第七章-图的基本概念答案
第七章 图的基本概念
一、 单项选择题
1. 设V ={a,b,c,d},与V 能构成强连通图的边集E =(A ) (A) {,,
(C) {,,,
(A)
2)1(-n n (B) 2
)
1(+n n (C) n (D)n(n+1) 3. 给定无向图G 图5-1所示,下面给出的顶点集子集中,不是点割集的为(A ) (A) {b,d} (B) {d} (C) {a,c} (D) {g,e} 4. 下列数组中,不能构成无向图的度数列的数组是( B ) (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)
5. 图 中 从v 1到v 3长度为3 的通路有(
4)条。
A . 0;
B . 1;
C . 2;
D . 3。
v 1到v 3长度为3 的通路: V 1V 3V 1V 3 ; V 1V 1V 1V 3 ; V 1V 4V 1V 3 ; V 1V 1V 4V 3 ; 6.给定无向图>= A 、},,,{4341><> B 、},,,{6451><> C 、 },,,{8474><> },,,{3221><> 。 7.有向图D= ,则41v v 到长度为2的通路有( B )条。 A 、0; B 、1; C 、2; D 、3 。 二、 填空题 1.设有向图D = ???? ???11 00 10000100 0120 ,那么∣E ∣ b f c e 2. 有16条边,每个顶点都是2度顶点的无向图有 16 个顶点. 3.图G 有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G 有__13____个结点. 三、解答题 1. 指出有向图D(如图5-5)中各图是强连通,单侧连通还是弱连通? 强连通图为 (1),(4),(5);单侧连通图为 (1),(2),(4),(5) 弱连通图为: (1)~(5) 2. 设简单连通无向图G 有12条边,G 中有2个1度结点,2个2度结点,3个4度结点, 3.无向图G 有12条边,G 中有6个3度结点,其余结点度数均小于3,问G 中至少有多少个结点?为什么? 解 设图G 有x 个结点.除6个3度结点外,其余都小于3度,则小于或等于2度,由握手定理,有2×12≤3×6+2×(x -6),解得x ≥9.故图G 至少有9个结点. 4.若有n 个人,每个人都恰有三个朋友,则n 必为偶数。 证明:将每个人用结点表示,当两个人是朋友时,则对应两结点连一条边,则得一无向图 >= ∈?=,由任意图 奇数度结点一定是偶数个,可知,此图结点数一定是偶数。 5.有n 个药箱,若每两个药箱里有一种相同的药,而每种药恰好在两个药箱中,问共有多少 种药品? 解:用n 个结点表示n 个药箱,当两种药箱放一种相同药时,则对应的两点连一条边,则得 第八章 几种特殊图 一、单项选择题 1. 无向完全图K 4是( B ) (A )欧拉图 (B )哈密顿图 (C )树 (D )非平面图 2. 以下各图中存在哈密顿回路的图是 ( C ) (1) (2) (3) (4) (5) 3. 设G 是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r= ( A ). (A) e -v +2 (B)v +e -2 (C)e -v -2 (D) e +v +2 4. 无向图G 是欧拉图,当且仅当( C ) (A) G 中所有结点的度数全为偶数 (B) G 中所有结点的度数全为奇数 (C) G 连通且所有结点的度数全为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数全为奇数 5、下图中既不是Eular 图,也不是Hamilton 图的图是( B ) 6.在Peterson 图中,至少填加( D )条边才 能构成Euler 图。 A 、1; B 、2; C 、4; D 、5 。 7.下列图中是欧拉图的有( A )。 K n 是欧拉图.K n 存在欧拉 3. 无向连通图G 4.在平面图>= ∑=r i i r 1 )deg(,r)是图G 的面. 5. 设图>= 图 的对偶图为 。 7. 三、计算题 1. 在有6个结点,12条边的简单平面连通图中,每个面有几条边围成?为什么? 6个 解答:图G 中有5个有限面,一个无限面,共6个面. 2. 在图6-4所示的两个图中各有几个面,写出每个面的边界和次数. 解图(a)有5个面:r 0,r 1,r 2,r 3,r 3.r 0的边界:acbda ;r 1的边界:abca ;r 2的边界:bdeb ;r 3的边界:aeda ;r 4的边界:abca .面次数:)deg(0r =4,)deg(1r =3,)deg(2r =3,)deg(3r =3,)deg(4r =3. 图(b)有2个面:r 0,r 1.r 0的边界:abcdefcba ;r 1的边界:cdefgfc .面次数:)deg(0r =8, )deg(1r =6. 3 试判断图6-6所示的四个图是否为可平面图. 解在图(a)中,只要改动三条边,就可以得到平面图,如6-7(a)所示. 在图(b)中,只要改动三条边,就可以得到平面图,如6-7(b)所示. 在图(c)中,只要改动三条边,就可以得到平面图,如6-7(c)所示. 故图6-5中(a),(b),(c)都是可平面图.图6-5(d)是无向完全图K 5,它是非平面图. 4.给定三个图如图6-7所示,试判断它们是否 为欧拉图、哈密顿图、或平面图?并说明理由. d g (a ) (c ) 图6-6 c d d (a ) (b ) (d ) 图6-7 图G 1 图G 2 图G 3 图6-7 解 图G 1是欧拉图,因为每个结点度数均为偶数。图G 2是哈密顿图,存在哈密顿回路,如cdgfebac .(不惟一)。图G 3是平面图.可以改画成可平面图,如图6-7. 5. 说明图G(如图6-8所示)不是哈密顿图. 解 图G 中有一个割点,因而图G 不可能是哈密顿图. 取V 1={d },则G -V 1的连通分支数W(G -V 1)=2>∣V 1∣=1。 根据哈密顿图的必要条件可知图G 不是哈密顿图. 6.某次会议有20人参加,其中每人至少有10个朋友,这20人拟围一桌入席,用图论知识说明是否可能每人邻做的都是朋友?(理由) 解:可能。将人用结点表示,当两人是朋友时相应结点间连一条边,则得一个无向图 >= 一次得回路。由题已知,10)deg(,10)deg(, ,≥≥∈?v u V v u , 20)deg()deg(≥+∴v u ,由判定定理,G 中存在一条汉密尔顿回路。即所谈情况可能。 7.某年级共有9门选修课程,期末考试前必须提前将这9门课程考完,每人每天只在下午考一门课,若以课程表示结点,有一人同时选两门课程,则这两点间有边(其图如右),问至少需几天? 解:)(G χ即为最少考试天数。 用 Welch-Powell 方法对 G 着色: 685421739v v v v v v v v v 第一种颜色的点 6419v v v v ,剩余点85273v v v v v 第二种颜色的点 573v v v ,剩余点82v v 第三种颜色的点 82v v 所以)(G χ≤3 任932v v v 构成一圈,所以)(G χ≥3 故)(G χ=3 c 图6-8 所以三天下午即可考完全部九门课程。 第9章 树 一、单项选择题 1. 以下命题为真的是( D ) (A) 无向完全图都是欧拉图 (B) 有n 个结点n -1条边的无向图都是树 (B) 无向完全图都是平面图 (D) 树的每条边都是割边 2. 有4个结点的非同构的无向树有 ( A )个. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 设G 是有6个结点的无向完全图,从G 中删去( C )条边,则得到树. (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 4. 若连通图G= A. n -m -1 B. n -m+1 C. m -n+1 D. m -n -1. 5.在一棵树中有7片树叶,3个3度结点,其余都是4度结点则该树有(A )个4度结点。 A .1; B .2; C .3; D .4 。 6.设无向图>= 二、计算题 1. (1)在1棵有2个2度结点,4个3度结点,其余为树叶的无向图中,应该有几片树叶? (2) 画出两棵不同构的满足条件(1)的结点度数的无向树T 1,T 2. 解. (1)设有k 片树叶,则该树有k+2+4个结点,根据树的等价定义,有k+5条边.由握手定理,2×(k+5)=k+2×2+4×3=k+16,故k=6.即有6片树叶. (2) 非同构的树如图6-8. 2.一棵树T 最大度为4,且有两个2度结点,一个3度结点,三个4度结点, 问T 有几个1度结点. 解 设T 有x 个1度结点.T 有结点数是2+1+3+x=6+x 个,边数m=6+x -1=5+x ,用握手定理2×2+×1×3+3×4+x =2m=10+2x .解得x=9. 3. 试画所有不同构的四阶无向树(四个结点). 5.一棵树T 中,有3个2度结点,一个3度结点,其余结点都是树叶。 (1)T 中有几个结点; (1) (2)画出具有上述度数的所有非同构的无向图 解:(1)设该树树叶数为t ,则树T 的结点数为t ++13,又边数 = 结点数 - 1, ∑=倍边数2)deg(i v ,∴ )113(213123-++=?+?+?t t 即t t 269+=+ ,∵ 3=t ,∴ T 中7个结点。 (2)具有3个两度结点,一个3度结点,3片树叶的树(非同构的)共有以下三种: 四、树的应用 1.右图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ,,,, 及对应两城镇间公路的长度。试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。 解 此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树, 由破圈法或避圈法得最小生成树为: 其权数为1+1+3+4 = 9 。 2.用 Huffman 算法求出带权为2,3,5,7,8,9的最优二叉树T ,并 求W (T )。 若传递a ,b , c , d ,e , f 的频率分别为2%, 3% ,5 %, 7% ,8% ,9%求传输它的最佳前缀码。 解:(1) 83282729354342)(=?+?+?+?+?+?=T W (1) 用0000传输a 、0001传输b 、001传输c 、01传输f 、10传输d 、11传输e 传输它们的最优前缀码为{0000,0001,001,01,10,11} 。 3.如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价,试给出一个设计方案,使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 解: 用库斯克(Kruskal )算法求产生的最优树。算法为: 6 1615454434337337272277117123 ),(17),(3),(9),(4),(1),(v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w ============选选选选选选 结果如图: 树权W(T)=23+1+4+9+3+17=57(万元)即为总造价 5.假设英文字母,a ,e ,h ,n ,p ,r ,w ,y 出现的频率分别为12%,8%,15%,7%,6%, 10%,5%,10%,求传输它们的最佳前缀码,并给出happy new year的编码信息。解根据权数构造最优二叉树: 传输它们的最佳前缀码如上图所示,happy new year的编码信息为: 10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000 附:最优二叉树求解过程如下: