大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础

第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。

2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。

3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。

对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。

4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。

黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。

· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。

· 一个光子具有的能量为νh E =。

5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。

与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。

· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。

其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。

· 物质波是一种表示粒子在空间概率分布的概率波。

6．薛定谔方程及其应用· 微观粒子的运动状态需要用波函数来描述，通常以y 表示。

一般来说，y 是空间和时间的函数，即(,,,)x y z t y y =。

波函数的运动方程为薛定谔方程。

· 粒子出现在单位体积内的概率就是2y 。

因此，2y 又叫概率密度。

· 定态薛定谔方程的非相对论形式为22222222()0m E U x y z y y y y 抖?+++-=抖?h其中，m 为粒子的质量，U 为粒子在外力场中的势能函数，E 是粒子的总能量。

· 在无限深方势阱中的粒子能量为22222222n k h h E n m ma p == 整数n 称为量子数。

每一个可能的能量值称为一个能级。

· 在势垒有限的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做势垒贯穿。

7． 电子运动状态· 量子力学给出的原子中电子的运动状态由以下四个量子数决定（1） 主量子数n ，它大体上决定了原子中电子的能量。

（2） 角量子数l, 1,2,3,,(1)l n =-L它决定电子绕核运动的角动量的大小。

一般说来，主量子数n 相同，而角量子数l 不同的电子，其能量也稍有不同。

（3） 磁量子数l m0,1,2,,l m l =北?L它决定电子绕核运动的角动量矢量在外磁场方向中的指向。

（4） 自旋磁量子数s m12s m =?它决定电子自旋角动量矢量在外磁场中的指向，也影响原子在外磁场中的能量。

思考题10-1 什么是黑体？为什么从远处看山洞口总是黑的？答：在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

山洞就形成一个空腔，光从洞口射入山洞，经过多次反射后几乎不再射出洞口，因此山洞形成一个绝对黑体，从远处看山洞口是黑的。

10-2 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩定律估算人体的电磁辐射中，单色辐出度的峰值波长？答：根据维恩位移定律m T b λ=可得m b Tλ=以人体的正常体温的最高值37℃（热力学温度为(37+271.15)K 为例，算出人体电磁辐射中对应于最大的单色辐出度的波长值约为10μm 。

10-3 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要被眼睛观察到，需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40-0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。

根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。

黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。

10-4请举出一些日常生活中所见到的例子，来说明物体热辐射的各种波长中，单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小？答：火焰外焰温度高，内焰相对温度低；观察火焰，发现内焰颜色偏红，外焰颜色偏蓝（红光波长大于蓝光波长），可见单色辐出度的峰值波长随物体温度的升高而减小。

10-5普朗克提出了能量量子化的概念，那么，在经典物理学范围内，有没有量子化的物理量，请举出例子。

答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如说电荷量的量子化。

10-6 什么是爱因斯坦的光量子假说，光子的能量和动量与什么因素有关？ 答：爱因斯坦认为，一束光是一束以光速运动的粒子流。

这些粒子称为光量子，后来简称光子。

不同颜色的光的光子能量不同，若光的频率为ν，一个光子具有的能量为E h ν=，光子的动量为p h /λ=，可见光子的能量和动量都与它的波长或者频率有关。

10-7 “光的强度越大，光子的能量就越大”，对吗？答：不对,光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。

一定频率的光强度越大，表明光子数量越多，但每个光子的能量是一定的，只与频率有关，与光子数目无关。

10-8 什么是康普顿效应？答：考察X 射线通过物质时向各个方向的散射现象发现，在散射的X 射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。

10-9 什么德布罗意波粒二象性假设？答：德布罗意假设实物粒子也具有波动性，认为一个实物粒子的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ的定量关系和光子的一样，满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意假设。

10-10 日常生活中，为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？ 答：根据德布罗意假设粒子的动量大，相应的波长小。

日常生活中的粒子动量很大，波长很短，故粒子的波动性不明显。

日常生活中的电磁辐射的波长相对较长（频率为100M 数量级，波长为1m 左右），容易绕过障碍物，所以电磁辐射的粒子性很难察觉到。

10-11 如果一个粒子的速率增大了，它的德布罗意波长是增大还是减小？ 答：根据22221222k p h E mv m m λ===所以当速度增大时德布罗意波波长减小。

10-12 一个电子和一个原子具有相同的动能，谁的德布罗意波长大？答：电子和原子的动能均为22122k p E mv m== 又由h p λ=因而德布罗意波长的平方与粒子质量成反比。

由于电子的质量大于原子的能量。

故原子的德布罗意波长大于电子的德布罗意波长。

10-13 什么是不确定关系？答：不确定关系是指微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述。

由于微观粒子具有波动性，不象经典力学，每个粒子在运动过程中可以用确定位置和动量来描述其运动状态；这时只能采用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数只能提供粒子处于某个位置和具有某个动量的概率。

10-14 在经典力学中，用粒子的位置和速度来描述其运动状态。

在量子力学中如何描述粒子的运动状态？答：量子力学指出，微观粒子的运动状态需要用概率波来描述，其运动方程为薛定谔方程。

概率波的数学表达称为波函数，通常以y 表示。

一般来说，y 是空间和时间的函数，即(,,,)x y z t y y =量子力学中，用波函数来描述粒子的运动状态。

10-15 在一维无限深势阱中，如果减小势阱的宽度，其能级将如何变化？如增大的势阱的宽度，其能级又将如何变化？答：一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为2228n h E n ma = 式中a 为势阱宽度。

很显然E 与a 2成反比关系。

练习题10-1 若将星球看成绝对黑体，利用维恩位移律，通过测量λm 便可估计其表面温度。

现测得太阳和北极星的λm 分别为510nm 和350nm 。

，试求它们的表面温度和黑体辐射出射度。

解：（1）根据维恩位移定律，单色辐出度的峰值波长与温度的关系为m T b λ=其中2898(m K)b μ=⋅，可得m bT λ=对于太阳： 61912898105682(K )51010m bT λ--⨯===⨯ 对于北极星： 62922898108280(K )35010m b T λ--⨯===⨯ （2） 根据斯忒潘－玻尔兹曼定律，黑体辐射出射度与温度的关系为4M T σ=其中8-2-45.6710(W m K )σ-=⨯⋅⋅，则对于太阳： 4847211 5.6710(5682) 5.9110(W m )M T σ-==⨯⨯=⨯⋅ 对于北极星： 484822-25.6710(8280) 2.6710(W m )M T σ-==⨯⨯=⨯⋅10-2 天狼星的温度大约是11000K 。

试由维恩位移定律计算其辐射峰值的波长。

解：由维恩位移定律，即m T b λ=其中2898(m K)b μ=⋅，导出 可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长m b Tλ= 6289810(m)263.4(nm)11000m b T λ-⨯===10-3 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量I 0称为太阳常量，实验测得I 0＝1.5kW/m 2。

把太阳近似当作黑体，试由太阳常量估算太阳的表面温度. 太阳平均直径为91.410m ⨯，地球到太阳的距离为111.510m ⨯。

解：根据能量守恒，有1102M S I S ⋅=⋅其中21,S S 分别为太阳表面积、以地球和太阳距离为半径的球面积。

22110244M r I r ππ⋅=⋅ 其中21,r r 分别为太阳半径、地球和太阳距离。

又根据斯忒潘－玻尔兹曼定律4M T σ= 其中8245.6710(W m K )σ---=⨯⋅⋅。

联立①②得到1240221I r T r σ⎛⎫= ⎪⎝⎭带入数据可得太阳表面的温度为 )K (5904)21049.1(1067.5)105.1(105.14/129821134/121220=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r r I T σ10-4 在理想条件下，如果正常人的眼睛接收550nm 的可见光，此时只要每秒有100个光子数就会产生光的感觉。