自动控制中的根轨迹

第四章 例4-1 设系统的开环传递函数为

)2)(1(2)()(sssKsHsG

试绘制系统的根轨迹。 解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。 （1）系统的开环极点为0，1，2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有3mn条渐进线 渐进线的倾斜角为

03180)12()12(KmnKa



取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。 渐进线与实轴的交点为

13)210(111miinjjazpmn 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。 （4）确定分离点 系统的特征方程式为 022323Ksss 即 )23(2123sssK 利用0/dsdK，则有 0)26(2123ssds

dK

解得 423.01s 和 577.12s 由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=－1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=－0.423。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 劳斯行列表为 3s 1 2 2s

3 2K

1s

326K 0

0s

2K

由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程 0632322sKs 确定。 解之得根轨迹与虚轴的交点为2js。根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12 方法二 令js代入特征方程式，可得 02)(2)(3)(23Kjjj 即 0)2()32(22jK 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即

0322K，022 所以

2 3K （6）确定根轨迹各分支上每一点的K值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式 3)41.10()41.10(jjx

求出后一条根轨迹分支上K=3的点为οx=－3。 由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 3)423.0()423.0(x

所以 ，οx=－2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为－2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K值。 现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j0和－2.154，该点的K值为 )154.2()423.0(22K 即，K=0.195。 系统的根轨迹如图4-1所示。 例4-2 设控制系统的开环传递函数为 )22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG

试绘制系统的根轨迹。 解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为

03180)12()12(KmnKa



图4-1 例4-1系统的根轨迹 S平面 σ ω j 取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 三条渐近线如图4-14中的虚线所示。 渐近线与实轴的交点为

114)2()1130(111jjzpmn

miin

jja

（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图4-14中的粗线所示。从复数极点(－1±j) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。 （4）在实轴上无根轨迹的分离点。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0)2(3)22)(3(2sKssss 即

06)36(85234KsKsss 劳斯行列表 4s 1 8 K6 3s

5 K36

2s

5

)36(40K K6

1s

KKK33415036

0

0s

6

若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）－150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。 解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程 034.230)34.236(402s

确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=±j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。

（6）确定根轨迹的出射角 根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（－1＋j）出发的根轨迹的出射角为

j)(p)(pp)(p)k(θ132121801111



将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入并取k=0，则得到6.26 系统的根轨迹如图4-14所示。 例4-3 已知控制系统的开环传递函数为 )50)(20)(5()125.0()()(2sssssKsHsG

试绘制系统的根轨迹。 解（1）系统的开环极点为0，0，－5，－20和－50，它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为－0.125，有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （2）确定根轨迹的渐近线 渐进线的倾斜角为

15180)12()12(KmnKa



取式中的K=0，1，2，3得φa=±45°和φa=±135°。 渐近线与实轴的交点为

S平面 ω j

σ -1 -2 -3 -4

0

j1 j2 j3

-j3 135° 45° 90° 26.6°

图4-2 例4-2系统的根轨迹 8.184)125.0()5020500(111miinjjazpmn

（3）实轴上的根轨迹位于－0.125和－5之间以及－20，与－50之间。 （4）确定根轨迹的分离点和会合点 本例中，系统各零点、极点之间相差很大。例如，零点－0.125与极点0之间仅相距0.125,而零点－0.125与极点－50之间却相差49.875。因此，可作如下简化：在绘制原点附近的轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线时，略去零点和一个极点的影响。 （A） 求原点附近的根轨迹和会合点 略去远离原点的极点，传递的函数可简化为K（s+0.125）/s2。零点－0.125左边实轴是根轨迹，并且一定有会合点。原点处有二重极点，其分离角为±90°。确定会合点的位置。此时，系统的特征方程式为 0125.02KKss 或 125.02ssK

利用0/dsdK,则有 0)125.0()125.0(222s

sssdsdK

解之可得 s1=0.25, 即会合点；s2=0，即重极点的分离点。 （B） 求远离原点的根轨迹和分离角 略去原点附近的开环偶极子（零点－0.125和极点0），传递函数可简化为 )50)(20)(5(/)('ssssKsGH 此时，系统的特征方程式为

0)50)(20)(5(Kssss 或表示为

)50)(20)(5(1ssssK 利用0/dsdK,则有

0)50)(20)(5(500027002254223ssss

sssdsdK

解之可得s1=－2.26 和 s2=－40.3。 分离点的分离角为±90°。 注意，在零点－0.125和极点－5之间的根轨迹上有一对分离点（－2.26, j0）和(－2.5, j0))。 (5) 确定根轨迹与虚轴的交点 令js代入特征方程式，可得 0)125.0()50)(20)(5()(2jKjjjj 整理后有 05000752

0135024K 解之得 16.8，41065.8K