二路归并排序算法时间复杂度推导
Homework
《数据结构》书面作业第1章绪论一、选择题1. 下面程序段的时间复杂度为（）。
for (i=0;i<n;i++)for (j=0;j<m;j++) a[i][j]=0;A. O(m)B. O(n)C. O(m*n)D. O(m/n)2. 下面程序段的时间复杂度为（）。
i=1; K=0;While (i<=n-1){k=k*10*i; i++; }A. O(n)B. O(1)C. O(n+1)D. O(n2)3. 下面程序段的时间复杂度为（）。
i=1;do{ j=1;do{ printf(“%d\n”,i*j); j++; }while (j>n)i++;}while (i>n);A. O(n)B. O(1)C. O(n2)D. O(n3)4. 下面程序段的时间复杂度为（）。
I=0; S=0;While (s<n) {I++; s=s+I; };A. O(n)B. O(n2)C. O(n1/2)D. O(n3)5. 起泡排序算法在最坏情况下的时间复杂度为（）。
A. O(n)B. O(n2)C. O(n3)D. O(n4)6. 设问题的规模为n，分析以下程序段：k=n; m=0; /* n>1 */while (k>=(m+1)*(m-1)) m++;以上程序段的算法时间复杂度是（）。
A. O(n)B. O(1)C. O(n1/2)D. O(n2)7. 设问题规模为n，分析以下程序段：a=10; b=100;while (b>0) { a++; b--; }以下程序段的算法时间复杂度是（）。
A. O(1)B. O(n)C. O(n2)D. O(n1/2)二、应用题1. 有一种数据结构B1=（D,R），其中：D={1,5,8,12,20,26,34}R={r}r={<1,8>,<8,34>,<34,20>,<20,12>,<12,26>,<26,5>}画出其逻辑结构表示并说明其属于哪一种逻辑结构。
10排序
}
例如，n=6，数组R的六个排序码分别为：17，3，25，14，20， 9。下面用图9-3给出冒泡排序算法的执行过程。
0 1 2 3 4 5
初始状态
（17
3
25
14
20
9)
第一趟排序
3
(17
9
25
14
20)
第二趟排序
3
9
(17
14
25
20)
第三趟排序 第四趟排序
3 3
9 9
14 14
(17 17
20 20
{（99006，李小燕），（99002，林一鹏），（99001，王晓 佳），（99003，谢宁），（99004，张丽娟），（99005，周 涛）} 当然，我们还可以按排序码性别来进行递增排序，在此不再作 进一步的分析。
10.1.2 基本概念
1．排序码（Sort Key）
作为排序依据的记录中的一个属性。它可以是任何一种可比的 有序数据类型，它可以是记录的关键字，也可以是任何非关键 字。如上例中的学生年龄。在此我们认为对任何一种记录都可 找到一个取得它排序码的函数Skey(一个或多个关键字的组合)。 2．有序表与无序表
5．内排序与外排序
按照排序过程中使用内外存的不同将排序方法分为内排序和外排 序。若排序过程全部在内存中进行，则称为内排序；若排序过程 需要不断地进行内存和外存之间的数据交换，则称为外排序。内 排序大致可分为五类：插入排序、交换排序、选择排序、归并排 序和分配排序。本章仅讨论内排序。
6．排序的时间复杂性 排序过程主要是对记录的排序码进行比较和记录的移动过程。 因此排序的时间复杂性可以算法执行中的数据比较次数及数 据移动次数来衡量。当一种排序方法使排序过程在最坏或平 均情况下所进行的比较和移动次数越少，则认为该方法的时 间复杂性就越好，分析一种排序方法，不仅要分析它的时间 复杂性，而且要分析它的空间复杂性、稳定性和简单性等。
mergesort方法
mergesort方法
mergesort方法是一种经典的排序算法，它采用分治法的思想，将待排序的序列分成若干个子序列，分别进行排序，最后将已经排序好的子序列合并成一个完整的序列。
具体实现过程如下：
1. 将待排序序列不断递归地分成两个子序列，直到每个子序列只剩下一个元素为止。
2. 将每个子序列归并排序，即将两个有序的子序列合并成一个有序的序列。
合并过程需要维护两个指针，分别指向两个子序列的头部，比较两个指针所指的元素的大小，将较小的元素放入合并后的序列中，并将指针向后移动。
最终合并得到的序列也是有序的。
3. 对已经排序好的子序列不断进行合并，直到最终得到完整的有序序列。
mergesort方法的时间复杂度为O(nlogn)，稳定性好，适用于各种数据类型的排序。
在实际应用中，mergesort方法被广泛应用于排序、归并等场景中。
- 1 -。
冒泡排序时间复杂度 计算方法
冒泡排序时间复杂度计算方法
冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
重复
地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
冒泡
排序的时间复杂度取决于要排序的元素数量。
要计算冒泡排序的时间复杂度，可以分析最好情况、最坏情况
和平均情况下的比较次数和交换次数。
在最好情况下，即原始数列
已经是有序的情况下，冒泡排序只需要进行一次遍历，比较次数为
n-1次，n为元素数量，没有交换操作，所以时间复杂度为O(n)。
在最坏情况下，即原始数列是逆序的情况下，冒泡排序需要进行n-
1次遍历，每次遍历需要比较和交换n-i次，其中i为当前遍历的
次数，所以比较次数为n(n-1)/2，交换次数也为n(n-1)/2，时间复
杂度为O(n^2)。
在平均情况下，冒泡排序的时间复杂度也为O(n^2)。
总的来说，冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n为要排序
的元素数量。
这意味着随着要排序的元素数量的增加，冒泡排序所
需的时间将按平方级增长。
因此，在大规模数据的排序中，冒泡排
序并不是一个高效的选择。
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。
- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。
例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。
2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。
例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。
3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。
然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
二元对比排序法
二元对比排序法二元对比排序法是一种基本的排序算法，也是最常用的一种排序算法。
其基本思想是将需要排序的数据集合划分成，较小的子集，然后对每个子集进行排序。
最后，合并各个子集以得到最终排序的结果。
本文将详细介绍二元对比排序法。
1. 算法概述二元对比排序法是一种分而治之的思想，其基本原理是将待排序的序列递归地分成两个子序列，直到每个子序列只剩下一个元素为止，然后逐层合并两个子序列成为一个更大的有序序列，直到最后合并成为一个完全有序的序列。
2. 算法步骤二元对比排序法的具体操作步骤如下：（1）将待排序序列分成两个子序列：左子序列和右子序列。
（2）对左子序列和右子序列递归地执行排序。
（4）递归地执行步骤（2）和（3），直到得到完整的排序序列。
3. 算法特点二元对比排序法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 表示待排序序列的长度。
由于它的内部排序算法是归并排序，因此它具有稳定性和适用于链式存储结构的优点。
此外，由于对序列进行分段，对分别排序的两个子序列的访问都是顺序访问，因此在实际应用中，二元对比排序法的局部性较好，比较适合大数据量的排序问题。
4. 算法实例下面，我们通过一个实例来说明二元对比排序法的具体操作过程。
假设我们需要对以下数据进行排序：43,65,23,89,12,28,76,51首先，将这个数组拆成两半：然后，对每个子数组进行进一步的拆分，直到每个子数组只包含一个元素：接着，按照如下步骤，对每个子数组进行合并排序：{43,65} 和 {23,89} => {23,43,65,89}最终，将以上两个已排序的数组合并，得到最终排序结果：5. 算法优化在进行合并的过程中，由于需要新建一个数组来存放合并后的子序列，因此在空间复杂度上，二元对比排序法是不太优秀的，尤其是当需要排序大量数据时，会占用大量的内存。
为了优化空间复杂度，我们可以将新建的数组用两个指针来实现。
即定义两个指针分别指向合并前的数组和合并后的数组，并依次将两个指针所指向的元素相比较，得出较小的元素并存入新的数组中。
二叉树的快速排序、归并排序方法
二叉树的快速排序、归并排序方法一、快速排序快速排序采用的是分治法策略，其基本思路是先选定一个基准数（一般取第一个元素），将待排序序列抽象成两个子序列：小于基准数的子序列和大于等于基准数的子序列，然后递归地对这两个子序列排序。
1. 递归实现（1）选定基准数题目要求采用第一个元素作为基准数，因此可以直接将其取出。
（2）划分序列接下来需要将待排序序列划分成两个子序列。
我们定义两个指针 i 和 j，从待排序序列的第二个元素和最后一个元素位置开始，分别向左和向右扫描，直到 i 和 j 相遇为止。
在扫描过程中，将小于等于基准数的元素移到左边（即与左侧序列交换），将大于基准数的元素移到右边（即与右侧序列交换）。
当 i=j 时，扫描结束。
（3）递归排序子序列完成划分后，左右两个子序列就确定了下来。
接下来分别对左右两个子序列递归调用快速排序算法即可。
2. 非递归实现上述方法是快速排序的递归实现。
对于大量数据或深度递归的情况，可能会出现栈溢出等问题，因此还可以使用非递归实现。
非递归实现采用的是栈结构，将待排序序列分成若干子序列后，依次将其入栈并标注其位置信息，然后将栈中元素依次出栈并分割、排序，直至栈为空。
二、归并排序归并排序同样采用的是分治思想。
其基本思路是将待排序序列拆分成若干个子序列，直至每个子序列只有一个元素，然后将相邻的子序列两两合并，直至合并成一个有序序列。
1. 递归实现（1）拆分子序列归并排序先将待排序序列进行拆分，具体方法是将序列平分成两个子序列，然后递归地对子序列进行拆分直至每个子序列只剩下一个元素。
（2）合并有序子序列在完成子序列的拆分后，接下来需要将相邻的子序列两两合并为一个有序序列。
我们先定义三个指针 i、j 和 k，分别指向待合并的左侧子序列、右侧子序列和合并后的序列。
在进行合并时，从两个子序列的起始位置开始比较，将两个子序列中较小的元素移动到合并后的序列中。
具体操作如下：- 当左侧子序列的第一个元素小于等于右侧子序列的第一个元素时，将左侧子序列的第一个元素移动到合并后的序列中，并将指针 i 和 k 分别加 1。
数据结构与算法(12)：排序
int[] data = new int[] {10,30,20,60,40,50};
mergesort(data);
for(int i:data) {
System.out.println(i);
}
}
public static void mergesort(int[] arr){
sort(arr, 0, arr.length-1);
例例如，假设有这样一一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步⻓长 为5开始进行行行排序，我们可以通过将这列列表放在有5列列的表中来更更好地描述算法，这样他们就应该 看起来是这样：
13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10
坏的情况下，移动次数为n(n − 1)/2
冒泡排序的时间复杂度为O(n2)。冒泡排序不不需要辅助存储单元，其空间复杂度为O(1)。如果关
键字相等，则冒泡排序不不交换数据元素，他是一一种稳定的排序方方法。
时间复杂度：最好O(n)；最坏O(n2)；平均O(n2) 空间复杂度：O(1)
稳定性：稳定
二二、选择排序（Selection Sort）
排好序时，元素的移动次数为0。当每一一趟都需要移动数据元素时，总的移动次数为n − 1
选择排序的时间复杂度为O(n2)。选择排序不不需要辅助的存储单元，其空间复杂度为O(1)。选择
排序在排序过程中需要在不不相邻的数据元素之间进行行行交换，它是一一种不不稳定的排序方方法。
时间复杂度：O(n2) 空间复杂度：O(1)
地方方增量量和差值都是delta temp = arr[j-delta]; arr[j-delta] = arr[j]; arr[j] = temp;
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二路归并排序算法时间复杂度推导
1. 介绍
二路归并排序是一种常见的排序算法，其主要思想是将待排序的序列不断地划分为两个子序列，直到子序列的长度为1，然后将两个子序列合并成一个有序序列。
该算法的时间复杂度是其性能的重要指标之一。
本文将详细介绍二路归并排序算法的时间复杂度推导过程。
2. 算法步骤
二路归并排序算法的具体步骤如下： 1. 将待排序序列划分为两个子序列，分别对两个子序列进行递归调用归并排序算法，直到子序列的长度为1。
2. 将两个有序子序列合并成一个有序序列。
3. 归并操作的时间复杂度
归并操作是二路归并排序算法中的核心操作，其时间复杂度取决于合并的两个子序列的长度。
3.1. 合并两个有序子序列的时间复杂度
假设两个有序子序列的长度分别为m和n，合并两个有序子序列的时间复杂度可以用O(m+n)表示。
这是因为在合并过程中，我们需要比较两个子序列的元素，并将较小的元素放入新的有序序列中，直到其中一个子序列的元素全部放入新的有序序列中。
因此，合并两个有序子序列的时间复杂度与两个子序列的长度成正比。
3.2. 归并排序的时间复杂度
在归并排序算法中，每一次合并操作都会将待排序序列的长度减半。
假设待排序序列的长度为N，那么归并排序的时间复杂度可以表示为： T(N) = 2T(N/2) + O(N)
其中，T(N/2)表示对两个子序列进行归并排序的时间复杂度，O(N)表示合并两个有序子序列的时间复杂度。
4. 时间复杂度推导
通过递归展开归并排序的时间复杂度表达式，我们可以推导出其时间复杂度的具体形式。
4.1. 递归展开
将归并排序的时间复杂度表达式展开，得到： T(N) = 2T(N/2) + O(N) =
2(2T(N/4) + O(N/2)) + O(N) = 4T(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = 4(2T(N/8) +
O(N/4)) + 2O(N/2) + O(N) = 8T(N/8) + 4O(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = …
4.2. 合并项
将递归展开后的表达式进行合并，得到： T(N) = 2T(N/2) + O(N) = 4T(N/4) +
2O(N/2) + O(N) = 8T(N/8) + 4O(N/4) + 2O(N/2) + O(N) = … = 2kT(N/2k) + 2(k-
1)O(N/2(k-1)) + … + 2O(N/2) + O(N)
4.3. 推导边界条件
当递归展开到最后一层时，子序列的长度为1，即N/2^k = 1，解得k = log2(N)。
将k代入上述表达式，得到： T(N) = 2^log2(N)T(1) + 2(log2(N)-1)O(N/2(log2(N)-1)) + … + 2O(N/2) + O(N) = NT(1) + O(N) + … + O(N) + O(N) = NT(1) +
O(Nlog2(N))
4.4. 简化表达式
由于T(1)是一个常数，可以用C表示，将其代入上述表达式，得到： T(N) = C*N + O(Nlog2(N)) = O(N) + O(Nlog2(N)) = O(Nlog2(N))
5. 结论
经过推导，我们得到了二路归并排序算法的时间复杂度为O(Nlog2(N))。
这意味着，当待排序序列的长度增加时，算法的时间复杂度以Nlog2(N)的速度增长。
因此，
二路归并排序算法在大规模数据的排序中具有较高的效率和性能。
6. 总结
本文详细介绍了二路归并排序算法的时间复杂度推导过程。
通过分析归并操作的时间复杂度和递归展开归并排序的表达式，我们推导出了二路归并排序算法的时间复杂度为O(Nlog2(N))。
这个结果表明，二路归并排序算法在排序大规模数据时具有
较高的效率和性能。