小学数学五年级上册二 图形的平移、旋转与轴对称[图形的平移]
青岛版六三制小学五年级上册数学第二单元 对称、平移与旋转 教学课件 图形的平移与旋转
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这个图形是怎样得到的？
是通过旋转得到的。 怎样旋转的？我们 先借助钟面来研究。
返回
12 11 10
1 29O Nhomakorabea8 7 6
3
4 5
指针从“12”绕点O 顺时针旋转300到“1”
返回
12
11
1
10
2
9
O
3
8
4
7
5
6
指针从“1”绕点O 顺时针旋转60°到(3 )
返回
12 11 10
1 2
9
O
8 7 6
返回
先画 ，再将它绕O点逆时 针旋转90°就得到 。
O
返回
再旋转两次也得到 O
返回
画出三角形AOB 顺时针旋转900后的图形。
A
先画点A′，
OA′垂直于OA，
点A′与点O 的
距离还应该是
B
6格。
O
A′
B′
返回
O
旋转900
返回
O
旋转1800
返回
O
旋转3600
返回
课堂练习
1.
O
风车绕O点逆时针旋转( 90 )0。
3
4 5
指针从“3”绕点O 顺时针旋转 ( 900 )到“6”
返回
12 11 10
1 2
9
O
8 7 6
3
4 5
指针从“6”绕点O 顺时旋转 ( 180° )到“12”
返回
与时针旋转方向相同的 是顺时针旋转，方向相 反的是逆时针旋转。
返回
先画 ，再将它绕O点 顺时针旋转90°就得到
O
返回
再旋转两次就得到 O
2024年五年级数学上册二图形的平移、旋转与轴对称综合与实践花边设计比赛教案西师大版
2. 拓展建议：
- 开展数学探究活动：鼓励学生利用所学的图形变换知识，开展数学探究活动，如设计自己的花边图案、解决实际问题等，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
- 参观数学展览：组织学生参观数学展览或博物馆，如国家数学博物馆、数学与应用数学展览等，让学生亲身体验数学的魅力和应用。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出课题，激发学生的学习兴趣。
- 讲解知识点：详细讲解图形的平移、旋转和轴对称的知识点，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握图形变换技能。
- 解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：巩固学生在课堂上学到的知识点和技能。通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
六、教学资源拓展
- 提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
- 作用与目的：帮助学生提前了解课题，为课堂学习做好准备。培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
1. 拓展资源：
- 数学故事书籍：推荐学生阅读与图形变换相关的数学故事书籍，如《平面国》、《不可能的三角形》等，通过故事的形式让学生了解图形变换的原理和应用。
【最新】西师版五年级上册数学第二单元《图形的平移、旋转与轴对称》完整优质PPT教学课件
探究新知
想一想，如何通过平移，使图(1)变成图(2)。
探究新知
巩固练习
正方形向（ 右 ）平移了（ 6 ）格。 梯形向（ 上 ）平移了（ 3 ）格。
巩固练习
①
②
③
图形①向（ 右 ）平移（ 4 ）格到图形②的位置。 图形③向（ 上 ）平移（ 4 ）格到图形②的位置。
巩固练习
①
②
图形①怎样平 移到图形③?
沿顺时针方向旋转 90°。
探究新知
在方格纸上画出图形绕点O沿顺时针方向
旋转90°后的图形。
以OA旋转后的
位置为基础画 出图形。
探究新知
试着画出这个图形绕点O沿逆时针方向旋
转90°后的图形。
探究新知
2.(1)将图“E”绕点A 沿顺时针方向旋
转90°,看看与图①-④中哪个图形相同?
A
E
E
E
E
E
① √
第三课时 轴对称图形
情景导入
探究新知
下面哪些图形是轴对称图形？
探究新知
我来折一折。
探究新知
除图④外，其 余的图形都是 轴对称图形。
探究新知
轴对称图形沿一条直线对折后，两部 分能完全重合，折痕所在的直线叫做 它的对称轴。
探究新知
试一试
先折一折，再沿着折痕画出下面图形的对称轴。
轴对称图形中， 有的只有1条 对称轴。
方向旋转（ 90 ）°，到图形 ④的位置。
探究新知
议一议
图形②怎样旋转到图形③的位置？ 图形④怎样旋转到图形③的位置？
探究新知
在方格纸上将三角尺绕点A旋转90°。
探究新知
我沿顺时针 方向旋转。
探究新知
我沿逆时针方 向旋转。
西师大版五年级数学上册第二单元《图形的平移、旋转与轴对称》课件
探究新知
课件PPT
第一步：明确旋转的三要素
1.旋转点：物体旋转时所绕点或轴，也叫旋 转中心。 2.旋转方向：沿顺时针方向旋转和沿逆时针 方向旋转。 3.旋转角度：对应线段的夹角度数或对应顶 点与旋转点连线的夹角度数。
探究新知
课件PPT
第二步：明确图形的旋转点
点O为图形的旋转点。
第三步：明确旋转方向
情景导入2
在方格纸上将三角尺绕点A旋转90°。
理解题意： 所谓旋转就是将 一个图形绕一个 定点转动一定的 角度;旋转前后 图形的形状、大 小不变。
探究新知
第一步：明确画图要求
课件PPT
1.根据“在方格纸上画出三角尺绕点A旋 转90°后的图形”可知:旋转点是点A。 2.旋转方向:顺时针方向或逆时针方向。 旋转角度:90°。
课件PPT
第2单元 图形的平移、旋转和轴对称
3 轴对称图形
复习导入
课件PPT
你还记得我们玩过的纸飞机吗？纸 飞机的左右两边是一样的吗？这种 图形有什么特点呢？今天我们就来 学一学吧。
课件PPT
情景导入1
下面哪些图形是轴对称图形?动手折一折,找 出轴对称图形的对称轴。
理解题意： 共有6个图形,要找轴对称图形,首先我们 要弄清楚什么是轴对称图形。
探究新知
方法二：
课件PPT
先在长方形上确定一个点A,再 数平移到图形②后,A与A'之间有 几格,通过数数发现A与A'之间有 8格,即向右平移了8格。
探究新知
方法三：
课件PPT
在图形①中确定线段AB,然后数 平移到图形②后线段AB与线段 A'B'之间有几格,通过数数发现 AB与A'B'之间有8格,即向右平移 了8格。
五年级数学上第二单元图形的平移、旋转和轴对称2.4设计图案精选教学PPT课件
情景导入1
利用平移设计图案。
理解题意： 通过设计图案,掌握用平移的方法设计图 案。
探究新知
设计方法：
以图①为例,用平移的方法设计图案。把图①向右 平移1格,得到图②,图①和图②组成新的图案A。把 图①再向右平移1次(平移2格),就得到图③,图①、 图②和图③,就组成了图案B。
探究新知
解决问题：
美女，多么美好的一个字眼，就这俩 个字可 以让全 世界百 分之九 十的男 人心跳 加速。 美貌是 上帝赐 予一个 女人最 好的礼 物，不 ，是上 帝惩罚 男人最 好的武 器。 -------------------------------------------- -----顾 小白《 男人帮 》
美貌是上帝赐给女人最好的礼物，不 对，是 惩罚男 人最厉 害的武 器，男 人徘徊 在女人 的美貌 给我们的震撼和能谈笑风生的才女 ，带给 我们的 愉悦中 ，女人 唯一记 得的是 ，那个 对你不 好的有 钱的男 人曾经 是用钱 这样地 对你好 过。 你在想什么 你在想什么 我在想你在想什么 我在想你在想我在想什么。
白：天才啊 千：真理
我们俩坐那儿傻坐着也没什么话 阿千在那儿狂唱 那你先跟人说说话呀 朋友妻不可戏呀
让你说说话 谁让你戏了 可我控制不了自己啊
分手的礼仪 男和女在一起，谈恋爱不需要什么理 由对不 对
但是分手的时候就需要理由了 什么我年纪太大了，你年纪太小了
我太成熟了，你太不成熟了 你人太好了，我配不上你了 我家车被狗撞死了 ——就诸如此类的嘛 终归是要找一个台面上都过得去的说 法，这 样双方 都有面 子，是 不是 可是，分手的最根本的原因是什么呢 特别简单，就是我不爱你了，或者， 我不够 爱你了 ，就这 么简单
观察图形， 由原图形 顺时针旋转90度得到 ②，依此类推。
西师大版小学数学五年级上册图形的平移、旋转与轴对称单元《 图形平移的方法》教学PPT
长方形向—右—平移—1—0 格。
移一移，想一想。
右面的 是 如何平移的？
向下平移了5个格。
课堂练习
如图,由小船平移得到的图形是( C )
小船
A
B
C
D
物体平移前后形状、大小、 方向不变，位置改变。
用这个方法数一数金鱼平移的距离。
9格
选一个参照点，参照
点运动几个格，图形 就运动几个格。
9格
看图填空
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
我们在确定图形平移的距离时，可以先 找出参照点，看它向哪个方向平移了几格， 这个图形就向那个方向平移了几格。
课后作业 从教材课后习题中选取。
谢谢观看！
①
②
③
图形②可看作图形①向—右—平移—4—格得到。
图形③可看作图形② 右—平移—1—2 格得到.
向—下—平移—4 —格，再向—
④
①
②
③
由位置①向 右 平移—6—格，到位置②。 由位置③向 上 平移 3 格，到位置④。
小船图先向（ 下 ）平移了（ 5 ） 格，再向（ 右 ）平移了（ 7 ）格。
电灯图先向（ 左 ）平移了（ 8 ）格， 再向（ 上 ）平移了（ 6 ）格。
图形平移的方法
西师大版小学数学五年级上册 图形的平、旋转与轴对称单元
课前导入
在笔直的铁轨上匀速行驶的火车
我们把上面图片中 物体的运动现象叫 做平移现象。上面 图片中物体的运动 有哪些共同特点？
平移的含义
物体或图形沿着某一 方向做直线运动的现
象叫作平移。
物体都是 沿着直线 运动。
平移的特征
运动前后， 物体的形状、 大小和方向 没有发生改 变。
五年级数学上册第二单元图形的平移、旋转与轴对称(第3课时)图形的旋转PPT课件西师大版
同桌的两位同学一人提出旋转要
求，另一人在事先准备好的方格纸上
用长方形、正方形、三角形等学具进
行旋转。
练一练
（1）将甲图绕点A沿顺时针方向旋转90 °，
看看与图①- 图④中哪个图形相同。
√
（2）像这样继续转下去，每次都能在图①图④中找到相同的图形吗？
说一说怎样从图形①得到图形②
顺时针旋转 90°
第 二 单元
图形的平移、旋转与轴对称
第 3 课时 图 形 的 旋 转（1）
像摩天轮、旋转木马、飞 机这些物体都绕着一个点或一
个轴转动，这样的现象，我们
叫做旋转。
说一说，填一填。
逆时针 90
在方格纸上将三角尺绕点A旋转90°
议一议： 旋转后的三角形和旋转前的三角形位置有什么变化？
动手练一练
顺时针旋转90°
先顺时针旋转 90°，然后向右 平移两个单位吗， 然后向下平移两 个单位
填空，并说一说。
②
90
逆时针
① ③
逆时针
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
31、生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。 32、任何业绩的质变，都来自于量变的积累。 33、空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。 34、不大可能的事也许今天实现，根本不可能的事也许明天会实现。 35、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 36、失败者任其失败，成功者创造成功。 37、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。 38、天助自助者，你要你就能。 39、我自信，故我成功；我行，我一定能行。 40、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 41、从现在开始，不要未语泪先流。 42、造物之前，必先造人。 43、富人靠资本赚钱，穷人靠知识致富。 44、顾客后还有顾客，服务的开始才是销售的开始。 45、生活犹如万花筒，喜怒哀乐，酸甜苦辣，相依相随，无须过于在意，人生如梦看淡一切，看淡曾经的伤痛，好好珍惜自己、善待自己。 46、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 47、苟利国家生死以，岂因祸福避趋之。 48、不要等待机会，而要创造机会。 49、如梦醒来，暮色已降，豁然开朗，欣然归家。痴幻也好，感悟也罢，在这青春的飞扬的年华，亦是一份收获。犹思“花开不是为了花落，而是为了更加灿烂。 50、人活着要呼吸。呼者，出一口气；吸者，争一口气。 51、如果我不坚强，那就等着别人来嘲笑。 52、若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 53、希望是厄运的忠实的姐妹。 54、辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。 55、领导的速度决定团队的效率。 56、成功与不成功之间有时距离很短只要后者再向前几步。 57、任何的限制，都是从自己的内心开始的。 58、伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴誉就很难挽回。 59、不要说你不会做！你是个人你就会做！ 60、生活本没有导演，但我们每个人都像演员一样，为了合乎剧情而认真地表演着。
小学数学五年级上册(年新编)二 图形的平移、旋转与轴对称轴对称图形
轴对称图形教学内容：西师版义务教育教科书五年级上册数学书第三世界国家33--35页的内容。
教学目标：1.通过找一找，连一连，数一数，让学生自主探索轴对称图形的特征和性质，进一步认识图形的轴对称性，并能在方格纸上利用对应点画出一个图形的轴对称图形。
2.在欣赏轴对称图形，画轴对称图形的过程中感受数学的应用价值，文化价值和美学价值。
3.通过画轴对称图形，以及体会轴对称图形变换的过程，培养学生的空间观念和思维能力。
教学重难点：掌握轴对称图形的特征，并能在方格纸上利用对应点画出一个图形的轴对称图形。
教学过程：一、创设图片情境，复习旧知。
二、1.同学们，老师请你们先来欣赏一些漂亮的图形，边欣赏边思考，这些图形有什么共同点。
（课件播放）三、这些图形有什么共同点？四、预设：都是轴对称图形。
五、是的，这节课我们就继续来认识轴对称图形。
（板书课题：轴对称图形）六、 2.老师手中的蝴蝶是轴对称图形吗？你是怎么判断的？七、预设：从中间对折，两边完全重合，所以是轴对称图形。
（板贴蝴蝶）八、谁听明白了，再来说一说。
九、看来判断一个图形是不是轴对称图形，只要怎么做就行了？十、预设：沿直线对折，直线两侧的部分如果完全重合，那这个图形就是轴对称图形。
十一、（板书：对折完全重合3.那你认为什么样的图形是轴对称图形呢？4.预设：把一个图形沿一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
5.真棒！谁还能说？6.那么对折时折痕所在的直线我们叫它对称轴。
（板画对称轴）7.画的时候注意要用虚线，画出头。
8. 4.对称轴你会画吗？画出下列轴对称图形的对称轴。
9.（【设计意图】通过欣赏图片，激起学生学习的兴趣，进入本节课的主题。
怎样判断蝴蝶是轴对称图形？学生首先想到的就是把它对折，看看是否能够完全重合。
有了这样的动手操作和演示，学生就能非常顺利的概括出轴对称图形的概念。
接着复习对称轴，并画一画对称轴，为学习新课做好准备。
）10.二、观察探索，认识轴对称图形的性质。
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1、图形的平移
◆教学内容
教材25-28页“图形的平移”例1、例2和“练习六”的相关内容。
◆教学目标
知识与技能：
通过具体实例进一步认识图形的平移变换，理解的平移的概念，探索它的基本性质。
过程与方法：
在动手操作的过程中，探索判断图形平移的距离的方法，感受到平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。
情感、态度和价值观：
了解平移在现实生活中的应用，体会到数学与实际生活的密切联系，体会学习数学的乐趣和认识新的数学知识和方法的价值。
◆重点、难点
重点
掌握平移的方法，能在方格纸上把简单的图形按要求进行平移。
难点
根据平移前后的图形，正确判断平移的距离。
◆教学准备
教师准备：课件。
学生准备：方格纸、学具盒（装有长方形、正方形、平行四边形、梯形等）
◆教学过程
（一）新课导入
课件出示24页情境图。
1.引导学生观察情境图，并说一说从图中获得了哪些信息？
学生回答预设：
生1：从图中可以看出，电梯在上下平移运动。
生2：图中有个风车，我知道风车叶片的运动是旋转。
生3：从图上小朋友的对话中，我懂得了，可以把电梯和风车看成是某种平面图形，利
用方格纸，研究电梯和风车的平移和旋转情况。
生4：还可以利用方格纸来研究生活中的平移、旋转和对称……
2.同学们观察得真仔细，平移、旋转和轴对称是我们生活中常见的现象，我们在三年级时，已经初步了解了这些现象，在本单元，我们将继续研究平移、旋转和轴对称现象。
今天这节课，我们首先研究图形的平移。
板书课题：图形的平移
（二）探究新知
1.教学例1
（1）课件出示25页长方形平移的方格图。
①提问：仔细观察方格中的长方形，谁能说说长方形是向什么方向平移的？
学生回答：是沿水平方向向右平移的。
②追问：你是如何判断出长方形是向右平移的？
学生先在小组里说一说自己的判断方法，小组选派代表汇报。
学生汇报预测：从箭头所指方向可以看出，右边的长方形是平移后的图形，平移后的图形在原图的右边，所以长方形是向右平移的。
③设疑：长方形平移了多少格呢？请先用学具在方格纸上移一移。
学生操作学具，小组内讨论，互相说说自己操作的方法和结果。
学生汇报：
汇报预测：
生1：长方形向右平移了6格。
生2：长方形向右平移了8格。
……
④质疑：为什么出现了不同的结果？谁的意见对呢？请这两位同学解释一下是怎样观察移动格数的。
学生汇报预测：
生1：我是数两个长方形中间相差的格数，一共有6格。
生2：我是找出两个长方形对应的点，数一数这个点平移后移动了几格。
⑤验证：到底谁说得对呢？我们一起来验证一下，老师移动长方形，你们数，好不好？
课件演示长方形移动的过程，每移动1格，学生数1格，通过演示统一学生的意见。
⑥小结：平移的方向根据平移后的图形与原图形的位置关系进行判断；平移的距离是平移前的点到平移后相应点的距离。
（2）课件出示25页正方形平移的方格图。
①引入：刚才，我们一起探究了长方形沿水平方向平移的方向与距离，下面请同学们看一看这个方格图，我们继续探究图形的平移问题。
②提问：仔细观察，说一说正方形是如何平移的？
学生观察方格图，思考正方形移动的方向和距离。
小组交流，互相说一说自己的想法。
汇报：正方形向下平移了5格。
③质疑：和刚才长方形的平移相比，你能发现它们之间有什么相同和不同吗？先想一想，再在小组里说一说自己的想法。
学生小组交流，发表看法。
学生汇报预测：相同的是正方形和长方形都在平移而且都是点到点之间的平移；不同的是长方形是沿水平方向平移，而正方形是沿竖直方向平移的。
④引导归纳：从上面的研究中你们知道研究平移时需要注意哪些问题？
学生分小组讨论后汇，教师根据学生汇报归纳：要注意图形平移的方向和平移的距离。
教师板书：方向和距离
设计意图：根据具体的方格图，引导学生探究图形平移的方向和距离，培养学生的探究能力和空间观念。
2.教学例2
过渡语：在探究图形的平移时，同学们不但要会判断平移的方向和距离，还要学会根据要求对图形进行平移。
课件出示例2方格图。
（1）提出要求：①将平行四边形向右平移4格。
②将梯开向上平移2格。
（2）请同学们先用学具在方格纸上移一移，然后在方格纸上画一画。
①学生操作，教师巡视，对学困生给予指导。
②学生在小组内展示自己所画的平移后的图形，并说一说自己是怎么画的。
（3）全班汇报展示，课件演示平移过程。
（4）指名说一说平移的方法。
学生反馈预测：在平移前，我先确定平行四边形和梯形的4个顶点应平移到哪里，并把平移后的图形的4个顶点描出来，按原图的样子连接各点，平移后的图形就画好了。
（5）归纳画平移图形的方法。
①提问：你们能总结一下怎样才能按要求画出平移后的图形吗？请同学们先在小组里交流，再汇报。
②学生反馈汇报：
教师根据学生的汇报总结：一是平移前，先确定一个点，看这个点会平移到哪儿，保证平移的格数正确；二是注意看原来的图中的每条线段各占几格，保证图形和原来一样。
3.教学例3
（1）引导：刚才我们研究了如何把图形按要求进行平移，平移在生活中的应用非常广泛，请看下面两幅图，我们来研究一下这两幅图的平移方法。
课件出示例3主题图。
（2）启发：同学们请看这两幅图，想一想，图（1）和图（2）有什么区别？
①学生观察两幅图，寻找两幅图的区别和联系。
②小组交流，在小组里互相说说自己的发现。
③反馈汇报：两幅图都是由一个大正方形和4个小阴影部分组成的；不同处在于大正方形中的4个小阴影部分所处的位置不同，所以组成的图形不同。
（3）提问：图（1）中的4个小阴影部分分别和图（2）中的哪一部分相对应？把相对应的部分用相同的颜色涂一涂。
学生观察寻找，涂色。
（4）追问：想一想，如何通过平移，使图（1）变成图（2）？
①小组交流平移方法，教师巡视，到各小组听一听学生的发言。
②各小组先派代表汇报平移方法。
学生汇报预测：
生1：图（1）左上方的阴影部分向右平移2格，右上方的阴影部分向左平移2格；左下方的阴影部分向右平移2格，右下方的阴影部分向左平移2格，就平移成图（2）了。
生2：图（1）左上方的阴影部分向下平移2格，右上方的阴影部分向下平移2格；左下方的阴影部分向上平移2格，右下方的阴影部分向上平移2格，就平移成图（2）了。
生3：把图（1）平均分成左右两部分，左边部分向右平移2格，右边部分向左平移2格，就构成图（2）了。
生4：把图（1）平均分成上下两部分，上面部分向下平移2格，下面部分向上平移2格，就构成图（2）了。
……
（5）演示：同学们找出了这么多平移的方法，这些方法平移后的结果如何呢？我们一
起来看一看。
①教师根据学生的回答，课件演示平移的过程，直观地展示平移的结果。
②通过演示，我们可以看出，大家平移的方法都是正确的。
（6）小结：一个图形通过平移可以变换成另一个图形。
（三）巩固新知
1．同学们，通过刚才的学习，相信你对图形平移的方法都掌握得很好了，下面，我们一起来做一个小游戏好不好？
（1）出示“课堂活动”：请同学们拿出准备好的方格纸和长方形、正方形、三角形等学具，同桌之间玩一玩这个游戏。
（2）同桌间一人提要求，另一人按要求做。
2．完成“练习六”第1题。
（1）学生独立完成，教师巡视，对学困生给予指导。
（2）指名汇报，并要求说明平移方法。
（3）提醒学生练习中的错误原因，引起学生注意。
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课我们进一步学习了图形平移的知识，通过学习，我们懂得了如何判断平移的方向和平移的距离，掌握了根据要求平移图形的方法，还懂得了一个图形通过平移可以变换成另一个图形。
（五）布置作业
1.完成教材第28页练习六的第2、3、4三题。
通过本课时的学习，使学生掌握图变换的方法，会根据要求按一定的方向和距离进行图形的平移，按一定的度数对图形进行旋转，会找对称图形的对称轴，会用图形的变换知识设计图案。
学生通过本单元的学习，进一步发展空间观念，对图形变换的认识由现象深入到本质，扩展了学生的已有知识。