos 52101212-++-=
)。