1经典物理学不能解释

习题

第一章 绪论

一、填空

1.经典物理学不能解释： 、 、 、 和 等问题。

2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式 ；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式 。这两个关系式合称为普朗克－爱因斯坦关系式。

3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。 二、概念与名词解释

1.黑体辐射

2.玻尔的量子论

3.光的波粒二象性

4.德布罗意关系

5.杜隆－珀蒂定律 三、计算

1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m T b λ= （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

3．氦原子的动能是kT E 2

3

=（k 为玻耳兹曼常数）

，求1T K =时，氦原子的德布罗意波长。

4．利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场10H T =，玻尔磁子124109???×=T J M B ，试计算动能的量子化间隔△E ，并与4T K =及100T K =的热运动能量相比较。

5．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？

第二章 波函数和薛定谔方程

一、填空

1. 一维谐振子的能量本征值n E 与_____有关，能量是量子化的。最低的能量是____，称为_____。能级都是等间距的，间隔都是____。

2. 定态的性质：粒子的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化。 二、概念与名词解释

1. 态叠加原理

2. 概率流守恒定律

3. 定态

4. 束缚态 三、计算

1．证明在定态中，几率流与时间无关。 2．由下列定态波函数计算几率流密度：

ikr ikr e r

e r ?==1

)2( 1)1(21ψψ

从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

3．一粒子在一维势场

??

?

??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

4．证明（2.6-14）式中的归一化常数是a

A 1

=

′

5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =?，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

7．一粒子在一维势阱中 ????

?≤>>=a

x a

x U x U ,0 ,0)(0 运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。

8．分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

????

???<≤≤?<≤<∞=，

，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10

x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。

第三章 量子力学中的力学量

一、概念与名词解释

1．转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符 2．算符对易与不对易 3．不确定关系 4．奇宇称，偶宇称 5．维里定理 二、计算

1．一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ

αψ2

2

22)(??

=，求：

(1)势能的平均值221

2

U x μω=

； (2)动能的平均值2

2p T μ=；

(3)动量的几率分布函数。 2．氢原子处在基态0/30

1

),,(a r e a r ?=π?θψ，求：

(1)r 的平均值； (2)势能r

e 2

?的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

3．证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2

sin m n e r m e J A =ψθ

μ?=

4．由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为

????

??

???==)( 2)( 2CGS c me SI me M M z μμ==

原子磁矩与角动量之比为

??????

???=)( 2)( 2CGS c e SI e

L M z

z μμ

这个比值称为回转磁比率。

5．一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是2

2L H I =，L 为角动

量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

(1)转子绕一固定轴转动； (2)转子绕一固定点转动。

6．设t=0时，粒子的状态为

212()[sin cos ]x A kx kx ψ=+ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

7．一维运动粒子的状态是

, 0

() 0, 0

x Axe x x x λψ??≥=?

，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

8．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数

()()x Ax a x ψ=?

描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

9．设氢原子处于状态

211021111(,,)()(,)()(,)22

r R r Y R r Y ψθφθφθφ?=

? 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率

和这些力学量的平均值。

10．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 , ;

()0, r a U r r a ∞≥?=?

11．求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=???p x 12．粒子处于状态

2

1/2

0221

()()exp[24i x x p x ψπξξ

=?=

式中ξ为常量。求粒子的动量平均值，并计算测不准关系22()()?x p ???=

13．利用测不准关系估计氢原子的基态能量。

第四章 态和力学量的表象

一、概念与名词解释

1．表象 2．希尔伯特空间

3．希尔伯特空间中矢量的内积

4．幺正矩阵，幺正变换 5．占有数表象 二、计算

1．求在动量表象中角动量?x L 的矩阵元和2?x

L 的矩阵元。 2．求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 3．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 4．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

5．设已知在2??z L L 和的共同表象中，算符?x L 和?y

L 的矩阵分别为

010101010x L ???=??

?

000200y i L i i i ???

??

=??????? 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵x y L L 和对角化。

6．求连续性方程的矩阵表示。

第五章 微扰理论

一、概念与名词解释

1．斯塔克效应 2．跃迁概率 3．费米黄金规则 4．选择定则 二、计算

1．如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

2．转动惯量为I 、电偶极矩为D G 的空间转子处在均匀电场在εG

中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

3．设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰?H

′的作用，微扰矩阵元为b H H a H H =′=′=′=′22112112

，；a b 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

4．设在0t =时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sin t εω，ε及ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。

5．基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

???≥≤=?)(0 ,0 ,0/0为大于零的参数当当τεετ

t e t t 求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。

6．计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

7．计算氢原子由2p 态跃迁到1s 态时所发出的光谱线强度。 8．求线性谐振子偶极跃迁的选择定则

第六章 电子自旋

一、填空

1． 实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一。为了解释该实验， 和 提出了电子具有自旋角动量的说法。

2．在),?(x 2σσ的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、

_____和_____。

1．电子自旋 2．泡利矩阵

3．无耦合表象，耦合表象

4．塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算

1．证明：???x y z i σ

σσ= 2．求在自旋态)(1z S χ中，?x S 和?y

S 的测不准关系： 22()()?x y S S ??=

3．求010??10022x y i S S i ?????==?????????==及的本征值和所属的本征函数。 4．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影 γβαcos ?cos ?cos ??z

y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量?z S 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？?z

S 的平均值是多少？ 5．设氢的状态是 ?????

?

????

???=),()(23),()(2

110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量?z L 和自旋角动量z 分量?z

S 的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?G

G G μ

μ??=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

第七章 全同粒子体系

一、填空

1．___、___、___以及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子称为全同粒子。 2．在量子统计中，由费米子组成的体系服从____统计，由玻色子组成的体

系服从____统计。

1．全同性原理 2．费米子，玻色子 3．泡利不相容原理

三、计算

1．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有

两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

2．证明)

3()2()1(,,S

S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 3．设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222

1

)(r r U μω=

。如果电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。