高中数学应用题

江苏新高考

“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年来

的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探

索应是复习的关键.

应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2013年应用考题是解不等式模型，2014年应用考题可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式

模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，2015、2016年应用考题都先构造函数，再利用导数求解.2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角

形的知识求解.

[常考题型突破]

函数模型的构建及求解

[例1](2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥

P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

[方法归纳]

解函数应用题的四步骤

[变式训练]

1．(2017·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用

x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－

3

x＋1

，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他

成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．

(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

2．(2017·南通三模)如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用

为f(t)万元，经测算f(t)＝5，0

1

3

，8－

1

t

，

1

3

(1)用t表示线段EF的长；

(2)求修建该参观线路的最低费用．

基本不等式的实际应用

[例2](2017·南京考前模拟)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售

Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝4x＋1

x＋1

(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为 4.5万元，

每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.

(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

[方法归纳]

利用基本不等式求解实际应用题的注意点

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数

学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求

解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解．

[变式训练]

(2017·苏州期末)某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段

BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝

8

4＋x2

(x∈[－2，2])，曲线段AB，DE均为开口向上的抛

物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等．

(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

(2)车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M＝(该点P与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点P处的切线的斜率)其中M P的单位：米．若该景区可提供三种类型

的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

三角函数的实际应用

[例3](2017·江苏高考)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均

为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．

[方法归纳]

解三角形应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应

的数学模型，然后求解.

解三角形应用题常见的两种情况：

实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方

程组，解方程组得出所要求的解.

[变式训练]

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工

厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.

(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?

[课时达标训练]

1．(2017·苏锡常镇一模)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门

BADC(如图)，设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记

为l.

(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；

(2)当α为何值时l最小？并求l的最小值．

2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB ＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出OA的取值范围；

(2)求N－M的最大值及相应的x的值．

3．(2017·南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.

(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

4.(2017·

南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长 6 m，宽 2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．

(1)当∠EFP＝π

4

时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

5.(2017·

南京三模)在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为4003平方米．设∠BAC＝θ.

(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；

(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

6.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲

线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C

符合函数y＝x＋42

x2

(1≤x≤9)模型，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉

及长度单位均为百米．

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．