人教版九年级数学下册：解直角三角形三角函数值讲义必考知识点

讲义主题：解直角三角形

三角函数值

一：课前纠错与课前回顾

1、作业检查与知识回顾

2、错题分析讲解

（1）

（2）

（3）

···

二、课程内容讲解与课堂练习

【题模1】：三角函数值

1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B（）

A．125 B．512 C．135 D．1312

【讲透例题】

1、答案：C

解析：设，则，，则，所以△是直角三角形，且∠．所以在Rt△ABC中，135135xxABBC．

【讲透考点】

一．锐角三角函数的定义

在RtABCV中，90C，

我们把A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即 sin=AaAc的对边斜边；

我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即 cos=AbAc的邻边斜边；

我们把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即 tan=AaAb的对边邻边．

二．锐角三角函数的计算

在直角三角形中利用三角函数的定义，结合勾股定理求解锐角三角函数值．

三、特殊角的三角函数

【相似题练习】

一：正弦

1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）

A． B． C． D．

2把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）

A．不变 B．缩小为原来的13

C．扩大为原来的3倍 D．不能确定

锐角

三角函数 30 45 60

sin 12 22 32

cos 32 22 12

tan 33 1 3

3如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A．12

B．55

C．1010 D．255

二：余弦

1在等腰ABC中，ABAC，5sin5C，请问cosB的值为多少？

2在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，则cosB的值是（）

A．45 B．35 C．34 D．43

三：正切

1如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）

A．45 B．35 C．34 D．43

2如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sinB=．点E在AC上且AE：EC=2：3．则tan∠ADE等于（）

A． B． C． D．

如图，在RtABC中，90ACB，D是AB边上的中点，BECD，垂足为点E．已知15AC，3cos5A．

（1）求线段CD的长；

（2）求sinDBE的值．

如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．

（1）求证：△ABF∽△DFE；

（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．

计算：101()(32)3+4cos45°﹣8． ﹣（﹣4）+|﹣5|+01(3)2 ﹣4tan45°

【题模2】：特殊三角函数

计算201()122cos30(3.14)2

【讲透例题】

【答案】53

【解析】原式=232232142331532

【讲透考点】

一．特殊角的三角函数

【相似题练习】

随练2.1在RtABC中，902CABBCo，，先给出下列结论中：①3sin2A；②1cos2B；③3tan3A；④tan3B，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）.

随练2.2已知是锐角，若tan(15)1o，则2cos3tan1sin=__________.

随练2.3课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24m,那么旗杆AB的高度约是( ）

A． 12m B． 83m C． 243m D． 24m

随练2.4已知是锐角，若tan(15)1，则2cos3tan1sin= ．

随练2.5在ABC中，若21cos(1tan)02AB，则C_______．

随练2.6在RtABC中，902CABBC，，先给出下列结论中：①3sin2A；②1cos2B；③3tan3A；④tan3B，其中正确的结论是______________（只需填上正确结论的序号）．

随练2.7计算下列各式：

（1）2cos60tan45sin45sin30

锐角

三角函数 30 45 60

sin 12 22 32

cos 32 22 12

tan 33 1 3

（2）2cos45tan453tan3023sin30

（3）0213tan602016812()3（）＋

（4）1201602(cos60)(1)28(sin451)21

随练2.8先化简再求值：22121(1)24xxxx ，其中x=tan601．

随练2.9规定sinsincossincos，则sin15________．

随练2.10先化简再求值：22121(1)24xxxx ，其中x=tan601o．

随练2.11在△ABC中，若21cos1tan02AB（），则∠C的度数是（）

A．45° B．60° C．75° D．105°

随练2.12规定sinsincossincos，则sin15o__________.

三、课后练习（写出各题的主要解答过程。）

作业1如图，延长直角ABC的斜边AB到点D，使BDAB，连接CD，若cot3BCD，则tanA的值是（）

A．1 B．23

C．9

D．32

作业2如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=43，则菱形ABCD的面积为____cm2．

作业3如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC= ．

作业4若 为锐角，且sin是方程22320xx的一个根，则cos（）

A．12 B．22 C．32 D．32或12

作业5若为锐角，且sin是方程22320xx的一个根，则cos（）．

A． 12 B． 22 C． 32 D． 32或12

作业6计算2201(2)3(tan601)()8tan45(3.14)2．

作业7如图，90D，10BC，30CBD，15A．

（1）求CD的长；

（2）求tanA的值．

作业8如图，在等腰直角三角形RtABC中，90C，2ACBC，AD平分CAB，求CAD的正切值．

作业9在RtABC中，90Co，且1sin302o，2sin452o，3sin602o，3cos302o，2cos452o，1cos602o；

观察上述等式，请你写出正弦函数值与余弦函数值之间的等量关系式___________________________；因为A与互余，所以请你写出正弦函数与余弦函数一般关系式____________________．

作业10如图，将正方形纸片对折，折痕为EF．展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则ABG的正切值是________．

G D

C F B E

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中考解直角三角形知识点整理复习

解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。

一、基本概念

1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。

2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。

二、特殊角度的三角函数值

1.0°和90°的三角函数值：

正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；

余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；

正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。

2.30°和60°的三角函数值：

正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；

余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；

正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3

三、三角函数在特定角度的性质

1. 正弦函数sin的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时 sinA = y/r

其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

2. 余弦函数cos的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时

cosA = x/r

其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

3. 正切函数tan的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时

tanA = y/x

其中x不等于0。

4.三角函数的周期性：

三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。

四、特殊角的三角函数值的计算

1.特殊角度的三角函数值：

根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。

2.夹角的三角函数值：

两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。 3.弧度和角度的转换：

一圈等于2π弧度或360°；

一个弧度等于180°/π。

五、直角三角形的基本定理

九年级三角函数知识点经典例题

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定义表达式取值范围关系

正弦 (∠A为锐角)

余弦 (∠A为锐角)

正切 (∠A为锐角)

AAcot1tan(倒数)

余切 (∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 对边三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

0 1 -

- 1 0

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

9、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。

10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

人教版数学九年级下册28.2解直角三角形第二课时利用仰角和俯角解直角三角形说课稿

一、教材分析

（一）内容概述

本节课为“人教版数学九年级下册28.2解直角三角形第二课时利用仰角和俯角解直角三角形”，在整个课程体系中，本节课是继“锐角三角函数”和“直角三角形的边角关系”之后的内容，为后续学习“任意角的三角函数”以及实际应用中的测量问题打下基础。

本节课的主要知识点包括：

1. 仰角和俯角的定义及性质；

2. 利用直角三角形的边角关系，求解仰角和俯角；

3. 实际应用中，利用仰角和俯角进行测量；

4. 解直角三角形的方法和步骤。

（二）教学目标

1. 知识与技能：

（1）理解仰角和俯角的概念；

（2）掌握利用直角三角形的边角关系求解仰角和俯角的方法；

（3）能够运用所学的知识解决实际测量问题。

2. 过程与方法：

（1）通过观察实例，引导学生发现仰角和俯角的性质；

（2）通过小组讨论，总结解直角三角形的步骤；

（3）通过练习，提高学生运用知识解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：

（1）培养学生对数学的兴趣，增强学习动力；

（2）培养学生独立思考、合作交流的良好习惯；

（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

（三）教学重难点

1. 教学重点：

（1）理解仰角和俯角的概念；

（2）掌握利用直角三角形的边角关系求解仰角和俯角的方法；

（3）运用所学知识解决实际测量问题。

2. 教学难点：

（1）如何引导学生理解仰角和俯角的定义及性质；

（2）如何帮助学生掌握解直角三角形的步骤；

（3）如何培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、学情分析

（一）学生特点

本节课所面向的学生为九年级学生，他们正处于青春期，具有以下特点：年龄特征上，他们具有较强的求知欲和好奇心，喜欢探索新事物；认知水平上，已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够理解较为复杂的数学概念；学习兴趣上，对于实际应用较强的数学问题表现出较高的兴趣，而对于理论性较强的内容可能兴趣不高；学习习惯上，他们可能已经形成了自己的学习方法，但需要进一步培养良好的学习习惯，如定期复习、积极参与课堂讨论等。

解直角三角形讲义

实用文档

标准解直角三角形

初三下册第一章：

知识点总结：

1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。

（1）三边关系：222cba

（2）锐角关系：∠A+∠B=90°；

( 3 ) 边角关系：

正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记sinA ,即sinA =ca

余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记cosA ,即cosA=cb；

正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记tanA，即tanA=ba；

特殊锐角的三角函数值

① 同角三角函数的关系：

平方关系：1cossin22AA; 商数关系：tanA=AAcossin

②互余两角的三角函数关系：

sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A ) 初三数学同步讲义

2 2.

实际问题

仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。

俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.

方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。

典型例题：

题型一：特殊三角函数值

1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）

A、 B、 C、 D、

2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）

精品九年级数学下册解直角三角形同步讲义+练习16页

九年级数学下册同步讲义

第 1 页共 1 页解直角三角形

第01课三角函数的定义

知识点：

解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即Asin

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即Acos

∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即Atan

即锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.

注意：sinA,cosA,tanA都是一个完整的符号,单独的"sin”没有意义,其中A前面的“∠”一般省略不写。

各锐角三角函数之间的关系：

（1）互余关系：若∠A+∠B=900，则sinA=cos =cos（），cosA=sin =sin（）

（2）平方关系：1cossin22AA1cossin22AA

（3）倒数关系：1tantan,tantanBABA，BAtantan

（4）弦切关系：Asin，Acos，AAcossinAtan

例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.

例2.探索300、450、600角的三角函数值.

九年级数学下册同步讲义

第 2 页共 2 页

例3.计算：

(1)(1)cos600+ sin2450－tan340·tan560 (2)已知tanA=2，求AAAAcos5sin4cossin2的值.

例4.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,135sinB,D在BC边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD的正切值.

初三数学：《解直角三角形》知识点总结

知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。

1解直角三角形

一、锐角三角函数

(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即

sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即

cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即

tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即

aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900;(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系

2注意:锐角三角函数的定义应明确

(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3)

商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，

初三下册数学《解直角三角形》知识点整理

解直角三角形一、锐角三角函数、锐角三角函数定义在直角三角形AB中，∠=900，设B=a，A=b，AB=，锐角A的四个三角函数是：

正弦定义：在直角三角形中AB，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即

sinA=a,

余弦的定义：在直角三角行AB，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作sA，即

sA=b,正切的定义：在直角三角形AB中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即

tanA=ba，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作tA即

aAAAb的对边的邻边t៕៕锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条：锐角∠A必须在直角三角形中，且∠=900;

在直角三角形AB中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确 a，

，ba

，ab四个比值的大小同△AB的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;、同角三角函数的关系平方关系：

22sin៕S៹倒数关系：tanata=1

商数关系：៕៕sinst,ssintan注意：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，

九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理

第九章解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆内容提要☆

一、三角函数

．定义：在Rt△ABc中，∠c=Rt∠，则sinA=;cosA=;tanA=;

．特殊角的三角函数值：

0°

sinαcosαtanα3．互余两角的三角函数关系：sin=cosα;…

．三角函数值随角度变化的关系

．查三角函数表

二、解直角三角形

．定义：已知边和角→所有未知的边和角。

．依据：①边的关系：初中数学复习提纲

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。三、对实际问题的处理

．初中数学复习提纲俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：

．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

四、应用举例

初三数学三角函数知识点：解直角三角形注意点

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初三数学三角函数知识点：解直角三角形注意点

1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．

2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．

3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．

4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．

5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．

6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．

7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．