图形的平移及性质
中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。
(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。
(4)平移的条件：图形的原来位置、方向、距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。
平移图形的相关性质和坐标的变化规律
平移图形的相关性质和坐标的变化规律一、平移图形的定义与性质1.平移图形是指在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。
2.平移不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。
3.平移图形中，对应点、对应线段和对应角都保持平行且相等。
4.平移具有传递性，即若图形A经过平移变成图形B，图形B经过平移变成图形C，则图形A经过平移直接变成图形C。
5.在平移过程中，图形与原图形重合的点、线段和角，分别称为对应点、对应线段和对应角。
二、坐标的变化规律1.坐标系的平移：当坐标系整体向某个方向平移时，所有点的坐标都相应地增加或减少相同的数值。
2.点的平移：一个点在平面内平移，其实质是该点的坐标发生变化。
若点P(x,y)沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，则平移后点的坐标为P’(x+a,y+b)。
3.直线的平移：一条直线平移时，其上的所有点的坐标都按照上述点的平移规律变化。
4.圆的平移：一个圆平移时，其上所有点的坐标同样按照上述点的平移规律变化。
5.其它图形的平移：其它平面图形平移时，其上所有点的坐标也按照上述点的平移规律变化。
三、平移图形的实际应用1.尺规作图：在尺规作图中，平移是一种基本的作图方法，可以用来构造已知图形。
2.图形变换：在计算机图形学、动画制作等领域，平移是实现图形变换的基本操作。
3.地图导航：在地图导航中，平移是实现地图缩放、查看不同区域的基本方法。
4.设计制图：在工程设计、建筑设计等领域，平移可以帮助设计者快速定位和调整图形。
四、平移图形的判定与证明1.判定：若两个图形在形状、大小上完全相同，只是位置不同，则这两个图形一个是另一个的平移。
2.证明：通过证明两个图形对应的点、线段和角相等，可以证明两个图形是平移关系。
五、平移图形的练习与巩固1.绘制：绘制不同形状的图形，并尝试进行平移，观察平移后的图形特点。
2.变换：将已知图形进行平移变换，求出平移后的坐标或位置。
3.应用：结合实际问题，运用平移图形的相关性质解决问题。
1.5 图形的平移
()
【答案】 D
2．(台州中考)如图，把三角尺的斜边紧靠直尺平移，一 个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点 C 平移的 距离 CC′＝____．
(第 2 题) 【解】 ∵把三角尺的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从 刻度“5”平移到刻度“10”， ∴三角尺向右平移了 5 个单位， ∴顶点 C 平移的距离 CC′＝5． 【答案】 5
思考 汽车在直行过程中，哪些改变了？哪些保持不 变？
课堂讲解
1． 平移的概念
【典例 1】 下列图形中，只要用其中一部分平移一次就
可以得到的是
()
【点拨】 (1)判断一幅图形是否能平移得到，就要看它 是否能根据图案中的一部分通过平移得出整个图案．
(2)要注意图形的平移与对称的区别． 【解析】 A，C 不能由平移得到，D 需要平移二次得到， 故选 B． 【答案】 B
2．在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和 过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段．
3．在图形平移的过程中，要注意图形上的点的对应关系， 即要找准对应点，然后找出对应的线(线段)、角、边 等．平移的方向是指图形平移前、后之间的位置关系， 常用方位(上、下、左、右)、方位角来表示；平移的 距离指的是图形平移前后两图形对应点之间线段的 长度．
新课预习
1．平移： (1)一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形 上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的 图形运动叫做图形的平移． (2)描述一个平移，必须指出平移的方向和移动的距离．
2．平移的性质： (1)平移不改变图形的形状和大小． (2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的 连线平行(或在同一条直线上)且相等．
∴梯形 ABEH 的面积为12×(6＋8)×3．5＝24．5(cm2)， ∴阴影部分的面积为 24．5 cm2． 【答案】 24.5
几何变换中的平移
几何变换中的平移几何变换是指在平面或者空间中对图形进行变换的过程，其中平移是一种基本的几何变换方式。
它通过沿着指定的方向和距离，将图形整体移动到一个新的位置上。
平移是保持图形形状、大小和方向不变的变换，可以应用于各种几何图形，包括点、线段、多边形和曲线等。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形的每一个点都沿着同一方向和同一距离移动的操作。
在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生了变化。
也就是说，平移是一种向量运算，通过给定的平移向量来确定移动的方向和距离。
平移的性质如下：1. 平移对图形的大小和形状没有影响，只改变了图形的位置。
2. 平移保持图形上所有点的相对位置关系不变，即图形内部的线段和角度不变。
3. 平移是一种刚体变换，即保持图形的长度、角度和面积不变。
二、平移的表示方法平移可以通过向量运算来表示。
给定平移向量u=(a, b)，对于二维平面上的点P(x, y)，其平移后的新位置P'可以表示为P'=(x+a, y+b)。
其中，向量u表示了平移的方向和距离，向量a=(a, b)的起点为原点，终点为平移前的点P，即a为向右移动的距离，b为向上移动的距离。
三、平移的应用1. 图像处理平移在图像处理中经常被应用，例如，将图像整体向左/右/上/下平移可以改变图像的位置，让图像在不同的位置上显示。
这在图像编辑和合成中是一种常见的操作。
2. 几何证明平移在几何证明中也经常被使用，例如，通过平移两个相等的线段，可以证明它们的长度相等。
又如，通过平移一个角，可以证明两个角相等或者互补。
3. 几何建模在计算机图形学中，平移可以用于几何建模，通过对二维或者三维图形进行平移，可以构建出更复杂的图形模型。
例如，在三维建模中，通过向量运算将一个物体沿着指定的方向平移，可以创建出多个相同的物体并排放置在场景中。
四、平移的实例1. 平移一个点假设有一个点P(3, 5)，要将其沿x轴正方向平移7个单位，沿y轴负方向平移4个单位，可以使用平移向量u=(7, -4)来进行平移。
数学图形的平移
直线的平移
总结词
直线的平移是指一条直线在平面内按照一定的方向和距离移动，其移动规律是保持方向 不变，仅改变其位置。
详细描述
对于直线上的任意一点P(x, y)，如果该点沿着x轴正方向移动a个单位，其新的坐标变为(x+a, y)；如 果沿着x轴负方向移动a个单位，其新的坐标变为(x-a, y)。同理，如果该点沿着y轴正方向移动b个单 位，其新的坐标变为(x, y+b)；如果沿着y轴负方向移动b个单位，其新的坐标变为(x, y-b)。当点P沿
和形状保持不变。
圆柱体的平移
圆柱体的平移
圆柱体是一种常见的三维几何图形，它也可以进行平移。 圆柱体的平移是指保持其大小和形状不变，只改变其位置。
平移的性质
圆柱体的平移具有一些重要的性质，例如平移不改变圆柱 体的侧面积和体积。此外，圆柱体的平移也是可逆的。
平移的表示方法
圆柱体的平移可以通过向量或矩阵来表示。在三维空间中， 一个圆柱体经过平移后，其位置和方向可能会发生变化， 但它的尺寸和形状保持不变。
二维空间的平移
总结词
二维空间中的平移是指沿x轴和y轴方向 移动图形。
VS
详细描述
在平面坐标系中，平移是将图形或点从某 位置沿x轴和y轴方向移动到另一位置，移 动后的图形或点与原图形或点保持距离和 方向上的等距和等方向关系。
三维空间的平移
总结词
三维空间中的平移是指沿x轴、y轴和z轴方 向移动图形。
图案复制
在图案设计中，有时需要复制一 个图案并将其平移到其他位置。 通过平移可以轻松实现这一目标 ，提高设计效率。
装饰设计
在装饰设计中，平移可以创造出 丰富的视觉效果，使图案更加美 观和多样化。
函数图像的平移
图形的平移认识平移的概念与意义
坐标变化
在平面直角坐标系中，图形上每个点 的坐标都会发生相应的变化。横坐标 或纵坐标的增加或减少取决于平移的 方向和距离。
03
图形平移的判定方法
对应点连线段平行且相等
01
平移前后两个图形中，任意一对 对应点所连线段都是平行且相等 的。
02
可以通过测量对应点之间的距离 来验证这一性质，如果距离相等 ，则可以判定图形发生了平移。
对应线段平行且相等
平移前后两个图形中，任意一对对应 线段都是平行且相等的。
可以通过比较对应线段的长度和方向 来验证这一性质，如果长度相等且方 向相同，则可以判定图形发生了平移 。
对应角相等
平移前后两个图形中，任意一对 对应角都是相等的。
可以通过测量对应角的度数来验 证这一性质，如果度数相等，则
可以判定图形发生了平移。
找出关键点的对应点
关键点的选择
在图形上选择一些关键点，如顶点、交点、中心点等。这些点将作为平移后新图 形的重要参考点。
对应点的确定
根据平移方向和距离，找出每个关键点平移后的对应点。这些对应点将构成平移 后新图形的轮廓。
连接对应点，完成作图
连接对应点
使用直线或曲线将平移后的对应点连接起来，形成新的图形 。注意保持连接的连续性和图形的完整性。
动画制作
在动画制作中，平移可以用来实现物体的移动和场景的切换。通过控制 物体的平移速度、方向和路径，可以制作出逼真的动画效果。
03
机器人路径规划
在机器人路径规划中，平移可以用来调整机器人的行走路径和姿态。通
过计算机器人需要平移的距离和方向，可以实现机器人的自主导航和避
障等功能。
06
总结与拓展
对平移概念的深入理解
小学数学知识归纳平移的性质
小学数学知识归纳平移的性质平移是数学中常见的一种变换方式，它可以通过将图形在平面上沿着指定的方向和距离移动，而保持图形的形状和大小不变。
在小学数学中，学生们接触到的平移概念非常基础，但却是后续学习几何和代数的重要基础。
本文将对小学数学中关于平移的性质进行归纳总结。
一、平移的概念平移是指在平面内，将一个图形沿着所指定的方向和距离进行移动的变换方式。
平移的基本要素包括平移向量（指定移动的方向和距离）和平移前后图形的对应关系。
二、平移的性质1. 形状不变性：平移变换不会改变图形的形状，只会改变图形在平面上的位置。
例如，一个等边三角形经过平移变换后仍然是一个等边三角形。
2. 大小不变性：平移变换也不会改变图形的大小。
无论图形是大还是小，平移后仍然保持原有的大小。
例如，一个边长为5厘米的正方形经过平移变换后仍然是一个边长为5厘米的正方形。
3. 平行性质：平移变换保持图形中的所有线段相互平行。
如果两条线段在变换前是平行的，那么它们在变换后仍然保持平行关系。
例如，一个平行四边形经过平移变换后仍然是一个平行四边形。
4. 距离性质：平移变换保持图形中各点之间的距离不变。
如果两点之间的距离在变换前是d，那么它们在变换后仍然是d。
例如，一个直角三角形的直角边和斜边之间的距离在进行平移变换后仍然保持不变。
5. 方向性质：平移变换不改变图形中线段的方向。
例如，一个水平线段经过平移变换后仍然是一个水平线段。
三、平移的表示方式平移变换可以通过向量表示来进行描述。
向量由方向和大小组成，可以表示平面上的一次移动。
平移向量可以写成坐标形式，例如(x, y)表示在x轴方向上平移x个单位，在y轴方向上平移y个单位。
四、平移的操作步骤进行平移变换的操作步骤如下：1. 选取一个基准点，作为平移变换的参照点。
2. 确定平移向量，指定平移变换的方向和距离。
3. 沿着平移向量的方向，从基准点开始，按照指定的距离进行移动。
4. 将移动后的图形与原始图形对应起来，即完成平移变换。
平移知识点总结
平移知识点总结在几何学中，平移是一种基本的图形变换操作，它将一个图形沿着特定方向和距离移动，而不改变其形状或大小。
平移操作常常用于解决几何问题和构建各种图形。
一、基础概念平移操作基于以下几个基础概念：1. 平移向量：平移向量是一个有大小和方向的向量，表示平移操作中的位移。
平移向量通常用箭头符号来表示，例如“→”。
2. 平移距离：平移距离指的是图形在平移操作中移动的距离，可以用长度单位表示，例如“2个单位”。
3. 平移方向：平移方向是指图形在平移操作中移动的方向，可以用箭头符号表示，例如“↑”表示向上平移。
二、平移规则平移操作遵循一些基本的规则：1. 平移向量和平移距离的关系：平移向量的大小和平移距离相等，但方向相反。
例如，如果平移向量是“→”，则平移距离为正数；如果平移向量是“←”，则平移距离为负数。
2. 平移方向与坐标轴的关系：平移方向与坐标轴之间存在一定的关系。
例如，在二维平面坐标系中，向右平移与正X轴方向平行，向上平移与正Y轴方向平行。
3. 平移次序：多个平移操作可以按照任意次序进行。
无论平移操作的次序如何，最终的结果都是相同的。
三、平移性质平移操作具有一些重要的性质：1. 保持平行性：平移操作不改变图形内部各点之间的相对位置关系，也就是说，平行的线段在平移后仍然保持平行。
2. 保持距离：平移操作不改变图形中任意两点之间的距离。
3. 保持形状和大小：平移操作不改变图形的形状和大小。
通过平移操作，图形可以在二维平面中任意位置移动，但仍然保持原始的形状和大小。
四、平移的应用平移操作广泛应用于几何学和图形构建中。
以下是一些常见的平移应用：1. 图形旋转和缩放：通过平移操作，可以将图形移动到指定的位置，然后进行旋转和缩放操作，从而构建各种复杂的图形。
2. 图形对称性：平移操作可以用于判断图形的对称性。
如果一个图形可以通过平移操作与自身重合，则说明该图形具有平移对称性。
3. 几何问题解决：平移操作可以用于解决各种几何问题，例如构建平行线段、判断线段是否相交等。
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1．图形的平移（一）
一．教学目标
知识与技能:
通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质。
过程与方法:
在活动过程中，提高学生的探究能力和方法。
情感与态度：
通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣；通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美。
二．学情分析
学生在七年级下学期已经学习了“图形的轴对称”，初步积累了一定的图形变换的数学活动经验，运用类比的数学思想，从轴对称的眼光看待平移，会降低学生学习的难度，创设特定情境，使学生一直处于轴对称和平移相互交融的氛围之中，会使学生更加主动地去探索平移的基本性质，培养学生良好的数学意识. 学生在前面已学习了轴对称及轴对称图形，在此基础上还将学习生活中的旋转与旋转设计图案等内容。
三．教学重难点：
1、能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
2 、简单平面图形平移后的图形的作法.
四、教学程序
1.引入问题，出现课题：
请你判断：小明跟着妈妈乘观光电梯上楼，一会儿，小明兴奋地大叫起来：“妈妈！妈妈！你看我长高了！我比对面的大楼还要高！”小明说的对吗？为什么？
2.接触平移现象：
教师通过多媒体展示（展示画面）现实生活中平移的具体实例：
（1）箱子在传送带上移动的过程。
（2）手扶电梯上人的移动的过程。
学生观察多媒体展示的图片。
教师提问：
①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在平移前后什么没有改变，什么发生了改变吗？
②在传送带上，如果箱子的某一按键向前移动了80cm，那么电视机的其它部位（如屏幕左上角的图标）向什么方向移动？移动了多少距离？
③如果把移动前后的同一箱子看成长方体（多媒体演示书上的图3-2），那么四边形与四边形的形状、大小是否相同？
学生自由发言，各抒己见。
平移前后两个图形的形状和大小没有改变，位置发生了改变。
活动目的：数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。
通过小明感受的现象引入“平移”，使学生初步感受平移现象；接着利用课本上的两个实例，进一步感受平移的实质，渗透平移的三要素，即“基本图形、方向、距离”。
2：活动探究
活动一：探求平移的定义
内容：
根据上述分析，你能说明什么样的图形运动称为平移？
教师引导学生从语句的主谓分析来看待以上几个句子，让学生自己总结平移的概念：（主语――状语――谓语）
“一个物体沿着某个方向移动一定的距离”
在学生发现和归纳的基础上板书：
平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
注意：平移三要素：几何图形——运动方向——运动距离
活动二：探究平移的性质
内容：
用多媒体演示图形的平移过程，让学生通过对图形平移现象的观察，探索其
中的性质。
同学们通过刚才的观察，总结出一个结论，即：“图形的位置改变了，但形
状和大小没有改变”。
现在我们一起来探索：平移前后对应点、对应线段以及对
应角之间在做怎样的变化。
教师提出问题：
想一想：（课件演示图3-2）
（1）在上图中，线段AE，BF，CG，DH有怎样的位置关系？
（2）图中每对对应线段之间有怎样的位置关系？
（3）图中有哪些相等的线段、相等的角？
学生分成四人一组，共同探讨平移的性质。
讨论分析：
①变换前后对应点的连线平行且相等：平移变换是图形的每一个点的变换，
一个图形沿某个方向移动一定距离，那么每一个点也沿着这个放向移动一定距离，
所以对应点的连线平行且相等。
②变换前后的图形全等：平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离，
所以平移前后的图形是全等的。
③变换前后对应角相等。
④变换前后对应线段平行且相等。
学生归纳总结，教师板书平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
活动目的：第一个活动由学生自己谈谈生活中的平移现象，总结出几句话语，
进行比较，辅以语文的语句分析，很快就得到了平移的概念，这样使学生有成就感，并有继续探索的精神。
3、例题讲解
活动内容：
例1（课件演示）如图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。
找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。
学生观察、思考、相互讨论，然后叫学生回答。
活动目的：加深平移的定义和性质的理解和应用。
注意事项：教师要关注全体学生，尤其是基础较弱的学生。
4、展示应用评价自我
活动内容：
练习：
1. 如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC＝33O，求∠DEF的度数。
2. 观察下面两幅图案，并回答下列问题：
a.这个图有什么特点？
b.它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？
c.在平移的过程中“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？
5、链接知识归纳小结
活动内容：
组织学生小结这节课所学的内容，并作适当的补充。
活动目的：完善知识，明确重点知识，
6、布置作业（略）。
教学反思：1、师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
2.最后提出的一个挑战性问题，虽不能解决，让学生更加急迫地要充实新知识解决未解决的问题，从而使自己获得更大的成功,以成良性循环的学习模式。
师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。