导数十年真题分类汇编(带答案)

导数十年真题分类汇编（带答案）
一．基础题组
1. 【2010全国新课标，文4】曲线y ＝x 3
－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为…( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 【答案】：A
【解析】y ′|x ＝1＝(3x 2
－2)|x ＝1＝1，因此曲线在(1,0)处的切线方程为y ＝x －1. 2. 【2010全国2，文7】若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1 【答案】：A
【解析】∵y ′＝2x ＋a ，∴k ＝y ′|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线：0－b ＋1＝0，∴b ＝1，∴a ＝1，b ＝1.
3. 【2007全国2，文8】已知曲线
2
4x y =
的一条切线的斜率为12
,则切点的横坐标为( ) (A)1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
【答案】：A
【解析】f'（x ）=x/2，k=f'(x)=x/2=1/2，x=1，所以：切点的横坐标是1.
4. 【2012全国新课标，文13】曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 【答案】：4x －y －3＝0
5. 【2005全国3，文15】曲线3
2x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】x+y-2=0
【解析】'
2
23y x =-，1k =-，∴切线方程为11(1)y x -=-⨯-，即20x y +-=.
6. 【2015新课标2文数】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线
()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．
【答案】8 【解析】
试题分析：由1
1y x
'=+
可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 二．能力题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，文21】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2e －x
. (1)求f (x )的极小值和极大值；
(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
(2)设切点为(t ，f (t ))，
则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )． 所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝()2
23'()22
f t t t t t f t t t -
=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令h (x )＝2
x x
+
(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为22 当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪223，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪223，＋∞)． 2. 【2005全国2，文21】(本小题满分12分)
设为实数，函数32()f x x x x a =--+． (Ⅰ) ()f x 的极值；
(Ⅱ) 当在什么范围内取值时，曲线()y f x =与轴仅有一个交点． 【解析】：(I)'()f x =32x －2－1 若'()f x =0，则==－
1
3
， =1 当变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：
(－∞，－
13
) －
13
(－
1
3
，1) 1 (1，+∞)
'()f x + 0 － 0 + ()f x
极大值
极小值
∴()f x 的极大值是15
()327
f a -=
+，极小值是(1)1f a =- ∴当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与轴仅有一个交点。

3. 【2010全国新课标，文21】设函数f(x)＝x(e x
－1)－ax 2
. (1)若a ＝
1
2
，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．
【解析】：(1)a ＝
12时，f (x )＝x (e x
－1)－12
x 2， f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．
当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )＞0.
故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调增加，在(－1,0)上单调减少． (2)f (x )＝x (e x
－1－ax )．
令g (x )＝e x
－1－ax ，则g ′(x )＝e x
－a .
若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，则g (0)＝0，从而当x ≥0时
g (x )≥0，
即f (x )≥0.
若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，而g (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时g (x )＜0，即f (x )＜0. 综合得a 的取值范围为(－∞，1]． 三．拔高题组
1. 【2014全国2，文11】若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则的取值范围是（ ）
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 【答案】D
2. 【2013课标全国Ⅱ，文11】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )． A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】：C
【解析】：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．
3. 【2014全国2，文21】（本小题满分12分） 已知函数3
2
()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐
标为2-. （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k
<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.
增.所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y
f x =与直线2y kx =-只有一个交点.
4. 【2012全国新课标，文21】设函数f (x )＝e x
－ax －2． (1)求f (x )的单调区间；
(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值． 【解析】：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x
－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，
所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．
(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x
－1)＋x ＋1. 故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜1
e 1
x
x +-＋x (x ＞0)．① 令g (x )＝
1
e 1
x
x +-＋x ， 则22
e 1e e 2()1e 1e 1x x x x x x x g'x --(--)
=+=(-)(-).
由(1)知，函数h (x )＝e x
－x －2在(0，＋∞)上单调递增． 而h (1)＜0，h (2)＞0，
所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点． 故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)． 当x ∈(0，α)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )＞0.
所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．
又由g ′(α)＝0，可得e α
＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k ＜g (α)，故整数k 的最大值为2.
5. 【2010全国2，文21】已知函数f (x )＝x 3
－3ax 2
＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；
(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．
(2)f ′(x )＝3(x －a )2＋1－a 2
]．
当1－a 2
≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根
x 1＝a 21a -x 2＝a 21a -.
由题意知：2＜a －21a -＜3， ① 或2＜a ＋21a -＜3. ② ①式无解，②式的解为
54＜a ＜53.因此a 的取值范围是(54，5
3
)． 6. 【2007全国2，文22】（本小题满分12分） 已知函数f (x )=
3
1ax 3-bx 2
+(2-b)x +1 在x =x 1处取得极大值，在x =x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. （1）证明a ＞0;
（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >.
（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即202204420b a b b a b b ->⎧⎪
-+-<⎨⎪-+->⎩.
化简得20
3204520b a b a b ->⎧⎪
-+<⎨⎪-+>⎩
.
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，
. 所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，，，
，. 在这三点的值依次为
16687
，，.
所以的取值范围为1687⎛⎫
⎪⎝⎭
，. 7. 【2005全国3，文21】(本小题满分12分)
用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
8.【2017新课标2，文21】（12分）
设函数2()(1)e x
f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求的取值范围.
【答案】（1）在(,12)-∞-和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)--单调递增；（2）[1,)+∞. 【解析】
试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a ≥1时，()(1)(1)e 11x
f x x x x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，
取
20000051,()(1)(1)112x f x x x ax -=
>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0541
2
a x --=
， 20000()(1)(1)1f x x x ax >-+>+.
试题解析：（1）2
()(12)e x
f x x x '=--. 令()0f x '=得121+2x x =--=-，.
当(,12)x ∈-∞--时，()0f x '<；当(12,12)x ∈---+时，()0f x '>；当
(12,)x ∈-++∞时，()0f x '<.
当0＜x ＜1时，2()(1)(1)f x x x >-+，22
(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取
0541
a x --=
，
则2
000000(0,1),(1)(1)10,()1x x x ax f x ax ∈-+--=>+故.
当0a ≤时，取051x -=
则0(0,1),x ∈2
0000()(1)(1)11f x x x ax >-+=>+. 综上，a 的取值范围是1，+∞）.
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
9. 【2015新课标2文数】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.
（I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增,在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；（II ）()0,1. 【解析】
（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1
f x a x
'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以
()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增,在1,a
⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
单调递减.
（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1
x a
=取得最大值
,
最
大
值
为
111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因
此
122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是
()0,1.
【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
10. 【2016新课标2文数】 (本小题满分12分)
已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
(Ⅰ)当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞
【解析】 设(1)()ln 1
-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)
+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，22
2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)+∞上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
22121(1)1,1(1)1=---=---x a a x a a
由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0<g x .
综上，的取值范围是(],2.-∞
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；
(2)求导数y ′＝f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．。