解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）

（例1图） （例2图）

例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、

BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．

【部分题目解答】

例1、(难度相当于高考压轴题)

；

，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+

、；则，、，C B )()(4433y x E y x

D ,

1

- ;12-2-)1,{)-(22

2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx

y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222

243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：

),-(---23

23

22x x x x y y y y CD =

方程为：直线 ,--Q 3

23

223Q y y y x y x x =

点横坐标：由此得

,

--P 1

41441P y y y x y x x =

点横坐标：同理得

,------1

41441323223P Q y y y

x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明

N

B

即证明：）（）（）（）（321441143223-----y y y x y x y y y x y x ⋅=⋅

将上式整理得：31442331242143212143)()(y y x y y x y y x y y x x x y y x x y y +++=+++

，代入整理得：注意到：44332211 , ;,nx y nx y mx y mx y ====

)]()([),()(214343212143243212x x x x x x x x mn x x x x n x x x x m +++=+++=右边左边

)

1)(1(n)

)(m -(2)121-121-()

1)(1(n))(m -(2121-121-2222222222222222222

2222222

+++=

+⋅+++⋅+=+++=+⋅+⋅++⋅+⋅=n m r a amn m am n r a n an m r a mn n m r a amn m am n r a n n an m r a m 右边左边代入得：

把上述韦达定理的结论 可见：左边=右边，故P Q -x x =，即AQ AP =. 证毕！

例2、 .标系分析：如右图，建立坐

、坐标后，求出直线、、、总体思路：设点AD D C B A 切值，证明这两个角度从而求出两个角度的正问题的关键是：如何设点C 、D 而C 、D 两点是相互独立运动的，故把点C 、D 设AD=BC= r ，则C 点可以看作是以B 为圆心，r 上的动点，类似看待D 点，故，设

),sin cos D()sin cos C(ϕϕ,r r -a θθ,r r a ++、

)2

sin sin ,2cos cos N(

ϕ

ϕ++θθ从而得

;

2

tan cos cos sin sin ,tan ,tan MN AD BC ϕθϕϕϕθ+=++=

==θθk k k 参数方程的美妙之处】【此处充分展现了圆的易得：