2024届高考物理二轮专题复习与测试第一部分专题一力与运动第4讲万有引力与航天命题点二研究天体运动的
2021届高考物理二轮复习专题一力与运动第4讲万有引力与航天学案
第4讲 万有引力与航天真题再现考情分析(多项选择)(2021·高考全国卷 Ⅰ )2021年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积 B ．质量之和 C.速率之和 D ．各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，那么两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1，m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，那么有：G m 1m 2L2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，那么v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误[命题点分析] 天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律 [思路方法] 由双星运动规律可得其周期、角速度相等、向心力相等的条件，再根据题意知其频率的情况下可求解结果(2021·高考全国卷 Ⅱ )2021年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253〞，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，万有引力常量为×10－11N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )×109kg/m 3×1012kg/m3×1015kg/m 3×1018kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其外表物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT 2，代入数据解得ρ≈5×1015kg/m 3，C 正确.[命题点分析] 天体密度的计算 [思路方法] 由万有引力提供向心力和密度公式可联立求解 (2021·高考全国卷 Ⅲ )为了探测引力波，“天琴方案〞预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道[命题点分析] 行星运动中的开普半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) ∶∶∶∶1解析：选 C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝81，C 正确.勒定律 [思路方法]由题意知卫星P 与Q的轨道半径，再根据开普勒定律求解问题命题规律研究及预测天体运动规律及万有引力定律的应用是高考每年必考内容，考察方向很广泛，从天体质量或密度的计算、行星运动规律的分析，到同步卫星、双星、宇宙速度的求解、变轨问题等均在考察范围之内.在2021年的高考备考中要注重复习解决天体运动的两条思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的前沿知识点，像2021年涉及的引力波就属于这类结合万有引力定律及天体质量和密度的求解[高分快攻]自力更生法：利用天体外表的重力加速度g 和天体半径R .由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r3GT 2.(2)假设天体的半径R ，那么天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3.(3)假设卫星绕天体外表运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，那么天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体外表运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．(多项选择)“嫦娥五号〞于2021年在海南文昌航天发射中心发射，完成探月工程的重大跨越——带回月球样品．假设“嫦娥五号〞在“落月〞前，以速度v 沿月球外表做匀速圆周运动，运动的周期为T ，引力常量为G ，不计周围其他天体的影响，那么以下说法正确的选项是( ) A ．月球的半径为vTπB ．月球的平均密度约为3πGT2C ．月球的质量约为v 3T2πGD ．月球外表的重力加速度约为2πvT[解析] 由T ＝2πR v 可得月球的半径约为R ＝vT 2π，选项A 错误；由GMm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 可得月球的质量M ＝v 3T 2πG ，选项C 正确；由M ＝43πR 3ρ得月球的平均密度约为ρ＝3πGT2，选项B 正确；由GMm R 2＝mg 得g ＝2πvT，选项D 错误． [答案] BC[突破训练] (多项选择)(2021·大连模拟)宇航员抵达一半径为R 的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m 的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．假设该星球外表没有空气，不计阻力，停顿抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如下图，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF .万有引力常量为G ，根据题中提供的条件和测量结果，可知( ) A ．该星球外表的重力加速度为ΔF 2mB ．该星球外表的重力加速度为ΔF6mC ．该星球的质量为ΔFR26GmD ．该星球的质量为ΔFR23Gm解析：选BC.设砝码在最高点的速率为v 1，受到的弹力为F 1，在最低点的速率为v 2，受到的弹力为F 2，那么有F 1＋mg ＝m v 21R ，F 2－mg ＝m v 22R砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：mg ·2R ＋12mv 21＝12mv 22拉力传感器读数差为ΔF ＝F 2－F 1＝6mg故星球外表的重力加速度为g ＝ΔF6m ，A 错误，B 正确；在星球外表附近有：G Mm R 2＝mg ，那么M ＝ΔFR 26Gm，故C 正确，D 错误． 卫星运行参量的分析[高分快攻]在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影响、互相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了；只要一个量发生了变化，其他的量也随之变化．不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点．万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma 求出相应物理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a 、v 、ω、T 均与卫星质量无关． 两种卫星的特点 (1)近地卫星①轨道半径＝地球半径． ②卫星所受万有引力＝mg . ③卫星向心加速度＝g . (2)同步卫星①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期． ②所有同步卫星都在赤道上空一样的高度上．北斗卫星导航系统空间段方案由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度较低，那么中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )A ．向心加速度大B ．周期大C ．线速度小D ．角速度小[解析] 由于中地球轨道卫星离地面高度较低，轨道半径较小，那么中地球轨道卫星做圆周运动的向心加速度大，选项A 正确；由 G Mm r 2＝ mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，解得T ＝ 2πr 3GM，可知中地球轨道卫星做圆周运动的周期小，选项B 错误；由 G Mm r 2＝ m v 2r，解得 v ＝GMr， 可知中地球轨道卫星做圆周运动的线速度大，选项C 错误；由G Mmr2＝ mrω2，解得 ω＝GM r 3，可知中地球轨道卫星做圆周运动的角速度大，选项 D 错误． [答案] A[题组突破]角度1 卫星轨道上物理参量的比拟1.(2021·高考四川卷)国务院批复，自2021年起将4月24日设立为“中国航天日〞.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，那么a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3解析：选D.固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫星做圆周运动的半径大，由a ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即a 2>a 3，B 、C 项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有G Mm r2＝ma ，即a ＝G Mr 2，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有a 1>a 2，A 项错误，D 项正确．角度2 三种宇宙速度及其应用2．(多项选择)在星球外表发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球外表做匀速圆周运动；当发射速度到达2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为 2∶1，以下说法正确的有( ) A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B ．探测器在地球外表受到的引力比在火星外表的大 C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析：选BD.探测器在星球外表做匀速圆周运动时，由G Mm R 2＝m v 2R，得v ＝GMR，那么摆脱星球引力时的发射速度2v ＝2GMR，与探测器的质量无关，选项A 错误；设火星的质量为M ，半径为R ，那么地球的质量为10M ，半径为2R ，地球对探测器的引力F 1＝G 10Mm 〔2R 〕2＝5GMm2R 2，比火星对探测器的引力F 2＝G MmR 2大，选项B 正确；探测器脱离地球时的发射速度v 1＝ 2G ·10M2R＝ 10GMR ，脱离火星时的发射速度v 2＝2GMR，v 2＜v 1，选项C 错误；探测器脱离星球的过程中克制引力做功，势能逐渐增大，选项D 正确． 角度3 同步卫星的特点3．“北斗〞卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步轨道卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，，以下说法中正确的选项是( )A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的17D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的17解析：选 A.根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝mr 4π2T2， 解得卫星周期公式 T ＝2πr 3GM ，，，所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍，故 A 正确；由 G Mm r 2＝ m v 2r 可得 v ＝GMr，所以静止轨道卫星的线速度大小小于中轨道卫星的线速度大小，故B 错误；由G Mmr2＝mrω2可得ω＝GM r 3，由此可知，，故C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2，，故D 错误． 命题角度解决方法 易错辨析天体运行参量分析 由万有引力提供向心力求解 分清做哪种圆周运动来确定是根据万有引力提供向心力来计算还是做为整体来计算宇宙速度的计算由万有引力定律结合“黄金代换〞联立求解一定是针对圆周运动而言同步卫星的特点 从周期入手分析其他运动参量掌握几个定量关系的数值卫星变轨与对接问题[高分快攻]人造卫星变轨过程中各物理量的分析比拟人造卫星的发射过程要经过屡次变轨，过程简图如下图．变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有G Mm r 2＝m v 2r .当由于某种原因卫星速度v 突然增大时，有G Mm r 2＜m v 2r ，卫星将偏离圆轨道做离心运动；当v 突然减小时，有G Mm r 2＞m v 2r，卫星将做向心运动．变轨的两种情况较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道各物理量的比拟①两个不同轨道的“切点〞处线速度v 不相等．图中v Ⅲ＞v ⅡB ，v ⅡA ＞v Ⅰ.②同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度v 大小不相等．从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中v ⅡA ＞v ⅡB ，E k ⅡA ＞E k ⅡB ，E p ⅡA ＜E p ⅡB.③两个不同圆轨道上线速度v 大小不相等．轨道半径越大，v 越小，图中v Ⅰ＞v Ⅲ.④不同轨道上运行周期T 不相等．根据开普勒行星运动第三定律r 3T2＝k ，内侧轨道的运行周期小于外侧轨道的运行周期．图中T Ⅰ＜T Ⅱ＜T Ⅲ.Ｋ⑤卫星在不同轨道上的机械能E 不相等，“高轨高能，低轨低能〞．卫星变轨过程中机械能不守恒．图中E Ⅰ＜E Ⅱ＜E Ⅲ.⑥在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中a Ⅲ＝a ⅡB ，a ⅡA ＝a Ⅰ.(多项选择)在发射一颗质量为m 的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球外表的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h 的预定圆轨道Ⅲ上．卫星在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g ，地球半径为R ，卫星在变轨过程中质量不变，那么( )A ．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为⎝ ⎛⎭⎪⎫h R ＋h 2g B ．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为gR 2R ＋hC ．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率D ．卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的动能大于在轨道Ⅰ上的动能[解析] 设地球质量为M ，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G Mm R2＝mg ，在轨道Ⅲ上有GMm〔R ＋h 〕2＝ma ，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R R ＋h 2g ，A 错误；又因a ＝v 2R ＋h ，所以v ＝gR 2R ＋h，B 正确；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率，C 正确；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P 、Q 点各加速一次，但在圆形轨道上稳定运行时的速度v ＝GMr，由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D 错误． [答案] BC[突破训练] (多项选择)(2021·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.假设只考虑海王星和太阳之间的相互作用，那么海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( ) A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：选CD.在海王星从P 到Q 的运动过程中，引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C 项正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 04，A 项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 项错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 项正确．双星与多星问题宇宙双星模型(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2. (2)两颗星的周期及角速度都一样，即 T 1 ＝ T 2, ω1＝ω2. (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . (4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2 与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. (5)双星的运动周期 T ＝2πL 3G 〔m 1＋m 2〕.(6)双星的总质量公式 m 1＋m 2＝4π2L3T 2G. [高分快攻]宇宙三星模型(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动， 另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm 2r 2＋Gm 2〔2r 〕2＝ ma向．两行星运行的方向一样，周期、角速度、线速度的大小相等．(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm 2L2×2×cos 30°＝ma 向，其中L ＝ 2r cos 30°. 三颗行星运行的方向一样，周期、角速度、线速度的大小相等．①记忆口诀：N 星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程． ②思维导图(2021·山东青岛模拟)2021年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如下图的双星系统中，A 、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，恒星A 的质量为太阳质量的29倍，恒星B 的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L ＝2×105m ，太阳质量M ＝2×1030kg ，引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，π2，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有一样的数量级，那么根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )A ．102Hz B ．104Hz C ．106HzD ．108Hz[解析] A 、B 的周期一样，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力有G M A M B L 2＝M A r A 4π2T 2①G M A M B L 2＝M B r B 4π2T2② 有M A r A ＝M B r B ，r A ＋r B ＝L 解得r A ＝M BM A ＋M BL ＝3665L .由①得T ＝4π2L 3×3665GM B那么f ＝1T＝GM B4π2L 3×3665＝错误!Hz ≈×102Hz. [答案] A[突破训练] 地球和月球可以看做一个双星系统，设质量分别为M 、m ，它们绕两球球心连线上的某一点O 转动，据科学家研究发现，亿万年来地球把局部自转能量通过地月相互作用而转移给了月球，使地月之间的距离变大了，月球绕O 点转动的机械能增加了，由此可以判断( )A ．月球绕O 点转动的角速度减小B ．月球绕O 点转动的角速度增大C ．地球球心到O 点的距离减小D ．月球绕O 点转动的动能增加解析：选A.月球的机械能增加了，因为能量大了，速度大了，万有引力缺乏以提供所需的向心力，做离心运动，最后到了半径更大的圆上做圆周运动．根据万有引力提供向心力，有：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ，知轨道半径变大，速度减小，动能减小，周期变大，角速度变小，应选项A 正确．, (建议用时：30分钟)一、单项选择题1．(2021·高考北京卷)假设想检验“使月球绕地球运动的力〞与“使苹果落地的力〞遵循同样的规律，在月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C ．自由落体在月球外表的加速度约为地球外表的16D ．苹果在月球外表受到的引力约为在地球外表的160解析：选B.假设想检验“使月球绕地球运动的力〞与“使苹果落地的力〞遵循同样的规律——万有引力定律，那么应满足G Mm r2＝ma ，即加速度a 与距离r 的平方成反比，由题中数据知，选项B 正确，其余选项错误．2．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星外表做圆周运动的周期T ，登陆舱在行星外表着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码，读数为F .引力常量为G .那么以下说法错误的选项是( ) A ．该行量的质量为F 3T 416π4Gm3B ．该行星的半径为4π2FT2mC ．该行星的密度为3πGT2D ．该行星的第一宇宙速度为FT2πm解析：选B.据F ＝mg 0＝m 4π2T 2R ，得R ＝FT 24π2m ，B 错误；由G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，得M ＝4π2R3GT 2，又R＝FT 24π2m ，那么M ＝F 3T 416π4Gm 3，A 正确；密度ρ＝M V ＝3πGT 2，C 正确；第一宇宙速度v ＝g 0R ＝FT2πm，D 正确．3．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如下图．在x 轴上各位置的重力加速度用g 表示，那么以下图中能描述g 随x 的变化关系图正确的选项是( )解析：选A.令地球的密度为ρ，那么在地球外表，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝GM R 2，由于地球的质量为M ＝43πR 3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝4πGR ρ3.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在距离地球球心为r 处，受到地球的万有引力即为半径等于r 的球体在其外表产生的万有引力，g ′＝4πG ρ3r ，当r <R 时，g与r 成正比，当r >R 后，g 与r 平方成反比，应选A.4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b 〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b 〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110 B ．1 C ．5 D ．10解析：选B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，那么M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．5．(2021·高考全国卷Ⅲ)2021年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( ) A ．周期变大 B ．速率变大 C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2R，可得v ＝GMR，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又T ＝2πRv，那么周期T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度a ＝GMR2，不变，D 项错误．6．(2021·怀化二模)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球外表发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.某星球的半径为地球半径R 的4倍，质量为地球质量M 的2倍，地球外表重力加速度为g .不计其他星球的影响，那么该星球的第二宇宙速度为( )A ．12gR B.12gR C.gRD ．18gR 解析：选C.设在地球外表飞行的卫星质量为m ，由万有引力提供向心力得GmM R 2＝mv 2R ，又由G MmR2＝mg ，解得地球的第一宇宙速度为v 1＝ GMR＝gR ；设该星球的第一宇宙速度为v ′1，根据题意，有v ′1v 1＝2MM×R 4R ＝12；由题意知第二宇宙速度v 2＝2v 1，联立得该星球的第二宇宙速度为v ′2＝gR ，故A 、B 、D 错误，C 正确．7．2021年12月22日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射全球二氧化碳监测科学实验卫星．这是我国首颗、全球第三颗专门用于“看〞全球大气中二氧化碳含量的卫星．在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道2，卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运行时的动能之比为E k1∶E k2a 1、a 2表示，角速度分别用ω1、ω2 表示，周期分别用 T 1、T 2 表示，轨道半径分别用 r 1、r 2表示．那么以下关系式正确的选项是( ) A ．a 1∶a 2＝4∶1 B ．ω1∶ω2＝2∶1 C ．T 1∶T 2＝1∶8D ．r 1∶r 2＝1∶2解析：选C.根据 E k ＝ 12mv 2得 v ＝2E km，所以卫星变轨前、后的速度的比值为 v 1v 2＝2.根据 G Mm r 2＝ m v 2r ，得卫星变轨前、后的轨道半径的比值为r 1r 2＝ v 22v 21 ＝ 14，D 错误；根据G Mm r 2＝ma ，得卫星变轨前、后的向心加速度大小的比值为 a 1a 2＝r 22r 21 ＝ 16, A 错误；根据 G Mm r 2＝mω2r ，得卫星变轨前、后的角速度大小的比值为 ω1ω2＝r 32r 31＝8，B 错误；根据T ＝2πω，得卫星变轨前、后的周期的比值为T 1T 2＝ω2ω1＝18，C 正确．8．(2021·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，假设仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，那么地球自转周期的最小值约为( ) A ．1 h B ．4 h C ．8 h D ．16 h解析：选B.设地球半径为R ，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如下图．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r ＝2R .设地球自转周期的最小值为T ，那么由开普勒第三定律可得，R 〕3〔2R 〕3＝〔24 h 〕2T 2，解得T ≈4 h ，选项B 正确．年12月11日，新一代静止轨道定量遥感气象卫星“风云四号〞在西昌卫星发射中心成功发射．假设该卫星绕地飞行的三条轨道如下图，其中轨道1是近地圆形轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道，它们相切于 A点．卫星在轨道1上运行时经过 A 点的速率为 v ，加速度大小为a . 以下说法正确的选项是(假设卫星的质量不变)( )A ．卫星在轨道2上经过A 点时的速率大于vB ．卫星在轨道2上经过A 点时的加速度大于aC ．卫星在轨道2上运行的周期大于在轨道3上运行的周期D ．卫星在轨道2上具有的机械能大于在轨道3上具有的机械能解析：选A.卫星在轨道1上运行经过 A 点时，只有速度增大，才能由轨道1变轨到轨道2，故卫星在轨道2上经过 A 点时的速率大于 v ，选项 A 正确；在同一点，卫星所受的万有引力大小相等，故卫星在轨道2上经过 A 点时的加速度仍等于a ，选项 B 错误；根据开普勒第三定律，可知卫星在轨道2上运行的周期小于在轨道3上运行的周期，选项 C 错误；卫星在轨道2上运行经过 A 点时，只有速度增大，才能由轨道2变轨到轨道3，故卫星在轨道3上具有的机械能大于在轨道2上具有的机械能，选项 D 错误．10．由三颗星体构成的系统，叫做三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都一样的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做一样周期的圆周运动．假设三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，那么以下说法正确的选项是( ) A ．三个星体做圆周运动的半径均为a B ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a3GmC ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma2解析：选B.质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r ＝33a ，应选项A 错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力提供向心力，其大小F ＝3·Gm 2a 2，那么3Gm 2a 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πaa 3Gm ，应选项B 正确；由线速度v ＝2πrT得v ＝Gm a ，应选项C 错误；向心加速度a ＝F m ＝3Gma2，应选项D 错误． 二、多项选择题11.(2021·高考天津卷)2021年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号〞发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并地球的半径和地球外表处的重力加速度．假设将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( ) A ．密度 B ．向心力的大小 C ．离地高度 D ．线速度的大小解析：选CD.卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，那么有G Mm 〔R ＋h 〕2＝m (2πT)2(R ＋h )，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度。
专题04 曲线运动 万有引力与航天(讲)-2020年高考物理二轮精品复习(原卷版)
专题04 曲线运动万有引力与航天1.[2019·全国卷Ⅲ，15]金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定()A．a金>a地>a火B．a火>a地>a金C．v地>v火>v金D．v火>v地>v金2.[2019·全国卷Ⅰ，21]在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a - x关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则()A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍3．[2019·江苏卷，4]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则()A．v1>v2，v1＝GMr B．v1>v2，v1>GMrC．v1<v2，v1＝GMr D．v1<v2，v1>GMr4．[2019·北京卷，18]2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A．入轨后可以位于北京正上方B．入轨后的速度大于第一宇宙速度C．发射速度大于第二宇宙速度D．若发射到近地圆轨道所需能量较少一、考向分析2020年高考必备2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷考点一运动的合成与分解抛体运动15 17 17 19考点二圆周运动考点三万有引力与航天19 14 20 16 15 21 14 15二、考向讲解考向一运动的合成与分解抛体运动一、小船渡河问题的分析思路(1)分析渡河情景“船对地的速度v”是船实际运动的速度，为合运动.“水速v水”是水流对地的速度；“船在静水中的速度v船”(常简称船速)是船因自身动力产生的速度，v船的方向表现为“船头指向”，此二者为分运动.(2)正确选用公式明确研究的物理量是位移x或速度v；画出合成分解的平行四边形矢量图形.正确选用公式，并及时应用其等时性、等效性.(3)应用几何关系在“速度三角形”或“位移三角形”中，应用三角函数、勾股定理、相似三角形等，写出必要的几何关系式.二、分析平抛运动的思路(1)根据题意画出清晰的运动情景轨迹图——“抛物线”.(2)确定可能的“临界点”，弄清楚已知量与待求量.(3)依据题意，正确选用公式.如位移特点突出，则选用x=v0t、y=gt2、s=、tan α=.如速度特点突出，则选用v x=v0、v y=gt、v=、tan β=.如能量特点突出，则选用mgy=mv2-.必要时，要综合使用各种公式.灵活应用两个推论：tan β=2tan α，末速度的反向延长线过水平位移的中点.(4)结合题意与运动轨迹图，充分应用几何关系.三、多物体平抛问题的四点注意(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终等于抛出点的高度差，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处.考向二圆周运动一、水平面内的匀速圆周运动圆周运动的分析思路(1)选取研究对象，画出符合题意的圆周运动轨迹，确定圆心、半径.(2)应用“极限分析法”或“假设法”分析可能的临界点及特点，如最大静摩擦力、弹力临界等.(3)就圆周运动的某一位置，分析受力情况，由力的分解或合成得出向心力的“力表达式”，并对应恰当的“运动表达式”，列出牛顿第二定律方程.(4)圆周运动轨迹一般涉及几何关系，如三角函数、勾股定理、相似三角形等.(5)由于圆周运动的周期性，会使一些习题有多解现象.二、斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律不同.通常是将重力分解，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，垂直斜面方向的分力与支持力平衡，沿斜面方向的重力为mgsin θ.然后在斜面内应用圆周运动的规律分析求解.考向三万有引力与航天一、重力与万有引力的关系(1)重力在赤道处有最小值，二者方向相同，均指向地心.有G-mg=mRω2=mR.因向心力很小，重力与万有引力大小相近.(2)重力随纬度升高而增大，方向也不断变化.为竖直方向(偏离地心).(3)重力在两极时有最大值，有G=mg，方向与万有引力相同，均指向地心.(4)对地面以上高空处的物体，认为万有引力与重力相等，有G=mg'(g'为高空处的重力加速度).(5)其他星球上的物体，可参考地球的情况相应分析.二、平抛运动、圆周运动规律与万有引力定律的综合应用(1)进行黄金代换“GM=gR2”后，天体绕行规律为v=、ω=、T=2π、a=g.再通过其中的“g”，进一步综合中心天体表面的上抛、平抛等运动规律.(2)天体绕行是匀速圆周运动，可综合匀速圆周运动规律，如v==2πrf、ω==2πf、v=rω、a=rω2==r等.(3)地表物体不是绕行天体，不能应用v=、ω=、T=2π、a=.地表物体与同步卫星有相同的ω、T(二者相对静止).三、比较绕行多轨道问题的方法(1)确定相比轨道，注意题意中可能的“隐蔽”绕行轨道(如同步轨道、地表轨道等)，分清是否为同一中心天体.(2)一般先写出待求量的解析式，再由解析式做准确比较.(3)圆周运动能引起角度、长度的变化，会表现出一定的几何关系.此时要结合圆的几何图形特点，应用三角函数、相似形、勾股定理等列出必需的几何关系式，协助求解.四、椭圆双切轨道的特点如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆周轨道Ⅰ、Ⅲ相切于A、B点，卫星通过A、B点相继在三个轨道上运行，叫做椭圆双切轨道.(1)速度有v1>v2>v3>v4分析：在椭圆Ⅱ上的切点A处有v1>v2.圆周Ⅰ和圆周Ⅲ比较有v2>v3.在椭圆Ⅱ上的切点B处有v3>v4.(2)沿椭圆Ⅱ由A至B，加速度逐渐变小.(3)能量特点变轨类型引力做功Ek Ep E机圆周Ⅰ不做功大小小圆周Ⅲ不做功小大大椭圆ⅡA→B负减小增大中B→A正增大减小(4)瞬时变轨特点在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后瞬时喷气、推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加. 在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后瞬时喷气、推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加. 反之也有相应的规律.(5)周期有TⅠ<TⅡ<TⅢ分析：圆周Ⅰ、Ⅲ有TⅠ=2π<TⅢ=2π.由几何关系知椭圆半长轴为，由开普勒第三定律知椭圆轨道Ⅱ有TⅡ=2π，计算知TⅡ介于TⅢ、TⅠ之间.五、双星运动的规律两颗质量分别为m1、m2(m1>m2)的天体，只在彼此间万有引力的作用下，绕连线上的某一点O做匀速圆周运动，形成双星现象.(1)运动特点两天体同向转动，且角速度ω、周期T相等.圆周半径有L=r1+r2.(2)运动规律对天体m1有G=m1r1ω2=对天体m2有G=m2r2ω2=涉及线速度v时，可应用圆周运动规律v1=r1ω、v2=r2ω.题型一平抛运动例1.如图，战机在斜坡上方进行投弹演练．战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a点，第二颗落在b点．斜坡上c、d两点与a、b共线，且ab＝bc＝cd，不计空气阻力．第三颗炸弹将落在()A．b、c之间B．c点C．c、d之间D．d点【变式探究】甲、乙两位同学在同一地点，从相同的高度水平射箭，箭落地时，插入泥土中的形状如图所示，若空气阻力不计，则()A．甲同学射出的箭的运动时间大于乙同学射出的箭的运动时间B．甲同学射出的箭的初速度小于乙同学射出的箭的初速度C．甲同学所射出的箭的落地点比乙同学的远D．欲使两位同学射出的箭一样远，应降低甲同学射箭出射点高度【举一反三】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则()A．a和b的飞行时间相同B．b的飞行时间比c的短C．a的水平初速度比b的小D．c的水平初速度比a的大题型二圆周运动例2．(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车()A．运动路程为600 m B．加速度为零C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km【举一反三】如图所示为一直径d＝ 3 m、高h＝32m的圆桶，圆桶内壁和底面光滑，一长为L＝1 m的绳子上端固定在上底面圆心O处，下端连着质量为m的小球，当把绳子拉直时，绳子与竖直方向的夹角θ＝30°，此时小球静止于下底面上．现让圆桶和小球以一定角速度ω绕中心轴旋转，小球与圆桶保持相对静止，已知圆桶底面、内壁对小球的弹力分别为F N1和F N2，绳子拉力为F T，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．当ω＝gL时，F N1＝0，F N2＝0，F T>mgB．当ω＝3g2L时，F N1≠0，F N2＝0，F T>mgC．当ω＝2gL时，F N1＝0，F N2≠0，F T＝mgD．当ω＝4gL时，F N1＝0，F N2≠0，F T>mg【变式探究】如图所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演．一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳于做平抛运动，落到安全网上．已知P点到O点的距离为l(0<l<H)，空气阻力不计，小孩运动过程中绳子始终处于伸直状态．下列说法正确的是()A ．l 越大，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大B ．l 越小，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大C ．当l ＝H2时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大D ．当l ＝22H 时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大 高考考向3 万有引力与航天例3．双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且T T 0＝k(0＜k ＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C 的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )A ．2π L 2Gm ，1＋k 24k m B ．2π L 32Gm ，1＋k 24k m C ．2π2Gm L 3，1＋k 24km D ．2π L 32Gm ，1－k 24km 【举一反】“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R 1、R 2；地球表面重力加速度为g.则( )A ．月球表面的重力加速度为G 1gG 2B ．月球与地球的质量之比为G 2R 22G 1R 21C ．月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率之比为 G 1R 1G 2R 2D ．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2πG 1R 2G 2g【变式探究】对银河系内各星球，若贴近其表面运行的卫星的周期用T 表示，该星球的平均密度用ρ表示，1T2与ρ的关系图象如图所示，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，则该图象的斜率约为( )A ．7×10－10N·m 2/kg 2B ．7×10－11N·m 2/kg 2 C ．7×10－12N·m 2/kg 2D．7×10－13 N·m2/kg2。
2024届高考物理一轮复习 万有引力与航天专题分析(真题)
2024届高考物理一轮复习 万有引力与航天专题分析（真题）一、单选题1．（2023·湖北·统考高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。
火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3:2，如图所示。
根据以上信息可以得出（ ） A ．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为278: B ．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C ．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为94: D ．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前2．（2023·山西·统考高考真题）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg 的物资进入距离地面约400km （小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。
对接后，这批物资（ ） A ．质量比静止在地面上时小 B ．所受合力比静止在地面上时小C ．所受地球引力比静止在地面上时大D ．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大3．（2023·浙江·统考高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1:2:4。
木卫三周期为T ，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r 的n 倍。
月球绕地球公转周期为0T ，则（ ） A ．木卫一轨道半径为16nr B ．木卫二轨道半径为2nrC ．周期T 与T 0之比为32nD ．木星质量与地球质量之比为2302T n T4．（2023·山东·统考高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足2MmF r ∝。
已知地月之间的距离r 大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g ，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ） A ．30πr gB ．30πg rC ．120πr gD ．120πg r5．（2023·北京·统考高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。
高考物理二轮复习专题一力与运动第4讲万有引力与航天课件
RRQP3＝ 1463＝81，C 正确.
12/8/2021
考情分析 [命题点分析] 行星运动中的开普勒定律 [思路方法] 由题意知卫星 P 与 Q 的轨道半径，再根据开普勒定律 求解问题
12/8/2021
天体运动规律及万有引力定律的应用是高考每年必考内 容，考查方向很广泛，从天体质量或密度的计算、行星运 命题规 动规律的分析，到同步卫星、双星、宇宙速度的求解、变 律研究 轨问题等均在考查范围之内. 及预测 在 2019 年的高考备考中要注重复习解决天体运动的两条 思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的 前沿知识点，像 2018 年涉及的引力波就属于这类结合
4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24
日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目
前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约
为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的
东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上．设东
解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做 圆周运动的向心力，根据 GMRm2 ＝m4πT22R，M＝ρ·43πR3，得 ρ＝G3πT2， 代入数据解得 ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确.
12/8/2021
考情分析 [命题点分析] 天体密度的计算 [思路方法] 由万有引力提供向心力和密度公式可联立
体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算
出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积
B．质量之和
C.速率之和
D．各自的自转角速度
12/8/2021
真题再现
解析：选 BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转 动 12 圈，则两中子星的周期相等，且均为 T＝112 s，两中子星 的角速度均为 ω＝2Tπ，两中子星构成了双星模型，假设两中子 星的质量分别为 m1，m2，轨道半径分别为 r1、r2，速率分别为
2024高考物理二轮专题复习与测试专题强化练五万有引力与航天
专题强化练(五) 万有引力与航天1.2024年2月10日，我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测卫星顺当实施近火制动，完成火星捕获，正式踏入环绕火星轨道．假设火星可视为半径为R 的匀称球体，探测卫星沿椭圆轨道绕火星运动，如图所示．椭圆轨道的“近火点”P 离火星表面的距离为2R ，“远火点”Q 离火星表面的距离为4R ，万有引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为T ，火星的质量为16π2R 3GT2， B ．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为T ，火星的第一宇宙速度为16πR TC ．“天问一号”在“近火点”P 和“远火点”Q 的加速度大小之比为25∶7D ．“天问一号”在“近火点”P 和“远火点”Q 的速率之比为2∶1解析：设绕火星表面旁边运行的卫星周期为T 1，依据开普勒第三定律有（8R 2）3T 2＝R 3T 21，解得T 1＝T8.设火星质量为M ，依据牛顿其次定律有G Mm R 2＝m 4π2T 21R ，解得M ＝256π2R3GT 2，故A 错误；火星的第一宇宙速度为v 1＝2πR T 1＝16πR T ，故B 正确；依据牛顿其次定律有G Mmr2＝ma ，所以“天问一号”在“近火点”P 和“远火点”Q 的加速度大小之比为a P a Q ＝（5R ）2（3R ）2＝259，故C 错误；对于“天问一号”在“近火点”P 和“远火点”Q 旁边很小一段时间Δt 内的运动，依据开普勒其次定律有v P ·3R ·Δt ＝v Q ·5R ·Δt ，所以“天问一号”在“近火点”P 和“远火点”Q 的速率之比为v P v Q ＝53，故D 错误．故选B.答案：B2．两颗质量相同的人造卫星绕地球逆时针运动．如图所示，卫星1轨道为圆、卫星2轨道为椭圆，A 、B 两点为椭圆轨道长轴两端，C 点为两轨道交点．已知圆的半径与椭圆的半长轴相等，下列说法正确的是( )A ．卫星2的周期小于卫星1的周期B ．卫星1在C 点的动能小于卫星2在A 点的动能C ．从A 点到B 点和从B 点到A 点的过程地球对卫星2做的功相同D ．相等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积等于卫星2与地心连线扫过的面积解析：依据开普勒第三定律有a 3T2＝k ，由题知圆的半径与椭圆的半长轴相等，则卫星2的周期等于卫星1的周期，A 错误；以地球球心为圆心，并过A 点画出圆轨道3，如图所示：由图可知卫星从轨道3到卫星2的椭圆轨道要在A 点点火加速，做离心运动，则卫星在轨道3的速度小于卫星2在椭圆轨道A 点的速度，又由图可知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有G Mm r 2＝m v 2r ，可得v ＝GMr.可知轨道1上卫星的速度小于轨道3上卫星的速度，综合可知卫星在轨道1上经过C 点的速度小于卫星2在A 点的速度，由于卫星1、2质量相等，则卫星1在C 点的动能小于卫星2在A 点的动能，B 正确；依据开普勒其次定律可知，卫星2在A 点的速度大于在B 点的速度，依据动能定理可知卫星2从A 点到B 点的过程中地球对卫星2的万有引力做负功，从B 点到A 点的过程中地球对卫星2的万有引力做正功，C 错误；由开普勒其次定律可知，每颗卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，但卫星1与卫星2不在同一轨道，则等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积不肯定等于卫星2与地心连线扫过的面积，D 错误．故选B. 答案：B3．在2024年10月10号举办的中国北斗应用大会上，中国工程院院士透露将对我国自主研制的全球定位和卫星导航系统——北斗系统进行升级换代，方向之一是考虑引入低轨卫星增加系统。
江苏专版高考物理二轮复习第1部分专题突破篇专题4力与曲线运动万有引力与航天讲练
专题四 力与曲线运动（二）——万有引力与航天/江苏卷序年考情导向、考点考趙9 fi年2015 年3014 年2D15 年2D12 年L 万有引力宅—江苏音芳T ：—；工苏髙苕兀 —孝点考坎统计；rr 1'1―Du^lr DlJJt4A — ■品肖二I 1L 江苏希的命雄方式为歳择息2縣紙芯岂心匸化帝竜）＜ 计算*人塑卫車前运冇现酒袴 艳过、卫星药交时发吏吐何題.匀发射江苏高菁T—苏高寿T—江苏高老丁］T 3）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系 内，行星"51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕51 peg b ”绕其中心恒星 1做匀速圆周运动，周期约为 4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 .该中心恒星与太阳的质量比约为（）D. 10关键语句信息解读“51 peg b ”绕中心恒星做匀速中心恒星对"51 peg b ”的万有引力提供向心力 圆周运动，周期约为 4天451 peg b 的周期为地球公转周期的 T7Z365B则M =匕3.号2=丄3%喪2〜1选项B 正确］ 则M 「2 T 1 20 4 5选项B 正确.］（2014 •全国卷HT 18）假设地球可视为质量均匀分布的球体. 已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g o ,在赤道的大小为g ；地球自转的周期为 T ,引力常量为 G 地球的 密度为（）品真题 髙考怎広考？A.— 10B. 1C. 5 4n 2（2015 •江苏高考3n C.GT【解题关键】 解此题抓住两条信息:选项A C D 错误.]1•高考考查特点(1) 本考点高考命题角度为万有引力定律的理解，万有引力与牛顿运动定律的应用. (2) 正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量 (密度)的估算方法，熟悉一些天体的运行常识是前提.2•解题的常见误区及提醒⑴ 不能正确区分万有引力和万有引力定律.万有引力普遍存在，万有引力定律的应用 有条件.(2)对公式F = G m m ，应用时应明确“ r ”的意义是距离；m 和m 间的作用力是一对作用 力与反作用力.(3)天体密度估算时，易混淆天体半径和轨道半径.•考向1万有引力与重力1. 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛 2 ： •. 7.已知该行星质量约为地球的 7倍，地球的半径为R 由此可知，该行星的半径约为 (【导学号：25702017】1 A. 尹 C. 2RA . 3^GTg oB 3n g oGTg o - gD.3 n g o(1) 地表重力加速度两极为 g o ,赤道处为g .地球的自转周期为 T.[根据万有引力与重力的关系解题•物体在地球的两极时, 2 n 2Mm 、时，口叶m 〒 R = G 巨，以上两式联立解得地球的密度2n 3 n g oP = GTlk.故选项B 正确，一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 7B .?R 物体在赤道上mg =D.C ［在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、 体，它们经历的时间之比即为在水平方向运动的距离之比，所以7Mm Gpr = mg①/②得r = 2R 因此A B D 错，C 对.］•考向2天体质量（密度）的估算2. （高考改编）［例2］（2014 •全国卷HT 18）中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度增大到某一值 宀o 时，赤道上的某质量为 m 的物体刚好要脱离地面. 则地球的质量是多大?【解析】 设地球质量为M 地球两极有:GMm -RT = mg在赤道对质量为m 的物体刚要脱离时有:由①②得：M = go/ Gw 0. 【答案】 g 0/ Gw 43. （多选）（2016 •郑州三校三联）一颗人造卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，经过t 时间，卫星运行的路程为s ，运动半径转过的角度为e ，引力常量为 G 则（ ）A. 地球的半径为D.地球表面的重力加速度为 落体运动，重力加速度分别为g 和g 2,因此一2 2g i 2h /t i t 2 7 g 2= 2h /t1= t?=4.以相同的速率平抛一物-==吕.竖直方向上做自由设行星和地球的质量分别为7M 和M 行星的半径为r ,由牛顿第二定律得mgB.地球的质量为2s G etC.地球的密度为3 e 224n GtAC ［根据题意可知，地球的半径R =e, A 项正确；卫星的角速度 w e e3sM = G et ，B项错误；地球的密度P^3^?，C 项正确；地球表面的重力加速度等于卫星t，2mF W的向心加速度，即 a = R ® 2 =岁,D 项错误.]「一I 练后反思 ------天体质量（密度）的估算方法1.利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径RM M 3n r 3 p = V =厂=GR 5 ； 3nR（3）若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动， 可认为其轨道半径r 等于天体半径R3 n则天体密度p = 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T ,就可估算出中心天体的密度.（ ------------------------------------------------- 1考点2|天体的运行与发射 难度：中档 题型：选择题 五年3考目品真题——高考怎么考？ ___咧（多选）（2012 •江苏高考 T 8）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道， 我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图1所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上， 一飞行器处于该点， 在几乎不消耗燃料的情况下与地球同 步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）”…一神林期日点:；太 R1O !:v \/ : * 1 d 』7. -■■ J图1A. 线速度大于地球的线速度B. 向心加速度大于地球的向心加速度C. 向心力仅由太阳的引力提供D. 向心力仅由地球的引力提供M gR ，天体密度G3g n 2 •通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .⑴ 由万有引力等于向心力，即Mm 4 n 2 Gpr = rny^r , 得出中心天体质量 M=4n 2r 3G T （2）若已知天体半径R 则天体的平均密度由于mg 故天体质量【解题关键】 解此题注意以下两点:（1） “嫦娥二号”与地球同步绕太阳做圆周运动，二者角速度相同. （2） “嫦娥二号”同时受太阳和地球的万有引力作用. AB [飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以3飞=3地，由圆周运动线速度和角速度的关系v = r 3得v 飞〉v 地，选项A 正确；由公式a = r 3 2知，a 飞〉a 地，选项B 正确； 飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故CD 选项错.]卜例（多选）（2016 •江苏高考 T 7）如图2所示，两质量相等的卫星 A B 绕地球做匀 速圆周运动，用 R T 、云、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时关键语句信息解读两质量相等的卫星 A 、B 绕地球做匀速圆 周运动 两卫星的运动遵循开普勒行星运动定律 如图所示两卫星的轨道半径大小关系为：AD [已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动， > 根据〒=知，A B 选项 根据开普勒第二定律知， 同一卫星绕地球做圆周运动， 与地心连线在单位时间内扫过的面积 相等，对于不同卫星， S A 不一定等于S B ,选项C 错误.] 咧（多选）（2013 •全国卷IT 20）2012年6月18日神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接.对接轨道 所处的空间存在极其稀薄的大气.下列说法正确的是（ ）A 为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B. 如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加 C. 如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D. 航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【解题关键】 解此题要注意三点：间内扫过的面积. A. T A > T B C. S A = 9D 正确;运动速率由R A > R,得V A V V B ,则E<A < E kB ,选项B 错误;F 列关系式正确的有(1) 正确理解宇宙速度.(2) 阻力做功，轨道如何变化.(3) 超重、失重的实质.BC ［本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手.第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇2 mv 宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n=〒减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误.］1•高考考查特点(1) 高考的命题角度为人造卫星的运行参数，卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化.(2) 解此类题的关键是掌握卫星的运动模型，离心(向心)运动的原因及万有引力做功的特点.2•解题常见误区及提醒(1) 对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解.(2) 对公式v = G'不理解，误认为阻力做功速度减小半径增大.(3) 误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用.(4) 分析线速度(v)、角速度(3 )、周期(T)与半径R的关系时，不能正确控制变量.I ---------------------------- IIgl练考向——述考堀什丛？•考向1天体的运行参数4. (2014 •江苏高考T2)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为()A.3.5 km/sB. 5.0 km/sC.17.7 km/sD. 35.2 km/sA［根据万有引力提供向心力解题. Mm v2由甲=ny得，对于地球表面附近的航天器有：2 2字，对于火星表面附近的航天器有：G^=罟由题意知M =-M— 2且W =7.9 km/s ，联立以上各式得： V 2~ 3.5 km/s ，选项 A 正确.]5. （2016 •东北三省六校联考）如图3所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球 的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1h ，则下列说法正确的是（ ）【导学号：25702018】错.该卫星从北纬 60°至U 南纬60°,转过120°用时1 h ，则其转过360°用时3 h ，即周 期为3 h ，而同步卫星的周期为 24 h ，即该卫星与同步卫星的周期之比为1 : 8.根据 型巴4nr 3 GM—r ，得：2,则可得半径之比为 1 : 4, C 正确.再由v =T T 4 n星的运行速度之比为 2 : 1, B 错.在卫星绕地球做圆周运动情况下, 少机械能，若二者质量相等则该卫星的机械能小于同步卫星的机械能,•考向2 赤道物体与地球卫星的比较 6.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日” .1970 年4月24日我 国首次成功发射的人造卫星东方红一号， 目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为 2 060 km ; 1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在 赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为 ◎，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为&，则a 1、比、a s 的大小关A. B. C.D. 该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/s该卫星与同步卫星的运行速度之比为 该卫星与同步卫星的运行半径之比为1 ：2 1 ：4该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 [近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度7.9 km/s.根据 年巴nvr ，得半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运动速度一定小于从高轨道到低轨道要减G ＞可得该卫星与同步卫系为（）D. a i >a 2>a 3D ［卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有Mm GMG2= ma i ，即a i =2,对于东方红二号，有R 十hi R 十h i―R 十h —2，由于h 2>h i ，故a i >a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红 二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径， 根据a = w 2r ,故a 2>a 3,所以a i >a 2>a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误.］•考向3 卫星变轨问题 7.（高考改编）［例5］（20i3 •全国卷IT 20）中，若“神舟九号”与“天宫一号”对接前 的轨道如图4所示，则以下说法正确的是 （ ）图4A. 在远地点P 处，“神舟九号”的加速度与“天宫一号”的加速度相等B. 根据题中条件可以计算出地球的质量C. 根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小D. 要实现“神舟九号”与“天宫一号”在远地点 P 处对接，“神舟九号”需在靠近 P处点火减速期、轨道半径及引力常量未知，不能计算出地球的质量,知，故不能算出万有引力， C 错误；“神九”在椭圆轨道上运动， P 为其远地点，若在 P 点前减速，则沿向上的速度分量减少，则“神九”将不能到达P 点，D 错误.］& （2016 •湖南十校共同体三联 ）如图5所示是某卫星绕地飞行的三条轨道，其中轨道 1是近地圆形轨道，轨道 2和3是变轨后的椭圆轨道，它们相切于 A 点.卫星在轨道1上运行时经过A 点的速率为v ，加速度大小为a .下列说法正确的是（）A. a 2>a i >a 3B. a 3>a 2>a iC. a 3>a i >a 2MmR+ h 22 = ma 2，即 a ?=A ［在远地点P 处，轨道半径相同，由GMm GM =ma 知 a =产故两者加速度相等,A 正确;由“天宫一号”做圆周运动，万有引力提供向心力可知GMm 因“天宫一号”的周B 错误；由于“天宫一号”质量未4n 22 = r图5A.卫星在轨道2上经过A点时的速率大于B. 卫星在轨道2上经过A点时的加速度大于aC. 卫星在轨道2上运行的周期大于在轨道3上运行的周期D.卫星在轨道2上具有的机械能大于在轨道3上具有的机械能A [卫星在轨道1上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道1变轨到轨道2，故卫星在轨道2上经过A点时的速率大于V,选项A正确；在同一点，卫星所受的万有引力大小相等，故卫星在轨道2上经过A点时的加速度仍等于a，3选项B错误；根据开普勒第三定律，对于同一中心天体，有旱=k，可知卫星在轨道2上运行的周期小于在轨道3上运行的周期，选项C错误；卫星在轨道2上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道2变轨到轨道3,故卫星在轨道3上具有的机械能大于在轨道2上具有的机械能，选项D错误.]1 •人造卫星运动规律分析“ 1、2、3”一十中亡——万有引力握供豆星慢即周耳時的向卍力"叭如‘丁"只覽一个就叢生变ft*其他覧Sr=rt<^!n=7.Q km*为第一寧宙速鹿2.分析卫星变轨应注意的3个问题(1) 卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定的新轨一/G M道上的运行速度变化由V =\]—判断.(2) 卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大.(3) 卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度.( ---------------------------- 1热点模型解读|人造卫星运行轨道模型考题模型展示模型解读2016 •全国 乙卷・T 17单星环绕模型(1) 卫星在万有引力作用下绕同一个中心天 体做匀速圆周运动(2) 轨道半径和距离相等2015 -安徽 咼考T 24多星环绕模型(1) 两颗或多颗卫星在他们的相互之间的万 有引力作用下绕某一共同圆心做匀速圆周运 动 (2) 轨道半径和距离不同2016 •北京 咼考 T 18卫星变轨模型(1) 由于速度的变化造成 F 引工F 向而出现卫星离心或向心运动(2) 同一点不同轨道速度不同，但加速度相同［典例］(2016 •山西四校联考)2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控 中心紧急调动海洋、 风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持. 特 别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术•如图 6为“高分一号”与北斗导航系统中的两颗卫星在空中某一面内运动的示意图. 中两颗卫星“G 1”和“G 3”以及“高分一号”均可认为绕地心 和“G 3”的轨道半径均为r ,某时刻两颗卫星分别位于轨道上的 g ,地球半径为 R,不计卫星A. 卫星“G 1 ”和“G 3”的加速度大小相等，均为北斗导航系统O 做匀速圆周运动.卫星“G 1” A B 两位置，“高分一号?g在C 位置.若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为2 n rB. 卫星“G 1 ”由位置A运动到位置B所需的时间为3RC. 如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G 3 ”所在的轨道，必须对其减速D. “高分一号”是低轨道卫星，其所在高度处有稀薄气体，运行一段时间后，高度会降低，速度增大，机械能会减小2R= mg译2旦mg，得g'= pg, A错；卫星“G 1”由位置A运动【解题指导】由G到位置B所需时间为t = T= IL，，r，B错；若想使“高分一号”到达卫星“G 3”所在轨道，6 3R 讨g必须对其加速，C错；稀薄气体对“高分一号”有阻力，做负功，所以“高分一号”机械能减小，在引力作用下，高度降低，速度增大，D正确.【答案】D[拓展应用]（多选）如图7是“嫦娥三号”飞行轨道示意图. 假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道I上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q高度为15 km,远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道n上运动，下列说法正确的是（）图7A. “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道I上运动时速度大小可能变化B. “嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道I上运动的周期一定大于在椭圆轨道n上运动的周期C. “嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D. “嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率BC [“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上的运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒第三定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道I上运动的周期一定大于在椭圆轨道n上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；根据开普勒第二定律“嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误.]。
2020届高考物理二轮复习专题一第四讲万有引力定律与航天课件
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月，我国嫦娥四号探测 器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程 中，用 h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的 地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是( )
[题眼点拨] “h 表示探测器与地球表面的距离”说 明奔月过程距离 h 逐渐增大，力 F 逐渐减小(非均匀)．
答案：C
5．(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星 绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为 远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运 动的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用， 则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中( )
A．从 P 到 M 所用的时间等于T40 B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 已 火．
知它们的轨道半径 R 金＜R 地＜R 火，由此可以判定金星、地
球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有( )
A．a 金＞a 地＞a 火
B．a 火＞a 地＞a 金
C．v 地＞v 火＞v 金
D．v 火＞v 地＞v 金
[题眼点拨] ①“可视为匀速圆周运动”说明万有引力
A. 2∶1 B. 4∶1 C. 8∶1 D. 16∶1 [题眼点拨] ①“为地球半径的 16 倍”“为地球半径 的 4 倍”说明两颗卫星的轨道半径关系已知；②“发射地 球卫星 P”和“发射地球卫星 Q”说明两颗卫星的中心天 体均为地球，可用开普勒第三定律．
解析：设地球半径为 R，根据题述，地球卫星 P 的 轨道半径为 RP＝16R，地球卫星 Q 的轨道半径为 RQ＝4R， 根据开普勒定律，TTQ22P＝RR3Q3P＝64，所以 P 与 Q 的周期之比 为 TP∶TQ＝8∶1，选项 C 正确．
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命题点二 研究天体运动的两个基本关系式
1．核心关系式．
万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.
注意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离．
2．替换关系式．
万有引力与重力的关系mg＝GMmR2.即GM＝gR2.
注意：当GM未知时，常用gR2替换．
3．利用天体表面的重力加速度计算天体质量．
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
(1)由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G.
(2)天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.
4．利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量．
已知卫星运动周期T和轨道半径r
(1)由GMmr2＝m4π2rT2，得中心天体的质量M＝4π2r3GT2.
(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.
(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2.
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动．由
于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公
转周期相同．已知Q的质量为M，引力常量为G.关于P的公转，下列说法正确的是( )
A．周期为2t1－t0
B．半径为 3GM（t1－t0）24π2
C．角速度的大小为πt1－t0
D．加速度的大小为 32πGMt1－t0
解析：根据图(b)可知，Q的亮度变化的周期为：T＝t1－t0，则角速度的大小为：ω＝2πT＝
2π
t1－t0.故A、C项错误；行星P受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：GMmr
2
＝
m4π2T2r，解得：r＝3GM（t1－t0）24π2，故B项正确；行星P
受到的万有引力提供向心力，根
据牛顿第二定律可得：GMmr2＝ma解得a＝2πt1－t032πGM（t1－t0），故D项错误；故选B.
答案：B
牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与
月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝Mmr2.已知地月之间的距离r大约是地球半径的60
倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30πrg B．30πgr
C．120πrg D．120πgr
解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝GM地mR2，月球绕地球
公转有GM地m月r2＝m月4π2T2r，r＝60R，联立有T＝120π rg，故选C.
答案：C
1.2021年5月15日7时18分，我国发射的“祝融号”火星车从火星上发
回遥测信号确认，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南
部预选着陆区．火星探测器“天问一号”着陆前通过测试得到，围绕火星
做匀速圆周运动的小天体的速度的平方v2与小天体到火星表面的距离x的关系如图所示，
图线纵坐标截距为a.若将火星看作质量分布均匀、半径为R的球体，不考虑火星自转，则
到火星表面距离为R、做匀速圆周运动的卫星的速度大小为( )
A.2a2 B.a
C.2a D.2a4
解析：根据GMm（R＋x）2＝mv2R＋x，可得当x＝0时则v2＝a，即GMR＝a，到火星表面距离为R、
做匀速圆周运动的卫星GMm（2R）2＝mv22R，解得v＝2a2.故选A.
答案：A
2．(2023·北京朝阳一模)科幻电影曾出现太空梯的场景．如图甲所示，设想在赤道上建造
一个始终与地表垂直的太空梯，航天员可通过梯仓P缓慢地到达太空中某一位置，设该位置
距地心的距离为r，地球半径为R0.图乙中曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小随
r
变化的图线；直线B为航天员的向心加速度大小随r变化的图线．下列说法正确的是( )
A．航天员在R处的速度等于地球的第一宇宙速度
B．乙图中的r0小于地球同步卫星的轨道半径
C．航天员在r0位置时处于完全失重状态
D．在小于r0的范围内，航天员越接近r0的位置对梯仓的压力越大
解析：地球的第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度，则有
GMmR2＝mv
2
1
R
.设航天员在R处的速度为v′1，在R处曲线A对应的加速度为a1A，直线B对应的
向心加速度为a1B，则有a1A＝v21R>a1B＝v′21R.可知航天员在R处的速度小于地球的第一宇宙速
度，故A项错误；设地球自转的周期为T0，同步卫星的轨道半径为r同，根据万有引力提供
向心力可得GMm′r2同＝m′4π2T20r同，由图可知r0位置直线B对应的向心加速度为aB＝4π2T20r0，对
于曲线A，有GMmr20＝maA，又aA＝aB，可得GMmr20＝m4π2T20r0，联立可得r同＝r0，可知航天员在
r
0
位置时，只受地球万有引力作用，处于完全失重状态，故B项错误，C项正确；在小于
r
0
的范围内，根据图中曲线A与直线B可知，宇航员受到的万有引力大于所需的向心力；对于
宇航员，根据牛顿
第二定律可得GMmr2－N＝mω2r，解得N＝GMmr2－mω2r，可知航天员越接近r0的位置对梯仓的压
力越小，故D项错误．故选C.
答案：C