极限求法总结

极限的求法

1、利用极限的定义求极限

2、直接代入法求极限

3、利用函数的连续性求极限

4、利用单调有界原理求极限

5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限

11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限

1、利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：()0

lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：∀ε＞0， ∃δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜|x-0x |

＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a ｜=|(x-0x )+(0x +a)|≤|x-0x |+|0x +a|＜｜0x +a ｜+δ1 域|x+a|=|(x-0x )+(0x +a)|≥|0x +a|-|x-0x |＞|0x +a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，

取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.

例：设lim n n x a →∞

=则有12 (i)

n x x x a n

→∞++=.

证明：因为lim n n x a →∞

=,对110()N N εε∀>∃=，,当1n N >时，-2

n x a ε

∣∣<于是当

1n N >时，1212......n n x x x x x x na a n n

+++∣+++-∣

∣-∣=

0ε<<1

其中112N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由

A n ε

<，解得2A

n ε>

,故取12max ,A N N ε⎧⎫

⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭

12...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。

2、直接代入法求极限

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例 1. 求

分析由于 ,

所以采用直接代入法.

解原式=

3、利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义区间内的一点，则有)()(lim 00

x f x f x x =→。

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果()f x 是初等函数，0x 是其定义域内一点，则求极限0

lim ()x x f x →时，可把0x 代入()f x 中计算出函数值，即

lim ()x x f x →=0()f x 。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若()u x φ=在0x 连续且00()u x φ=，

()y f u =在0u 处连续，则复合函数[()]y f x φ=在0x 处也连续，从而

lim o x xo

f x f x φφ→[()]=[()]或lim lim x xo

x xo

f x f x φφ→→[()]=()。

例：2

lim ln sin x x π

→

解：复合函数=2x π在处是连续的，即有2

lim ln sin =ln sin ln102x x ππ

→

4、利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求n

解：令n x =

1n x +=

>，即1n n x x +>，所以数列{}n x

单调递增，由单调有界定理知，n 有限，并设为A

，

1lim n n n x +→∞

=，

即A =

，所

以

n =

。

5、利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限0

lim ()x x f x →和0

lim ()x x g x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当

0x x →时也存在且

①[]0

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±

②[]0

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅

又若c ≠0，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有0

lim ()()lim ()lim ()

x x

x x x x f x f x g x g x →→→=. 利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，

一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现00，∞

∞

，∞-∞ 等情况，都

不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例：求3131lim 11x x x

→---（）

解：由于当→x 1时，

331x -与1

-的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简23322

313(1)(1)(2)(2)

=111-(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x x -++-++-==---++++这样得到的新函数当1x →时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

321131(2)lim =lim =111(1)

x x x x x x x →→+---++（）例2. 求。解

6. 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

例：求214-7

lim 32

x x x x →-+

解：当时1x →，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

数的极限2132lim =04-7

x x x x →-+，故214-7

lim =32x x x x →∞-+。

例5．求极限

分析因为不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变

形.

解原式=

(恒等变形) 因为当时, , 即是当时的无穷小,而 ≤1, 即是有界函数,由无穷

小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,

得 =0.

7、无穷小量分出法求极限

适用于分子、分母同时趋于 ,即型未定式

例3．

分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.

为什么所给函数中,当时，分子、分母同时趋于呢?以当说明：因为 ,但是趋于的速度要比趋于的速度快，所以 .不要认为仍是 (因为有正负之分).

解原式 (分子、分母同除 ) （运算法则）

（当时，

都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.）

8、消去零因子法求极限

适用于分子、分母的极限同时为0,即型未定式

例4．

分析所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故

采用消去零因子法.

解原式=

(因式分解)

(约分消去零因子 )

(应用法则)

9、利用拆项法技巧求极限

例6：

分析：由于= 原式=

10、换元法求极限

当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。

例: 求11

lim ln x x x x x

→-

解：令1x t x =- 则ln ln(1)x x t =+

10011

lim

lim lim 1ln(1)

ln ln(1)x x t t x t t x x t t

→→→-===++ 例7 求极限 .

分析当时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.

解原式 =

= (令 ,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极

限.) = . (

型,最高次幂在分母上)

11、利用夹逼准则求极限[3]

已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1） ),3,2,1(,Λ=≤≤n z x y n n n ；（2） a y n n =∞

→lim ，a z n n =∞

→lim 。

则极限∞

→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞

→lim 。利用夹逼准则求极

限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得n n n y x z ≤≤。例：

...n x =

，求n x 的极限

解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

...n x ≥

...n x ≤

++=

n x ≤≤

又因为lim

n n =，则lim 1n x x →∞

=。

12、利用中值定理求极限

(1)微分中值定理[1]：若函数()f x 满足①在[],a b 连续，②在(a ，b)可导；则在(a ，b)内至少存在一点ε，使得'()()

()f b f a f b a ε-=-。

例：求3

sin(sin )sin lim

x x x

→-

解：sin(sin )sin (sin )cos[(sin )]x x x x x x x θ-=-⋅⋅-+，(01)θ<< 3

sin(sin )sin lim

x x x

→- ＝3

(sin )cos[(sin )]

lim

x x x x x x x θ→-⋅⋅-+

＝3

cos 1

cos 3lim

x x x

θ→-⋅ ＝0

sin 6lim

x x

→- ＝16

(2)积分中值定理[1]：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续； ()g x 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得

()()()()()..,b

f x

g x f g x dx a b εε=≤≤⎰

⎰

例：求 40

sin lim n n xdx π

→∞

⎰

解：40

sin lim n n xdx π

→∞

⎰

＝sin (0)4lim n n x πξ→∞

⋅⋅- (0)4πξ≤≤

＝

(sin )4

lim n

n π

ξ→∞

13、利用罗必塔法则求极限

定理[4]:假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：

（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；

（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)

()

(lim

x g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)

()

(lim x g x f =)()(lim x g x f '' 。

洛必达法则只能对00∞

∞

或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类

型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当()

''lim ()

f x

g x 等于 A 时，那

么()lim ()f x g x 也存在且等于A. 如果()''lim ()

f x

g x 不存在时，并不能断定()lim ()f x g x 也不

存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论()

lim ()

f x

g x 。例：求0ln sin lim

ln sin x mx

→

解：由0

limlnsin limlnsin x x mx nx →→==-∞知所以上述极限是

∞

待定型 000ln sin cos sin sin lim lim lim 1ln sin cos sin sin x x x mx m mx nx m nx nx n nx mx n mx

→→→⋅=⋅=⋅=⋅

14、利用定积分求和式的极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数()f x 。把所求极限的和式表示成()f x 在某区间[],a b 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限

[5]

。

例：求222

222

1[]12(1)lim n n n n

n n n n n →∞

+++++++-L

解：由于222222

112(1)

n n n

n n n n n +++++++-L = 2221111[]112111()1()1()n n n n n

+++---+++L

可取函数 21()1f x x =+，区间为[]0,1，上述和式恰好是2

()1f x x =+ 在[]0,1上n 等分的积分和。

所以222

222

1[]12(1)lim n n n n

n n n n n →∞

+++++++-L ＝222

1111

[]112111()1()1()lim n n n n n n

→∞

+++---+++L

＝1201

1dx x +⎰

＝4

15、利用泰勒展开式求极限

泰勒展开式[6]：若()f x 在x=0点有直到n+1 阶连续导数，那么

()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n

n f f f x f f x x x R x n '''=+++++L

其中(1)1

()()(1)!

n n n f R x x n ε++=

+ (其中0ε<<1) 例：2

0cos lim

x x x e x -

→-

解：泰勒展开式24

4cos 1()2!4!

x x x x ο=-++，

2222

11()()()22!2

x x x e

x ο-=+-+-+

于是24

1cos ()12

x x e x x ο--=-

所以

() cos1

lim lim

x x

x e

x x

→→

==-

16、分段函数的极限

例8 设讨论在点处的极限是否存在.

分析所给函数是分段函数,是分段点, 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.

解因为

所以不存在.

注1 因为从的左边趋于,则,故.

注2 因为从的右边趋于,则,故.

16种求极限的方法

16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。求极限的方法有很多种，下面将介绍16 种常见的求极限方法。 1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。 2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。 3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。 4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。 5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。 6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。 7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。

8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。 9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。 10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。 11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。 12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。 13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。 14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。 15.替代法：当函数在其中一点的极限不易求解时，可以通过找到一个函数，使其在该点处的极限等于待求函数在该点处的极限，然后对替代函数求极限。 16.序列极限法：对于数列极限的求解，可以利用数列的性质和极限的基本性质进行推导。以上是16种常见的求极限的方法，在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地理解和应用微积分的知识。

总结16种方法求极限

首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！ 5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1） 8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限） 11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！ x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14还有对付数列极限的一种方法，

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限，本例中当时，，表明与1无限接近，但 ,所以这一因子可以约去。二、分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。三、分子(母)有理化求极限例:求极限分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 ()()() () 1 31 31 3lim 13lim 22 22 22 2 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32 lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例：求极限 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→= () x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ = 300 sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2 130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利

用公式。例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例：例：求极限七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。也就说，极限号与可以互换顺序。例：求令

函数极限的求法总结

函数极限的求法总结函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。下面将对函数极限的求法进行总结。一、基本极限求法： 1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。 2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。 3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。 4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。二、重要极限法则： 1. 基本极限法则： (1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数； (2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数； (3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数； (4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k 是常数； (5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。

2. 极限的四则运算法则： (1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)； (2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)； (3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)； (4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。 3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。 4. 商的极限法则：lim [f(x) / g(x)] = (lim f(x)) / (lim g(x))，其中极限存在且lim g(x) ≠ 0。 5. 复合函数极限法则：复合函数的极限等于内外函数的极限的乘积，即lim f(g(x)) = lim f(u) * lim g(x)，其中lim g(x)存在且lim f(u)存在。 6. 极限的放缩法则：如果对于任意的x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = a，则lim f(x) = a。 7. 极限算术根本定理：设函数h(x) = f(x) + g(x)，其中lim f(x)存在且lim g(x)存在。则lim h(x)存在，并且lim h(x) = lim f(x) + lim g(x)。三、夹逼准则：夹逼准则是指如果函数f(x)和g(x)在某点a的某个去心邻域内满足：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = L，则lim

函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们理解函数在无穷远处的行为，以及在某些趋向某一点时的表现。函数极限的求解方法有很多种，接下来我们将介绍一些常用的方法来求解函数极限。一、代入法代入法是求解函数极限的最直接方法之一，它适用于那些在某一点附近有定义的函数。代入法的核心思想是将极限点代入函数中，然后计算函数值，如果函数在该点处有定义并且极限存在，那么我们可以直接通过代入来求解函数的极限值。我们要求解函数f(x)在x=2处的极限，那么我们可以直接代入x=2来求解，计算出f(2)的值就是函数在x=2处的极限值。二、夹逼定理夹逼定理是求解函数极限的另一种常用方法，它适用于一些特殊情况下的函数极限求解。夹逼定理的核心思想是通过构造一个夹在两个函数之间的函数，从而推导出函数的极限值。我们要求解函数f(x)在x趋向无穷时的极限值，可以通过构造两个趋向同一极限的函数g(x)和h(x)，使得g(x)<=f(x)<=h(x)，然后通过夹逼定理可以推导出f(x)的极限值。三、无穷小量比较法我们要求解函数f(x)在x趋向0时的极限值，可以通过比较f(x)与x的n次方的大小关系来求解。如果f(x)比x的n次方在x趋向0时的极限值小，那么f(x)的极限值就是0，反之亦然。四、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的一个非常有用的方法，它适用于求解当函数的极限不存在的情况。洛必达法则的核心思想是通过对函数的分子和分母分别求导，然后比较导数的极限值来判断函数的极限是否存在。函数极限的求解方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。在实际应用中，我们可以根据具体的函数形式和求解的需求选择合适的方法来求解函数的极限值。希望本文介绍的几种求解方法能够帮助大家更好地理解函数极限的概念和求解方法。

求极限的方法总结

求极限的方法总结极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点或某个无穷远的情况下的趋势或结果。在求解极限时，有许多不同的方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。一、替换法替换法是求函数极限的常用方法之一。当我们在计算某一点的函数极限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。如果当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限的值。二、分子分母因式分解法当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的结果。三、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的重要工具。这个法则的基本思想是将一个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。如果这两个函数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。四、夹逼定理夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。这个定理的主要思想是通过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。夹逼定理在实际计算中可以大大简化问题的求解。五、泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。通过将函数展开为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。泰勒展开式有时候可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。六、变量代换法变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。通过对函数中的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。

这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。七、松弛变量法松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。通过引入一个松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。总结：求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。每种方法都有其适用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。在实际计算中，我们可以根据问题的特点和我们的目的选择合适的方法，以求得更精确和有效的极限结果。通过熟练掌握这些方法，并结合具体问题的特点灵活运用，我们可以更好地理解和应用极限概念，为数学问题的解决提供有力的工具和方法。

16种求极限的方法总结

16种求极限的方法总结说起考研数学，你觉得最难的是哪个?据调查，数学中求极限的问题一直困扰着广大考生，2015年的考研马上就要到了，海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。解决极限的方法如下： 1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小 2、洛必达法则 (大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大! 当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式 (含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x 展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、无穷大比上无穷大

求极限的16个方法总结

求极限的16个方法总结首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1、极限分为一般极限，还有个数列极限区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种。 2、解决极限的方法如下 1等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在e的X次方-1或者1+x的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。x趋近无穷的时候还原成无穷小 2洛必达法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!必须是函数的导数要存在! 假如告诉你gx,没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为三种情况 10比0无穷比无穷时候直接用 20乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0 3、泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!e 的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。 5、无穷小于有界函数的处理办法

求极限方法总结

求极限方法总结求极限是微积分的重要内容之一，需要通过特定的方法来计算。下面对常见的求极限方法进行总结。 1. 代入法：将极限中的变量直接代入函数中，求出函数在该点处的函数值，作为极限的近似值。这种方法适用于简单的极限。 2. 分子有理化法：当极限的分子、分母含有根式时，可以通过有理化的方法，将根式分子分母有理化，然后进行化简，化简后求极限。这种方法适用于分子分母含有根式的情况。 3. 夹逼法：当函数的极限不存在或难以直接求出时，可以通过构造一个上界函数和下界函数，使得它们的极限都存在且相等，且夹住函数的极限。然后通过夹逼原理，求出该极限。这种方法适用于极限存在且难以直接求出的情况。 4. L'Hopital法则：当极限为形式为“∞/∞”、“0/0”、“1^∞”、 “0^0”等无穷型与无穷型的不定式时，可以通过求导的方法，将其转化为可直接计算的形式。这种方法适用于无穷型与无穷型的不定式。 5. 推广L'Hopital法则：当极限为形式为“∞*0”、“∞-∞”等不定型不定式时，可以通过引入参数，将其转化为可直接计算的形式。这种方法适用于不定型不定式。 6. 换元法：当极限为特殊函数形式时，可以通过换元的方法，将其转化为可直接计算的形式。比如将极限中的自变量换成

1/自变量或sin(1/自变量)等函数形式。这种方法适用于特殊函数形式的极限。 7. Taylor展开法：当极限为函数值在某点的展开式时，可以通过泰勒展开的方法，将其转化为可直接计算的形式。这种方法适用于函数值在某点的展开式。 8. 综合运用：对于复杂的极限问题，可以综合运用以上方法，逐步化简。先运用代入法、分子有理化法，再运用夹逼法、 L'Hopital法则等，逐步逼近极限的值。在实际应用中，根据题目的要求和已知条件，选择适合的方法来求解极限。对于复杂的问题，可以采用逐步化简的方法，一步步逼近极限的值。同时，对于无法通过常见方法求解的特殊问题，还可以借助数值计算的方法，利用计算机进行近似计算。

求极限的方法总结

千里之行，始于足下。求极限的方法总结求极限是微积分中重要的概念之一，常见于求导、定积分以及微分方程等内容中。求解极限可以通过以下几种方法进行总结： 1. 代入法：当函数在极限点处存在时，可以直接将极限点代入函数中计算。这种方法简单直接，适合于函数在某一点处的极限。 2. 分解因式法：当函数存在不定形式时，可以尝试将函数进行分解因式，从而简化计算。比如，对于分式函数，可以尝试分解分子和分母，消去公因式，然后再进行计算。 3. 幂指函数法：当函数的极限含有幂指函数时，可以尝试使用幂指函数的性质进行计算。常用的方法包括使用指数函数的性质、对数函数的性质以及对数和指数函数的换底公式等。 4. 无穷小量法：当函数的极限存在无穷小量时，可以利用无穷小量与极限的定义进行计算。常用的方法包括使用洛必达法则、夹逼定理、泰勒级数展开等。其中洛必达法则适用于计算$\\frac{0}{0}$、 $\\frac{\\infty}{\\infty}$、$0\\cdot \\infty$型的极限，夹逼定理适用于无穷小量和无穷大量的极限，泰勒级数展开适用于函数可展开成无穷级数的情况。 5. 变量替换法：当函数的极限存在特定变量时，可以进行变量替换，通过对新变量极限进行求解来简化计算。常用的方法包括使用三角函数的三角恒等式、指数和对数函数的换底公式、幂函数的性质等。第1页/共2页

锲而不舍，金石可镂。 6. 递推法：当函数的极限存在递推关系时，可以通过递推关系逐步求解极限。常用的方法包括使用数列极限的性质以及函数关系的性质。总的来说，求解极限需要根据具体的函数形式和性质进行判断和选择合适的方法。在实际计算中，也常常需要综合运用多种方法进行求解。因此，对于学习者来说，熟练掌握不同的求极限方法，灵活运用，可以更加高效地解决复杂的极限计算问题。

极限的计算方法总结

极限的计算方法总结 “极限”是数学中的分支——微积分的根底概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。下面为大家的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~ 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X 次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候复原成无穷小)。 2、洛必达法那么(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假设告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法那么分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原那么最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理方法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限工程极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限) 11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

大一高数求极限的方法总结

大一高数求极限的方法总结大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。在学习求极限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。下面是对一些常用的求极限方法进行总结。一、无穷小量代换法当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的无穷小量来代替，从而简化计算。例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1 二、夹逼定理夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。当我们无法直接计算一个函数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限也为L。三、洛必达法则洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型的极限。当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者 ∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。具体做法是对分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。四、泰勒展开法当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数的值。泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼近函数的值。这样可以大大简化我们的计算过程。

五、换元法有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更容易求解极限。例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令 y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。六、分数的极限当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可以进行有理化来方便我们的计算。有理化的方法有分子分母同时乘以一些适当的因式、差化积等。七、级数化积当我们计算一个函数的极限时，通常可以将函数展开为一个级数，然后进行计算。例如，当我们计算lim(x->0)(e^x-1)/x时，可以将e^x展开为一个级数，再进行计算。八、寻找特殊点有时候我们可以通过找到一些特定的点来计算极限。例如，当我们计算lim(x->∞)(1+x)^(1/x)时，可以尝试令y=1/x，然后再进行计算。九、极限与连续性极限与连续性是高等数学中一个非常重要的知识点。当我们求一个函数在其中一点的极限时，如果该函数在该点连续，那么我们可以将该点的函数值作为极限值。以上就是关于大一高等数学中求极限的一些常用方法总结。当然，在实际的应用中，还会有更多具体问题需要我们灵活运用不同的方法来求解。

函数极限的求法及技巧总结

函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。本篇文章将对此进行总结。 1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。因此，f(x)在x = 1处的极限为6。 2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。 3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。 4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。 5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。当n足够大时，余项可以忽略不计。

求极限的方法总结

求极限的方法总结 1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33lim 9x x x →-- 22121 lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1n n n n n ++- 1+13lim 3n n n n n +→∞++ （-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→

3．分子(母)有理化求极限例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键习题：21 x x x x ++ 1 213lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 22034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限例题 3 3x x →+ 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小

求函数极限的方法总结

求函数极限的方法总结在数学中，求函数极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域都有着广泛的应用。对于很多学生来说，求函数极限可能是一个比较困难的问题，因此，我们有必要总结一下求函数极限的方法，希望能够对大家有所帮助。首先，我们需要了解函数极限的定义。对于一个函数 f(x)，当 x 趋向于某个数a 时，如果 f(x) 的取值趋向于一个确定的数 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋向于a 时的极限为 L，记作 lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。在实际应用中，我们常常需要通过一些方法来求解函数的极限。一、代数运算法。代数运算法是求函数极限中最基本的方法之一。它包括了直接代入法、分式有理化法、有理分式的分解法等。其中，直接代入法是最简单的一种方法，只需要将x 的值代入函数中，然后计算得到极限值。分式有理化法则是将分式进行有理化处理，通过分子有理化、分母有理化，简化分式来求解极限。有理分式的分解法则是将有理分式进行分解，分解成更简单的分式，然后再求解极限。二、夹逼定理。夹逼定理也是一个常用的方法，它适用于一些复杂的函数极限求解。夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，这两个函数的极限值相等，然后利用夹逼原理来求解原函数的极限。这种方法在一些特殊的函数极限求解中有着重要的应用。三、洛必达法则。洛必达法则是求解不定型极限的常用方法。当我们在求解函数极限时遇到 0/0 或者∞/∞的形式时，可以尝试使用洛必达法则。洛必达法则的核心思想是将函数转化成一个分数形式，然后求导，通过求导后的函数极限来求解原函数的极限。四、级数展开法。

级数展开法适用于一些复杂的函数极限求解。它的核心思想是将函数展开成一个级数形式，然后通过级数的性质来求解函数的极限。这种方法在一些特殊的函数极限求解中有着重要的应用。五、泰勒展开法。泰勒展开法是一种比较高级的方法，适用于一些复杂的函数极限求解。它的核心思想是将函数在某一点进行泰勒展开，然后通过泰勒展开式来求解函数的极限。这种方法在一些特殊的函数极限求解中有着重要的应用。总结起来，求函数极限的方法有很多种，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。在实际应用中，我们可以根据函数的性质、不定型、级数展开等因素来选择合适的方法，从而更加方便地求解函数的极限。希望以上总结对大家有所帮助，能够在学习和工作中更加灵活地运用函数极限的求解方法。