行列式的性质与计算
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
第一章 行列式·行列式的性质与计算
−3 3 D= 2 0 3 −5 4 −4 (− 4 ) × 1 − 1
1 − 1 2 − 3 1 × (−2) ⊕ 0 0 −1 0 − 2 −7 9 −5 ⊕ 4 − 2 1 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 7 − 14 6 10 − 10 2 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 − 3 1 2 − 3 1 × (−3)
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8, 3 5 8 6 6 2 1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
推论 式为零. 证明
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列 互换相同的两行，有 D = − D ,
∴ D = 0.
线
性
代
数
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D
c j + kc i
a11 L (ka1i + a1 j ) L a1 j L a1n kci + c j a21 L (ka2i + a1 j ) L a2 j L a2 j D M M M M an1 L (kani + a1 j ) L anj L anj
线
性
代
数
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结束
第一章
= a1 + b1 a3 + b3 a1 a3 a2 + b2 a1 = a4 + b4 a 3 + b3 a2 b1 + b4 a3 a2 b1 + a4 + b4 a 3 + b3 b2 b4
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a 2 a1 + a4 b3
行列式的性质有什么技巧吗
行列式的性质有什么技巧吗行列式是矩阵的一个重要性质，对于解方程组、求逆矩阵以及矩阵的特征值等计算都有着重要作用。
在计算行列式的过程中，可以根据行列式的性质来简化计算，提高计算效率。
下面将介绍一些常用的行列式的性质和计算技巧。
1. 行列互换性质：行列式的值不变，当交换行列式中任意两行（或两列）的位置。
例如，对于一个3阶行列式A，若交换第一行和第二行的位置，行列式值不变。
2. 行列式的取公因子性质：行列式的值等于公因子与剩余元素构成的行列式的值的乘积。
例如，对于一个3阶行列式A，如果第一行的元素可以取公因子k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以公因子k的行列式B的值，即A = k * B。
3. 行列式的倍性性质：行列式的某一行（或列）的元素乘以一个常数k，与行列式的值的乘积相等。
例如，对于一个3阶行列式A，如果将第一行的元素都乘以常数k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以常数k的行列式B的值，即A = k * B。
4. 行列式对行的线性关系：如果行列式中两行成比例，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行的元素都等于第二行元素的两倍，那么这个行列式的值为0。
5. 行列式的行列式和斜交性质：行列式中有两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行跟第二行完全相同，那么这个行列式的值为0。
6. 行列式的二次行列和二次展开定理：对于一个n阶的行列式，可以通过二次行列和二次展开定理来计算行列式的值。
即将行列式按矩阵中的某一行（或列）展开，然后将展开后的行列式分割成若干个小行列式，这些小行列式的值与对应元素的代数余子式成正负关系。
通过递归地计算这些小行列式的值，最终可以得到行列式的值。
7. 行列式的上三角行列的性质：一个上三角阵的行列式，等于对角线上的元素的乘积。
即对于一个n阶的上三角阵A，它的行列式的值等于A的对角线上的元素的乘积。
这个性质在求解方程组的过程中特别有用。
8. 行列式的性质与矩阵求逆的关系：如果一个矩阵A可逆，那么它的行列式不等于0；反之，如果一个矩阵的行列式不等于0，那么它可逆。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。
本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、定义与性质行列式是一个与方阵相对应的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式有以下几个重要性质：1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。
二、按行展开法按行展开法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。
假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。
按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。
因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。
三、性质运算法则根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。
1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
即方阵的转置不影响行列式的值。
2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。
如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。
3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。
这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。
四、克莱姆法则克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。
一、行列式的性质
1b bb
a (n 1)b
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
例3 计算
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
解 从第4行开始，后行减前行:
a r3 r4
b
c
d
0 r2 r3
小结
行列式的性质 (行列式中行与列具有同等的 地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样 成立).
计算行列式常用方法：
(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
anj
anj
性质6 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
性质7 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
a b bb b a bb
例2 计算 n 阶行列式 D b b a b
b b ba
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
由n阶行列式的定义和性质7，可得：
定理 设n阶方阵A=(aij),则有
n
| A | ,当 i j,
(1) aki Akj
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
线性代数行列式的计算与性质
线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。
绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。
不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。
此外，矩阵的绝对值是没有定义的。
因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。
例如，一个矩阵：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A=i h g f e dc b a，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下： 其中， 是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对 全部元素的求和，即对于每个 ，在加法算式中出现一次；对于每一对满足 的数对 ， 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
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1.3 n 阶行列式
n 阶行列式定义 D
=
a11 a12 a1a 122 a1a 221 a21 a22
D1
=
b1 b2
a12 a22
a2b 21a1b 22
a11 D a21
a12 a22
a13 a23
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32
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行列式定义性质与计算
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线性代数课程的性质与任务
称D为三阶行列式.
当 D0时， xj D D j ， j = 1，2，3
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
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1.2 排列
n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有
序
数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in.显然，n 级排列共有个n! .其 中，排列12…n称为自然排列.
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
(一次对换改变排列的奇偶性).
推论 n2时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，
各为n! 2 个.
证明思路：由特殊推一般
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行列式的性质与计算
行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。
行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义
行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。
这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。
行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质
1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描
述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。
即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的
元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。
即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。
即，如果i=j，那么
Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式
相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相
等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。
三、行列式的计算
行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的计算方法：
1.利用定义计算
根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。
对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数
余子式。
利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算
利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。
这些方法都可以简化行列式的计算。
3.利用递推公式计算
对于一些特殊的行列式，我们可以利用递推公式来计算它们的值。
例如，对于范德蒙德行列式（Vandermonde determinant），我们可以利用递推公式来计算；对于切比雪夫行列式（Chebyshev determinant），我们也可以利用递推公式来计算等等。
这些递推公式都是根据一定的规律推导出来的，可以大大简化行列式的计算过程。