平行线的判定及性质

授课主题平行线

1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理教学

目的

3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与b 平行，记作a∥b．要点诠释：

( 1) 平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

( 2) 有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

( 3) 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：( 1) 平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

( 2) 公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

要点三、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

1

要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平

行线的性质的一部

“两分内容，切不可忽视前提

直线平行”．

( 2) 从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

( 2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的

距离处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 .

（2）命题的表达形式：“如果,, ，那么,,.”，也可写成：“若,, ，则,,.”

（3）真命题与假命题：

真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命

题

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据 .

3. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事

实、定理等 .

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移

1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来

说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；2

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线

例1．下列说法正确的是()

A．不相交的两条线段是平行线.

B．不相交的两条直线是平行线.

C．不相交的两条射线是平行线.

D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

【答案】D

例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3) .

【变式1】下列说法正确的个数是()

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个B .2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、两直线平行的判定

例 3.如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC ＝∠BCA；

（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD ∥BC 的条件有（）.

A ．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（4）D ．（1）（3）（4）