等腰直角三角形特性
一个含15度的直角三角形的三边关系
一个含15度的直角三角形的三边关系
一个含15度的直角三角形的三边关系如下：
1、三角形任意两边之和大于第三边；
2、任意两边之差小于第三边；
3、两边长相等。
4、等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
等腰三角形和直角三角形的关系
等腰三角形和直角三角形的关系等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，在几何学中具有重要的地位和应用。
它们之间存在一定的关系，本文将从不同的角度进行介绍和比较。
从定义上来看，等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形，而直角三角形则是指其中一条角为直角的三角形。
根据这两个定义，可以得出等腰直角三角形是指既具有两条边长度相等，又具有一个角为直角的三角形。
从形状上来看，等腰三角形的顶角和底边角度相等，而直角三角形的底边角度为90度。
因此，等腰直角三角形的顶角也为45度，底边角度为90度，这种特殊的角度使得等腰直角三角形具有独特的形态。
进一步探讨等腰直角三角形的性质，可以发现以下几点：1. 等腰直角三角形的两条等腰边相等，这是等腰三角形的性质；同时，其中一个角为直角，这是直角三角形的性质。
因此，等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合。
2. 等腰直角三角形的斜边长度可以通过等腰边的长度计算得出。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。
由于等腰直角三角形的两个等腰边相等，所以可以简化为斜边长度等于等腰边长度的平方根乘以2。
3. 等腰直角三角形的面积可以通过等腰边的长度计算得出。
根据三角形面积公式，等腰直角三角形的面积等于等腰边长度的平方除以2。
4. 等腰直角三角形的高度可以通过等腰边的长度计算得出。
根据等腰三角形的性质，等腰直角三角形的高度等于底边长度的一半。
除了以上性质，等腰直角三角形还有一些特殊的应用和意义。
例如，在建筑设计中，等腰直角三角形常用于绘制直角线，用来保证建筑物的垂直度。
在数学推导和证明中，等腰直角三角形也经常被用作基本图形，用来辅助证明其他定理。
总结起来，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，它们之间存在一定的关系。
等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合体，具有独特的形态和性质。
无论是在几何学还是实际应用中，等腰直角三角形都具有重要的地位和作用。
等腰三角形与直角三角形讲义
等腰三角形与直角三角形讲义一、等腰三角形（一）等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一条边称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
（二）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，如果 AD 是顶角∠BAC 的平分线，那么 AD 也是底边 BC 上的中线和高；如果 AD 是底边 BC 上的中线，那么 AD 也是顶角∠BAC 的平分线和底边 BC 上的高；如果 AD 是底边 BC 上的高，那么 AD 也是顶角∠BAC 的平分线和底边BC 上的中线。
（三）等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
2、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（四）等腰三角形的周长和面积1、周长：等腰三角形的周长＝腰长×2 ＋底边长度。
2、面积：等腰三角形的面积＝底×高÷2。
（五）等腰三角形的常见题型1、利用等腰三角形的性质求角度。
比如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，求顶角的度数。
因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是 70°，根据三角形内角和为 180°，顶角的度数为 180° 70°×2 ＝ 40°。
2、利用等腰三角形的判定证明三角形是等腰三角形。
给定一个三角形，已知其中两个角相等，证明它是等腰三角形。
3、利用等腰三角形的周长和面积解决实际问题。
例如，要制作一个等腰三角形的招牌，已知腰长为 5 米，底边长为6 米，求制作这个招牌需要多少材料（即求周长），以及招牌的面积是多少。
二、直角三角形（一）直角三角形的定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
9.等腰三角形、直角三角形、勾股定理
9、等腰三角形直角三角形与勾股定理（八上ch16、八下ch19）(专题21、22)一 . 等腰三角形1、性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角）两个推论：推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边，并且垂直于底边.推论2：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60o .2、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写：等角对等边） 三个推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形推论3：直角三角形中，若有一个锐角等于30o ，则它所对的直角边等于斜边的一半.3、三角形中的不等关系： 定理：三角形中，若两条边不等，则它们所对角也不等，大边所对的角较大（简写：大边对大角） 逆定理：三角形中，若两个角不等，则它们所对边也不等，大角所对边较大.（简写：大角对大边）二、直角三角形1、直角三角形的概念2、直角三角形的性质（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 ；（2）直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角等于30°；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重要结论：（1）S Rt △ABC =21ch=21ab,其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 3、直角三角形的判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.4、勾股定理及逆定理定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.变式：（1）a 2=c 2-b 2；（2）b 2=c 2-a 2；（3）a=22b c-；（4）b=22a c -；（5）c=22b a + 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.。
学习等边、等腰和直角三角形
学习等边、等腰和直角三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，在我们的日常生活中也经常能够见到。
本文将介绍三种常见的三角形：等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
通过学习它们的定义、特性以及相关性质，我们可以更好地理解和应用它们。
一、等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，指的是三条边的长度都相等的三角形。
它的特点是三个内角均为60度。
在一个等边三角形中，任一边的长度都可以表示为其他两边长度的乘积。
等边三角形的相关性质还包括以下几点：1. 等边三角形的三个高度、三条中线以及三条角平分线都重合于一个点，称为垂心、重心和内心；2. 等边三角形的内切圆和外切圆的半径都相等，且与三边长度相等。
二、等腰三角形等腰三角形是一种具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边对应的两个角）相等，而顶角（顶点对应的角）则与两个底角之和相等。
等腰三角形的性质如下：1. 等腰三角形的高度通过顶点至底边的垂直线构成，且与底边中点相交；2. 等腰三角形的两条边上的角平分线与底边垂直；3. 等腰三角形可以通过图形的对称性得出，即对称轴为底边的中垂线。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形中，直角为其特点，其他两个角度分别为锐角和钝角。
直角三角形的特性及其相关性质包括：1. 直角三角形中，根据勾股定理，直角边的平方等于两直角边平方和。
即a²+ b²= c²，其中a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度；2. 直角三角形中，斜边是两直角边中最长的一边；3. 直角三角形还可以通过三边长度的比较来分类，如3:4:5三角形、5:12:13三角形等。
通过学习等边、等腰和直角三角形的特性，我们可以应用它们解决一些实际问题，如测量边长、计算角度等。
同时，这些三角形也在建筑、工程、地理和几何学等领域中得到广泛应用。
总结：等边、等腰和直角三角形是我们常见的几何学中的基本三角形。
等腰直角三角形边与边的关系
等腰直角三角形边与边的关系好嘞，今天咱们来聊聊等腰直角三角形。
说到这个形状，很多小伙伴可能会想，“这玩意儿有什么特别的？”嘿嘿，其实它的奥妙可多着呢！想象一下，咱们的三角形就像一个神秘的角色，左边和右边的边儿都长得一样，像一对好兄弟，亲得很。
然后，上面的边呢，就像是他们的“背影”，就是垂直的，简直是个“高冷”角色。
等腰直角三角形，名字听上去就有点学术气息，其实它的存在感可不低。
咱们来看看它的边的关系。
两条相等的边，那可是它的特征。
你要是用尺子量一量，哎呀，准能发现这两条边就像是一对双胞胎，长得一模一样。
上面的直角边，则是一种霸气的“独行侠”，挺直腰杆，迎接挑战。
就是因为这三条边的关系，咱们的等腰直角三角形才有了它独特的魅力。
再说了，这个三角形可不止是个好看，它在生活中也可大有用处呢！比如，咱们的建筑、设计，处处都能见到它的身影。
你有没有注意到，很多房子的屋顶都是三角形的，尤其是那些小别墅，像个小屋子，真是可爱得不得了。
就算是你自己在画画，想要构图的时候，心里有这个三角形的影子，保证你的画面瞬间有了层次感，仿佛给画里加了一道风景线。
说到这里，咱们得聊聊等腰直角三角形的特性。
它的角度特别好玩，直角的对面是个九十度，另外两个角都是四十五度。
这就好比是咱们生活中的平衡，左右各占一半，绝对不偏不倚。
这种完美的对称感，简直让人想要拍手叫好。
生活中不也需要这种和谐吗？工作、学习、休闲，都是要找到一种平衡的，搞得好就能让一切都顺风顺水。
有趣的是，等腰直角三角形还让我们在数学上可以玩出不少花样。
比如，面积的计算，哦！这是个简单的事情。
只要你知道底和高，直接一乘二再除以二，轻轻松松就能得出结果，真是简单得不能再简单了。
想想看，当你在课堂上解出这样的题，简直是让人觉得自己就是个数学天才，心里那个美呀，跟喝了蜜一样甜。
等腰直角三角形也不是那么好对付，尤其是当你在解题的时候，可能会遇到一些问题。
很多同学在考试中就会犯迷糊，搞混了边与角的关系，或者把计算搞错，结果就只能望着满分的试卷叹气了。
等腰直角三角形三边关系定理
等腰直角三角形三边关系定理1. 引言：数学与生活的奇妙交汇嘿，大家好！今天我们来聊聊一个既简单又有趣的话题——等腰直角三角形。
说实话，听到“等腰直角三角形”可能觉得有点儿高深，其实它就像咱们生活中的小伙伴，随处可见，平易近人。
想象一下，咱们的日常生活就像这个三角形一样，虽然三条边的名字不一样，但每一条都息息相关，就像咱们身边的朋友，缺一不可。
今天，我们就来深扒一下这个神奇的三角形，看看它的三边关系有什么奥秘。
2. 等腰直角三角形的基本特征2.1 什么是等腰直角三角形？首先，咱得明白，等腰直角三角形是什么。
简单来说，就是一个三角形，有两个边的长度是相等的，而其中一个角是90度。
就像两位兄弟，一边高兴地站在直角的旁边，另一边则默默无闻，但同样的重要。
想象一下，这个三角形就像是一把扇子，打开的时候有两个相等的边，风一吹，感觉特别和谐。
2.2 三边的关系接下来，咱们来聊聊这个三角形的三条边。
设想一下，两个相等的边叫做“直角边”，而那个最长的边，咱们称之为“斜边”。
那么，直角边的长度是“a”，那么斜边的长度是“a√2”。
这可是个大秘密哦！就是说，如果你知道了直角边的长度，斜边就像魔术一样，直接变出来了。
这就像你在超市买了一瓶饮料，发现旁边有个折扣，买一送一，哇，真是划算啊！这种关系让人感觉数学也可以很有趣。
3. 等腰直角三角形的应用3.1 生活中的等腰直角三角形说到这里，大家可能会想，这个三角形跟咱们的生活有什么关系呢？其实啊，等腰直角三角形可大有用处。
无论是建筑设计、工程测量，还是咱们平常做的手工艺品，等腰直角三角形总能派上用场。
想象一下，你要搭个秋千，得有个稳定的支架，咱们就可以用等腰直角三角形的原理来设计。
稳稳当当，孩子们玩得高兴，家长也放心，这多好啊！3.2 计算的乐趣当然，咱们在生活中也可以通过计算来感受这个三角形的魅力。
比如说，你要测量一堵墙的高度，结果发现墙是直的，这时候，你就可以利用等腰直角三角形的特性，找出合适的测量角度。
认识三角形等边等腰和直角三角形
认识三角形等边等腰和直角三角形三角形是我们学习初中数学时必须掌握的一个基本图形。
根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形三种类型。
本文将分别介绍这三种三角形的特点和性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。
我们可以简记等边三角形为△ABC（其中A、B、C为三个顶点）。
等边三角形的特点是稳定、对称，它的边长和角度特性具有以下几点：1. 三边相等：在△ABC中，边AC = AB = BC。
2. 三个内角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60度。
3. 高度、中线和角平分线重合：△ABC的高线、中线和角平分线重合于同一条线段AN上（即垂心、重心、外心和内心重合）。
等边三角形在几何学和实际运用中有着广泛的应用，比如构造等边形、平衡木桥梁等。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角也相等，而顶角则不同。
我们可以将等腰三角形简记为△DEF （其中D、E、F为三个顶点）。
等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：在△DEF中，边DE = EF。
2. 两个底角相等：∠D = ∠F。
3. 顶角不等：∠E为顶角，与底角不相等。
等腰三角形也有许多重要的性质：1. 等腰三角形的高线为中线和角平分线，都重合于同一条线段。
2. 等腰三角形的底角平分线也是高线、中线和角平分线。
等腰三角形在建筑、制图、机械设计等领域中都有应用，例如金字塔、屋顶的坡度等。
三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。
直角三角形是最常见的三角形类型之一，也是勾股定理的基础。
我们可以简记直角三角形为△GHI（其中G、H、I为三个顶点）。
直角三角形的特点如下：1. 一个角为90度：在△GHI中，∠G为直角，即90度。
2. 两边相互垂直：直角三角形的两条直角边相互垂直，即∠HGI =90度。
3. 两个锐角相加等于90度：∠H + ∠I = 90度。
第18讲 等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形、直角三角形考点一：等腰三角形以BC为底，以长度a为腰的等腰三角形由：△ABD≌△ACD （SAS）∴∠A=∠B CD⊥AB AD=BD1、定义：有两边相等的三角形2、性质：（1）等边对等角（2）三线合一（本质：三角形全等）：AB=BC;AD为角平分线；AD⊥BC；BD=DC。
（知二求二）例3.已知三角形ABC，（1）若AD⊥BC，BD=CD，求证:△ABC为等腰三角形；（2）若AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求证:△ABC为等腰三角形；（3）若∠BAD=∠CAD，BD=CD, 求证:△ABC为等腰三角形.证明思路：（1）△ABD≌△ACD（HL）（2）△ABD≌△ACD（ASA）（3）过D分别作AB，AC的垂线，利用角分线构造全等三角形例1. 如图，在△ABC 中AB = AC，AD = DE = EB，BC = BD，求∠A 的度数.解：设∠A=x，则∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x；∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=0.5x又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1.5x；在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°，∴∠A=x=45°．故答案为：45°．【三线合一】性质应用：方法：找等腰三角形和三线例2. 如图△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD是BC边上的中线，E是AB 上一点且BD = BE，求∠ADE的度数.等腰△ABC＋AD为底边中线例5. 已知:如图，在△ABC中AB = AC，∠A = 60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE = CD. 求证:DB = DE.等腰△ABC＋BD为底边中线3、模型：平行线＋角平分线=等腰三角形AD//BC，∠1=∠2，AB=BC可证：△ABD为等腰三角形例4. (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC过点D，作ED∥BC.指出图中的等腰三角形，并说明理由.(2)如图2，在△ABC中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O，过点O作EF∥BC.明:EF=BE+CF.解题思路：（1）△BED为等腰三角形（2）△BEO和△CFO都是等腰三角形可得：BE=EO，CF=OF则可证出：EF=BE＋CF4、易错题—分类讨论方法：无图有偶取舍：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
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等腰直角三角形特性
等腰直角三角形的性质：稳定性，两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线
合一等。
等腰直角三角形符合勾股定理、正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理。
性质是什么
全等直角三角形就是特定的等腰三角形（存有一个角就是直角），也就是特定的'直
角三角形（两条直角边等），因此全等直角三角形具备等腰三角形和直角三角形的所有性
质（例如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。
当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分
线定理、中线定理等。
等腰直角三角形三边比例为1：1：√2。
利用勾股定理。
两条直角边的平方和=斜边的平方。
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边短为c，那么a2+b2=c2。
除了就是可
以利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等同于斜边一半，利用面元的那个直角边
也可以谋出。