实数完备性定理的证明及其应用电子教案

实数完备性定理的证明及其应用

摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解.

关键词：完备性；区间套；连续性

Completeness of the system of real numbers and applications Abstract : Completeness of the set of real numbers is its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongnition and understanding .

Key Words: Completeness ; Interval;Continuity

引言

众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不

一定存在极限.例如，单调有界的有理数列

就不存在极限，因为它的极

限是e，是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论

有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中占据着重要位置.

1.实数完备性定理的定义

1.1确界原理设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必下确界.

1.2单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.

1.3区间套定理设[]{},n n a b 为一区间套：1. [][]11,,,1,2,.n n n n a b a b n ++?=???

2. ()lim 0n n n b a →∞

-=，则在实数系中存在唯一的一点[],,1,2,.n n a b n ξ∈=???即,1,2n n a b n ξ≤≤=???.

1.4有限覆盖定理设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖，即[],a b 中每一个点都含于H 中至少一个开区间(),αβ内，则在H 中必存在有限个开区间来覆盖[],a b .

1.5聚点定理和致密性定理（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）. （致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.

1.6柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：0,N N ε+?>?∈，只要,n m N >，恒有||n m a a ε-<，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.

2.实数完备性定理的证明

定理1（确界原理）设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必下确界.

证明我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的

数集必有下确界可类似证明.

为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数.由于S 有上界，故可找到非负整数n ，使得（1）对于任何x s ∈有1x n <+；（2）存在0a s ∈，使0a n ≥.

对半开区间[),1n n +作10等分，分点为.1,.2,,.9n n n ???，则存在0,1,2,,9???中的一个数1n ，使得（1）对于任何x s ∈有11.10

x n n <+

；（2）存在1a s ∈，使得11.a n n ≥. 再对半开区间111.,.10n n n n ??+???

?作10等分，则存在0,1,2,,9???中的一个数2n ，使得（1）对于任何x s ∈有122

1.10x n n n <+

；（2）存在2a s ∈，使212.a n n n ≥. 继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何

1,2,,k =???存在0,1,2,,9???中的一个数k n ，使得（1）对于任何x s ∈有121.10k k

x n n n n ，则可找到x 的k 为不足近似k x ，使121.10k k k x n n n n η>=???+，从而得121.10k k x n n n n >???+，与不等式（1）矛盾，于是（i ）得证.现设αη<，则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>，即12.k k n n n n α???>.根据数η的构造，存在a s '∈使k a η'>，从而有k k a ηαα'≥>≥，即得到a α'<，说明（ii ）成立.

定理2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.

证明不妨设{}n a 为有上界的递增数列，由确切原理，数列{}n a 有上确界，记{}sup n a a =，下面证明a 就是{}n a 的极限，事实上，任给0ε>，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<，又由{}n a 的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤，另外，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+，所以当n N ≥时有n a a a εε-<<+，这就证得lim n n a a →∞

=，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界.

定理3（区间套定理）设[]{},n n a b 为一区间套：1.

[][]11,,,1,2,.n n n n a b a b n ++?=??? 2. ()lim 0n n n b a →∞

-=，则在实数系中存在唯一的一点[],,1,2,.n n a b n ξ∈=???即,1,2n n a b n ξ≤≤=???

（2）证明由于1221n n a a a b b b ≤≤???≤≤???≤≤???≤≤，则知{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有,1,2,n a n ξ≤=???

（3）同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件2.有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞

== （4）且,1,2,n b n ξ≥=??? （5）联合（3）、（5）即得（2）式，最后证明满足（2）式的ξ是唯一的，设数ξ'也满足

,1,2,n n a b n ξ'≤≤=???，则由（2）式有||,1,2,n n b a n ξξ'-≤-=???，由区间套的条件2.得||lim()0n n n b a ξξ→∞

'-≤-=，故有ξξ'=. 定理4（有限覆盖定理）设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖，即[],a b 中每一个点都含于H 中至少一个开区间(),αβ内，则在H 中必存在有限个开区间来覆盖[],a b .

证明用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[],a b . 将[],a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[]11,a b ，则[][]11,,a b a b ?，且