2019届广州市高三调研测试(理科答案)

3

由正弦定理，得

c 2 -b 2 二a 2 ab ，即 a 2 b 2 -c 2 二-ab , ..................

所以cos C 二

a 2

b 2 -

c 2

2ab

-ab = _1

2ab 2 .........................................

2兀

因为 o ::: C :::二，所以 C = ...........

3

n JI

⑵因为A '，所以B ' ................

6 6 丄 2兀

因为 ABC 二 ab sinC a 4,.

3分

5分

6分 7分

2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准

评分说明：

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查

内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4. 只给整数分数.选择题不给中间分.

、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60 分.

二、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20分.

1

2/3

13. 1

14. 16

15.

16.

-

16 27

三、 解答题：共 70分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2 2 2

17.解：（1）由 cos B - cos C = sin A sin As in B ,

得 sin 2 C 一sin 2 B 二 sin 2 A sin Asin B ...............................

分 11

所以a 二4 ..................................................... 9分

2 二 在：MAC 中，AC 二 4, CM - 2, C -

3

1

所以 AM 2 二 AC 2 CM 2 - 2 AC CM - cos C = 16 4

2 2 A 28 .

..... 11 分

2

解得AM = 2“ ...................................................... 12分

-100 2.5 4 15

16 20 40 25

12 30 18

35 10 40

-3020 ........................................................ 1 分

3020

样本的质量指标平均值为 3020二30.2 ..................................... 2分

100

根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 ................... 3分

(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为

1 1

1 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为

一，-，— ......... 4分

2 3

6

6 6 36

3 6

9

1 P( X - 360) -C

1 1 1 1 + X = 5 1 1 P(X = 420) = C 1

1 1

2

2 6 3^

18

2

2 3 3

随机变量 X 的取值为：240，300，360，420，480 ...................... 5分

P( X = 240) J J =],

P( X = 300)=8 1 1 =],

P( X = 480) = ! 1 = 1， .............................................

10分

1 1511

所以E( X )二240 _ 300 _ 360 _ 420 _ 480 _= 400 ...................... 12 分

36 9 3 4

19.解(1)因为四边形ABCD为矩形，

所以BC // AD .

因为AD二平面ADE , BC二平面ADE ,

所以BC //平面ADE .............................................. 1分

同理CF //平面ADE .............................................. 2分

又因为BC CF =C，所以平面BCF //平面ADE ............................... 3分

因为BF 平面BCF ,所以BF //平面ADE .................................... 4分

(2)法一：

因为CD _ AD,CD _ DE ,

所以.ADE是二面角A -CD -F的平面角，即.ADE二60 ......................... 5分

因为AD DE二D，所以CD _平面ADE .

因为CD 平面CDEF ,

所以平面CDEF -平面ADE .

作AO - DE于点O，贝V AO —平面CDEF ..................................................... 6分由AD = 2,DE = 3，得DO = 1, EO = 2 ?

以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz，则

A( 0, 0^3 ),C (3, -1,0 J D (0, -1, 0 J E(0, 2, 0), F (3,5, 0),

OB = OA +AB =OA +DC =(3, 0,6,)……7 分

设G 3, t ,0 ，一1 乞5，

则BE = -3,2，八3 , BG 二0 ,t，八3

设平面BEG的法向量为m二x, y, z ,

"m^BE = 0, 3x+2y_ 3z = 0, x = 2 - t,

则由得＜Q，取g y = 3,

]m*BG = 0, 〔ty -73z 二0, z =血

得平面BEG的一个法向量为m= 2-t,3,、；3t , ...................................... 8分

又平面DEG 的一个法向量为 n 二(0,0,1), ............................ 所以 cos —刨—L M

........................... 1 分

m

||n | J4t 2 — 4t +13

所以

^3 t I = 1,

.4t 2 - 4t 13 4 1 13

解得t 或t （舍去）， ................... 11分

2 22

此时 CG = 1，得 CG 二］CF .

CF 4 4 2

3

即所求线段CF 上的点G 满足CG ....................................... 12分

2

法二：作 BO _ CF 于点0，作OH _ EG 的延长线于点 H ，连结 BH .

因为 CD _ BC,CD _ CF , BC CF 二 C ,

所以CD —平面BCF , ............................................... 5分

-BCF 为二面角A - CD - F 的平面

角，._BCF = 60 .

所以BO —平面CDF , BO - EH ?…7分 因为 OH _ EH ,OH BO =O , 所以EH -平面

BOH .

所以EH - BH , BHO 为二面角B - EG 在 Rt BCO 中，BC - 2, BCO - 60 , 所以 BO = 3,CO = 1 ?

所以CD - BO ? 因为 CD CF -C , 又因为cos BHO 二1，所以tan ? BHO 二

聖= ,15 , OH 5

OH

5

10分

作EM - CF 于M

，则 OGH - ■ :EGM , EM = CD = 3,CM = DE = 3 ,

则OH

11分

OG

解得x =!_,

+ (2-x )2

3 即所求线段CF 上的点G 满足CG

..

12分

6分

-D 的平面角.

9分

c 1 r c

a =2, I a = 2,

2 2 2

20.解(1)依题意有a =b c ,解得b = y 3, .............................................................. 3分

3 3 d c - 1

_+「= 1, 5 - 1.

a2 4b

2 2

故椭圆C的方程为—y1 .................................................. 4分

4 3

(2)设A(x「yj, B X2 , y，设■"■F l AB的内切圆半径为r ,

△F i AB 的周长为AF i + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 8，

1

所以S F1AB43 T二4r.......................................................................................... 5分

解法一：

根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x = my 1，...................... 6分

f2 2

n

由4 3 1得(3m2 4)y2 6my -9 二0 .......................................................... .7 分x = my 1

A =(6m)2+36(3m2+4)>0，m = R，

-6m 解法-9

由韦达定理得y1 y2二乔，y1y2，

S

F’AB二「1F2 y1 - y2 =|y1-y2 = J" f4 y y

12. m2 1

3m2 4

8分

10分

令t ^ ：m2 1，则t - 1，S F1 AB

12t

3t2 1

4

73 -

3t

1

令f (t) =t ，则当t - 1时，f '(t) = 1- 3t

4

f (t) - f (1)二-，S

3

即当t =1,m二0时，

0 , f (t)单调递增, 3t2

.F1AB - 11分

故当直线l的方程为

3

S 的最大值为3，此时r 3

.F1AB max 4

x -1时，F AB内切圆半径的最大值为

1

12分

当直线丨不垂直于x轴时，设直线l的方程为y = k( x - 1),

-2 2

占x y=

由彳 # 亍1，得(4 k 2+ 3)x2 -8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 ................................................... 7 分y =k(x—1)

.■■■■■■ - (8k 2 )2 - 4 4k 2 3 4k 2-12 = 144 k 2 1 0 ,

3

的最大值为3，=F AB内切圆半径的最大值为

21 ?解：(1) f x的定义域为0, ?:-,

_

2

，ax T ：：： 0恒成立,

，f '(x) 0，f x在0, 2上单调递增;

'(x) ":: 0，f x 在2,::上单调递减;

由韦达定理得

8k2

4k 2 3

,X1X2 =

4k2-12

4k 2 3

S 二1

WB 2 F y -y =y-y = k (x -x )

1 2 1

1 2 1 2

i 2 2

16 9k (k 1)

V (4k2+3)2

2 1 1 令t = 4k 2 - 3，则t -

3，0

16 9

9 t-3 t 1

t2t2

91f'严7；1 2 12 —7

3 :

3 12二3-

当直线丨_x轴时,

匚3、B -1, 一3、

-2

A'1,

2

，S F1AB .................. 6分

综上，当直线l的方程为x二1时，S

iR AB

2 2 -x ( x - 2) ax 2- 1

3分

■2

(ii)当 a 0时，由 f (x) =0得，x =2,x

1 2

1

,x 1 (舍去), 扁3

①当x 二X ,即a = 1时，f ( x) - 0恒成立,

f x 在(0,：：)上单调递增;

4

1

②当x x ，即a 时,

1 2

x 0,1

或x 气2,畑)时,f r (x) > 0恒成立,f (x )在'0, 1

递增;

,2时，f ( x) :: 0恒成立，f x 在 1

③当 x :: X 即 0 :：: a :: 1

时,

1 2

增; ,2上单调递减;

4

x J 1 ,邑 '或 x 气0, 2)时，f 〔X )> 0 恒成立，f ( x )在(0,

1

, ■::单调递

J 2 1、

x 2,

时，f (x) ：：： 0恒成立，f x 在2, 1 上单调递减;

综上，当a < 0时，f x 单调递增区间为 0, 2 ，单调递减区间为 2, ?::;

1 当a 二［时, 4 1 当a 1时, 4 1

当 0 : a :: f x 单调递增区间为 0, ?二，无单调递减区间; f (x )单调递增区间为 0, 1 ], (2,址)，单调递减区间为 时，f x 单调递增区间为(

0, 2), 1

J .1、

+乞单调递减区间为j 2 j 丿 I TZ 丿 ⑵由⑴知，当a ::: 0时，f x 单调递增区间为(0, 2), 单调递减区间为(

2, , 又因为 f 1 二a ::: 0,. 1 取 x 二 max{ - _, 5}，令 f (x)二 x - 2 In x ， f (x) 0 _ 1 2 1 2 二1，则 f '( x)二 1 二2 0 — 1 —

在(2,::)成立，故 f 1 (x) = x - 2 In x 单调递增，f 1 (x 0 ) ■- 5 - 2 In 5 = 1 2(2 - In 5) 1 ,

f (x ) =a(x - 2 In x ) U

0 0 0

1 1 .1c

0，

2-

2-

x x x

0 0 0

(注：此处若写当x > ::时，f X )-：："也给分)

8分

所以f x 有两个零点等价于

f ⑵=a(2 - 2ln 2) 1 . 0，得a .-

1

, 4

8 -8In 2 '

所以0 .a .

当a =1时,

4

当a ■ 0且

8 -8In 2

x _1 f (x) ，只有一个零点，不符合题意；

2

x

f x 在(0,：：)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意; f (2) = a(2 1

a - 时，f x 有两个极值, 4

-2 In 2)十1 > 0 , f

1 1 ：

=2 f +a In a -a , 记 g(x) = 2JX + x In x -x ,

10分

g '(x)二 2 —

(1 In x) 一1 二 1 In x ,

2& vx

1 1 1 令h( x) = In x ，则 h x - ■ 1

时，h( x) 0 , g '(x)在

A

=2鼻1

.

3

2x 2

-::单调递增;

h r

( x) < 0 , g '(x)在 0,

1 ；

4

单调递减.

故 g ( x) g : 2 - 2 In 2

0 , g(x)在(0, -■)单调递增. 2丿

(1、

x t 0 时，g(x) t 0，故 f . 「2y- 儒丿a

1

又f (2) = a(2 - 2 In 2) - - 0 ,由(1)知，f x 至多只有一个零点，不符合题意.

4 综上，实数a 的取值范围为

a In a -a 0 .

11分

丄，

0 12

分

8 -8ln 2

(二)选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按 所做

的第一题计分.

22.解：（1）依题意，直线l的直角坐标方程为y x ,1的直角坐标方程为y 3x .

1T 2灯由=2 3 cos 2 sin^得;?2=2 3 ；co^ 2 siz

因为仔=x2 +y2 ,PcosT=x, PsinT=y ,

所以(x - V3)2+ ( y _1)2 = 4，.

x = 3 2cos

所以曲线C的参数方程为（:?为参数）.

y = 1 2si n :

Q= 71

(2)联立

得OA = P = 4 ,

|i=2 3cosr 2sinr

OB| | 2 = 2 V3 .......................................................

同理,

兀

又.AOB 二—, ................................

6

1 1 1 所以S AOB - —OA I |OB sin NAOB = —4

汉2 y/3汽—=2-^3 ,

即AOB的面积为2、、310分23?解：（1）当a =2时，原不等式可化为3x —1|+x—2卜3 ,

①当x <1 时，1 - 3x 2 -x 一3，解得x < 0,所以x < 0；.........

3

1

②当— 3，解得x > 1,所以1

3 3

③当x > 2时，3x -1+x - 2 > 3，解得x > 所以x工2 ..

2

综上所述，当a = 2时，不等式的解集为「X | x < 0或x -V ...

1

(2)不等式x —1

一+f (x )

3

依题意不等式3x -1+x -a < 3x在x = 1,1 I上恒成立,

〔3 2 I」

所以3x 一1 + x -a兰3x，即x -a兰1,即卩a 一1兰x兰a

+1 ,

10分

_

_1 41

-2 3 「 . 1

a - 1 -

十, 3 1 4 所以

3，解得

_a - a +1 > 1

~2 3

1 2

故所求实数a 的取值范围是