空间曲面与空间曲线学习总结

面及其方程

一曲面方程的概念

空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。

为此，我们给出如下定义：

若曲面

S与三元方程

F x y z

(,,) 0

(1)

有下述关系：

1、曲面

S上任一点的坐标均满足方程(1)；

2、不在曲面

S上的点的坐标都不满足方程(1)。

那么，方程(1)称作曲面

S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。

下面，我们来建立几个常见的曲面方程。

【例1】球心在点

)

,

,

(

z

y

x

M

，半径为R的球面方程。

解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即：

()()()x x y y z z R -+-+-=020202

()()()x x y y z z R -+-+-=0202022

(2)

(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点

''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点

'M 的坐标不适合于方程(2)。

故方程(2)就是以

M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。

若球心在原点，即

M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为

x y z R 2222++=

【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π

的方程。

解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意

的一点，则

AM BM =

即：

()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222

化简得26270 x y z

-+-=

这便是平面π的方程。

上述两例告诉我们如下事实：

作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量x y z ,,

之间

的方程一般地表示点(,,)

x y z

的轨迹所形成的曲面。

因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；

第二、已知坐标x y z

,,

的方程，研究该方程所表示的曲面形状。

二旋转曲面

【例3】设有一条过原点，且与

z轴夹角为α的直线L，求直线L绕z轴旋转所产生的曲面的方程。(

L绕z轴旋转时，始终z与轴保持定角α)

解：设L开始位于yoz平面，M y z

111

0(,,)

是

L上一点，则

z y ctg 11

=⋅α

当L 转动时，点

M 1转到点M x y z (,,)在L 的转动过程中，点M 的竖坐标满足

z z =1

且点

M 到z 轴的距离满足

x y y 221

+=

从而

z x y ctg =±+⋅22α

或

z a x y 2222=⋅+() (3)

其中

a ctg =α。

这表明：曲面上任一点

M 的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果M 不在曲面上，那么

直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是，点M 的坐标就不满足方程(3)。因此，方程

(3)便是所求的曲面方程。

上述曲面称之为圆锥面，动直线L 与z 轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角称为圆锥面的半顶角。

一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：

一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。

显然，圆锥面是一种旋转曲面，求

yoz 平面上的直线z y ctg =⋅α绕z 轴旋转所成

的圆维面，只需将y 改成

±+x y 22

，即可得到圆锥面的方程

z x y ctg =±+⋅22α

用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。

设在

yoz 平面上有一条已知曲线C ，它的方程为 f y z (,)=0,将C 绕z 轴旋转一

周，得到以z 轴为轴的旋转曲面。

设

M y z 1110(,,)是C 上任一点的坐标，则 f y z (,)110=,当点M 1旋转到点

M x y z (,,)时，总有

z z 1=

点

M 到z 轴的距离为

x y y 221+=

将z z 1=，y x y 1

22

=±+代入方程

f y z (,)110=得到

f x y z (,)±+=220

这便是所要求的旋转曲面的方程。 同理，曲线 C 绕

y 轴旋转所成的旋转曲面方程为

f y x z (,)±+=220

三 柱面

【例4】方程x y R 222+=表示怎样的曲面?

解：x y R 222

+=在

xoy 面上表示圆心在原点，半径为R 的圆。 在空间直角坐标中，该方程不含变量z ，即不论z 取何值，只要横坐标x 和纵坐标

y 适

合方程的空间点M x y z (,,)均在该曲面上。也就是说，过圆x y R 222

+=上的点且平

行于z 轴的直线都在该曲面上。

因此，曲面是由平行于z 轴的直线沿xoy 面上的圆x y R 222

+=移动而形成的。