空间曲线曲率计算公式及推导
1.4 空间曲线的曲率定义及
计算公式
引理 设)(s a →
是单位圆周上的向量，即1||)(||=→
s a ，
设)(s s a ?+→
与)(s a →
之间的夹角记
为θ?，则有 ||lim ||)(||0s
s a s ??='→?
→
θ 。 证明 因为
s
s a s s a s a s ?-?+='→
→
→?→
)
()(lim )(0， 所以|
|||
)()(||lim
||)(||0s s a s s a s a s ?-?+='→
→→?→
|||2
2sin
2|lim |2sin 2|lim 00s
s s s ?????=??=→?→?θθθ
θ |
|lim 0s s ??=→?θ 。
（用解等腰三角形或用余弦定理，得
θ
????-+=-?+→
→
cos 11211||)()(||22s a s s a
|2
sin |2)2sin 21(222
θ
θ?=?--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r →
→=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ?+→
与)(s a →
之间的夹角记为θ?，那么
||
lim ||)(||0
s
s a s ??='→?→
θ
。 设曲线Γ：)(s r r →
→
=，这里参数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量，
1||)(||='→
s r ，即)(s r →
'是单位向量。
记)(s r T →→'=，)()(s r s T →
→''='，
)(s T →
与)(s s T ?+→
的夹角
θ?，
||lim 0s
s ??→?θ度量了曲线的弯曲程度。 ||
lim ||)(||||)(||0
s
s r s T s ??=''='→?→
→θ
，我们称之为曲线)(s r →
的 曲率，用)(s k 来表
示，
||)(||)(s r s k →
''=。
（举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程度。）
例1． 直线可以用向量方程表示为→
→→+=v s u s r )(，其中→
u 和→
v 为常向量，并且1||||=→
u ，这时切向量
→
→
→
='=u
s r s T )()(是常向量，从而
0)(=''→
s r ，曲率0)(=s k 。
反之，如果0=k ，即0)(=''→
s r ， 由此可知)(s r →
'是常向量，进而解得→
→
→
+=v s u s r )(，其中→
u 和→
v 为常向量。
由此可知：直线的特征是0=k 。
例2． 讨论圆
)sin ,cos ()(a
s
a a s a s r =→
。
（这是由于
)sin ,cos ()(θθθa a r =→
，
而θ
a s =，a
s =
θ，故圆的方程可表
示为)sin ,cos ()(a s
a a s a s r =→
。
） 这时，)cos ,sin ()(a s a s s r -='→
，
)sin 1,cos 1()(a
s
a a s a s r --=''→
。
于是，a s r s k 1
||)(||)(=''=→
，
即圆的曲率等于其半径的倒数。
空间曲线曲率的计算公式： 设曲线Γ：)(t r r →
→
=，这里参数
t 不必是弧长参数。
我们有ds dt
t r ds dt dt r d ds r d )(→→
→
'==，
22
22
2
)())((ds
t
d t r ds dt t r ds r d →
→
→
'+''=， 将以上两式的双方作向量外积，得
3
22))((ds
dt t r r ds r d ds r d →→→
→
''?'=?， 由于1||||2
=→
ds r d ，1=?→
→ds r d ds r d ，
得022=?→
→
ds r
d ds r d ，（即互相垂直）
所以
||
||)(22ds
r
d t k →
=
||||22ds
r d ds r d →
→
?= |)(|||)()(||3
ds
dt t r t r ?''?'=→
→
由于ds r d =→
||||，
所以3
333||)(||||||||||||-→--'===t r dt
r d dt ds ds dt ， 由此得出曲率公式
3
||
)(||||)()(||)(t r t r t r t k →
→
→
'''?'=
。
))(),(),(()(t z t y t x t r =→
，
把2
||)()(||t r t r →
→
''?'
222))(),((||)(||||)(||t r t r t r t r →
→→→'''-'''=
))()()(())()()((222222t z t y t x t z t y t x ''+''+''?'+'+'=
2))()()()()()((t z t z t y t y t x t x '''+'''+'''-，
代入曲率公式，可得简便计算公式
3
||
)(||||
)()(||)(t r t r t r t k →
→
→'''?'=
1
2222
3
1
[||()||||()||((),())]
||()||
r t r t r t r t r t →
→
→
→
→
''''''=
?-' 。
例3 求圆柱螺线
),sin ,cos ()(bt t a t a t r =→
，0>a 的曲率。
解 直接计算，得
),cos ,sin ()(b t a t a t r -='→
，
)0,sin ,cos ()(t a t a t r --=''→
，
所以，
22||||b a r +='→
，
||||r a →
''=，
((),())0r t r t →→
'''=，
又2
||)()(||t r t r →
→''?'
222))(),((||)(||||)(||t r t r t r t r →
→→→'''-'''=
222()a a b =+，
代入公式
3
||
)(||||)()(||)(t r t r t r t k →
→
→
'''?'=
，
得出曲率
22
b a a k +=。
它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。
平面曲线的曲率计算公式： 设平面曲线L ：))(),(()(t y t x t r =→
。
2||)()(||t r t r →
→
''?'
2
2
2
))(),((||)(||||)(||t r t r t r t r →
→
→
→
'''-'''= ))()(())()((2222t y t x t y t x ''+''?'+'=
2
))()()()((t y t y t x t x '''+'''-
2))()()()((t y t x t y t x '''-'''=，
所以，平面曲线L ：
))(),(()(t y t x t r =→
的曲率
2
322
)
)()((|)()()()(|)(t y t x t y t x t y t x t k '+''''-'''=
。
对曲线)(x y y =，
此时?
??==)(x y y x x ， 则曲率
2
32)
)(1(|)(|)(x y x y x k '+''=
。
若曲线由极坐标方程)(θr r =给出，且()r θ二阶可导。 则可得
???==θ
θθθsin )(cos )(r y r x ????+'='
-'='θ
θθθcos sin sin cos r r y r r x
??
??-'+''=''-'-''=''θθθθ
θθsin cos 2sin cos sin 2cos r r r y r r r x 由曲率公式
32
2
2
|()()()()|()(()())
x t y t x t y t k t x t y t ''''''-=
''+，
可计算：
2222)()(r r y x +'='+'θθ
()()()()
x y x y θθθθ''''''-22222(cos sin sin 2cos 2cos sin cos sin sin )
rr rr r rr rr r θθθθθθθθθ'''''''=-+--+22222(cos sin cos 2sin 2cos sin cos sin cos )
rr rr r rr rr r θθθθθθθθθ'''''''-+----2
2r r rr '''=+-。
代入，得曲率为
2
32
2
2)
(2r r r r r r K '+''-'+=
。
例6求心形线)0)(cos 1(>+=a a r θ在0=θ处的曲率。 解
'00''
()2sin 0cos r a r a r a a
θθθθθθθ
======-==-=-，
代入公式
2
32
2
2
)
(2r r r r r r K '+''-'+=
，
∴
它在0θ
= 曲率为
()
()2
322
22()
3
42a a a k a a --=
=
????
。
空间曲线曲率公式的另一种证明方法：
对光滑曲线：)
(t r r →
→
=，
],[βα∈t ，
?→
'=t
d r t s αττ||)(||)(，0||)(||>'=→
t r dt
ds ， ||)(||11t r dt
ds ds dt →
'==，
)(t s s =严格递增，反函数存在，记
为
)(s t t =，把它代入)(t r r →
→=；
所以，→
r 是s 的函数，这里参数s 是弧长参数。 我们有
ds dt
dt r d ds r d →
→
=，
||||||||||||ds dt dt r d ds r d ?=→
→
1||
)(||1||)(||='?'=→→
t r t r 1||||2=→
ds r d ，1=?→
→ds
r d ds r d 。 空间曲线的曲率（描述曲线的弯曲程度）。
设曲线Γ的参数方程为：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =，βα≤≤t ，
并假设Γ是光滑曲线，且)(t x ''，)(t y ''，)(t z ''连续，
设)(s r r →
→
=，则曲率||)(||s r k →
''=。 设曲线Γ：
))(),(),(()(t z t y t x t r r ==→
→
，这里参
数t 不必是弧长参数。
我们有))(),(),(()(t z t y t x t r '''='→
，
))(),((||)(||2→
→→''='t r t r t r ，
]))(),([()||)((||2
1'''=''→
→
→
t r t r t r
?''=-
→
→
2
1))(),((2
1
t r t r ))(),((2→
→'''t r t r
||
)(||))(),((t r t r t r →
→
→''''=
；
?→
'=t
d r t s αττ||)(||)(，||)(||t r dt
ds →
'=， 1||||=→
ds
r
d ，1||||2=→
ds r d ，1=?→
→ds r d ds r d ， 0222
=?→
→
ds
r
d ds r d ，
022
=?→
→
ds r d ds r d ， ds
dt
t r ds dt dt r d ds r d )(→→
→'=?=， )()())((22
2ds
dt
ds d t r ds dt t r ds r d →→→
'+''=，
||)(||t r dt
ds →
'=，||)(||1t r ds dt →
'= ds dt
t r t r ds d ds dt ds d )||
)(||1()||)(||1()('
'='=→→ ds dt
t r t r )||)((||||
)(||1
2
'
''-=→
→ ||
)(||1||
)(||))(),((||
)(||12t r t r t r t r t r →
→
→
→→
'?
''''?
'-
=4
||
)(||))(),((t r t r t r →
→
→''''-
=，
由022=?→
→
ds r
d ds r d ，
代入计算，得
0)(||)(||))(()(22='+''?'→→
→
ds
dt ds d t r ds dt t r t r ， 由此而来
)(||)(||))(()(22ds dt ds d t r ds dt t r t r →→
→
'-=''?'， 由)()())((222
ds dt
ds d t r ds dt t r ds r d →→→
'+''=，得