复变函数复习题一(参考答案)

复习题一
一、 判断题（正确打∨，错误打⨯，把判断结果填入下表）：
1、若函数f (z )在0z 解析，则f (z )在0z 的某个邻域内可导。

（∨）
2、若函数f (z )在0z 处解析，则f (z )在0z 满足C.-R.条件。

（ ∨）
3、如果0z 是f (z )的可去奇点，则)(lim 0
z f z z →不存在。

(⨯ )
4、若函数f (z )在区域D 内解析，则)('z f 在区域D 内解析。

（∨ ）
5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展为幂级数。

（ ∨）
6、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C
dz z f 。

（∨ ）
7、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。

（∨ ）
8、若0z 是f (z )的m 阶零点，则0z 是
)
(1
z f 的m 阶极点。

（∨ ） 9、如果函数f (z )在闭圆3||k ≤z ：上解析，且时当3|z |=，有)0(|)(|>≤m m z f ，则m z f ≤∈∀|)(|,k z 有。

（ ∨ ） 10、lim z z e →∞
=∞。

（⨯ ）
二、 单项选择题（将选择结果填入下表。

）
1、方程| z + 3 | + | z + 1 | = 4所表示的图形是：
（A ）双曲线； （B ）椭圆； （C ）直线； （D ）圆。

.
)(()()()()()()
()
(2)(22轴上可导仅在；仅在原点可导；处处不可导；处处可微，那么
设、x z f D z f C z f B z f A x i xy z f
-=
3、设c ：,1=-i z 则
⎰=-C dz i z z
2)(cos
（A ）
e
i
π2 （B ）1sinh 2π （C ）0 （D ）i i cos
.
0)(;0)
(;
)
(;)
()
(41
2
32但发散，通项趋于通项不趋于条件收敛绝对收敛为
级数
、D C B A n
e n i
n ∑
∞
=
.
)
(;
)
(;
)
(;)()
(
353sin 二级极点一级极点可去奇点本性奇点是
在点函数、D C B A z e z
z =-
三、填空题
,2,1,0;23arctan ,311
±±=+-=--=k k Argz i z ππ则设、 2、
=-+22
i i __5
43i +-__。

i z d z z z z π81
1
232
2=
++-⎰
=计算积分
、
.!
40∞=
∑∞
=R n z n n
的收敛半径级数、
)1
(cos Re 50=
=z s z 、
四、证明题
1．设f (z )在 | z |≤ a 上解析，在 | z | = a 上有 | f (z ) | > m ，并且 | f (0) | < m ，其中a 及
m 是有限正数。

证明：f (z )在 | z | < a 内至少有一零点。

见教材p174例4.19
2、证明,0
00
,Im )(2
2⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=z z z z
z f 在原点不连续。

证 ,因为,当z 沿实轴趋于0时,0)(lim 0
=→z f z ; 当z 沿虚轴趋于0时,1)(lim 0
-==→z f z ;所以
)(lim 0
z f z →不存在,故函数在原点不连续.
及解析函数
求其共轭调和函数平面上的调和函数，并为、证明),(3322y x v z x y x u +-=),(),()(y x v i y x u z f +=使合条件0)0(=f .(z z z f 3)(2+=)
五、计算题
1、设5z w =确定在从原点0=z 起沿正实轴割破了的z 平面上，并且()11-=-w ，试求()i w -1的值。

解 设θ
i re z =,则5
25)(π
θk i
e
r z w +=,πθ20:<<∈G z ,4,3,2,1,0=k .当1-=z 时,πθ==,1r ,由
11)1(5
25-==-+π
πk i
e
w ,确定2=k ;当i z -=1时,4
7;2π
θ==r ;故()20
23105
44
710221πππ
i
i e
e i w ==-+.
2、函数)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在z 平面内有两个奇点2z 1==及z ，试分别求)(z f 在此二点去心邻域
1|2|01|1|0<-<<-<z z 和内的洛朗级数。

见教材p186例5.2
3、设C 是θi e z =，θ从0到
2
π
的圆弧段，计算⎰C zdz ln ，（z ln 为主值支）。

解 θi z z +=||ln ln ,)(|)1(ln ln 20
202020θθθθπθπ
θ
π
θ
π
θ
i d e e i de
i de
i zdz i i i i C
⎰⎰⎰⎰-==+=
i e i --=--
=2
1|2
20π
π
π
θ
4、计算⎰
+π
θ
θ
20
sin 23d
解 命θ
i e z =,则iz dz d =θ,iz
iz z iz z 1
32123sin 2322-+=-+=+θ,故有
⎰⎰⎰
==-+=-+=+1||21||220
1
31
131sin 23z z dz iz z iz dz iz
iz z d π
θθ,被积函数131)(2-+=iz z z f 在1||<z 只有一阶极点i z 2
5
30+-=,所以,
5
2|
321
2)(Re 2sin 232
5
320
0πππθθπ
=
+==++
-==⎰
i
z z z i z i z f s i d .。