第3讲-行程问题之比例行程

第3讲 行程问题之比例行程

例1．一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 : 2 : 3，小明走各段路所用的时间的比依次为4 : 5 : 6，已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，问小明走完全程用 小时。

解：已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，上坡的路程是53

千米， t =

s t ，∴ 上坡的时间是59

小时。 所以平路的路程是103千米，下坡的路程是153

千米， 时间的比依次为4 : 5 : 6，上坡的时间是59

小时， 所以走完全程的时间是59×4+5+64=1512=54（小时）。

例2．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点30千米，则A 、B 两地相距多少千米？

解：设AB 两地的距离是7x 千米，则AC =4x ，BC =3x ，CD =30，

从C 点相遇后到第二次相遇于点D ，甲走了2×BC +CD ，乙走了2×AC –CD ，

所以(2×3x +30) : (2×4x –30)=4 : 3，解得x =15，

所以AB 之间的距离是15×7=105（千米）。

例3．小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路，并且小芳上学走这两条路所用时间一样多，已知下坡速度为平路的1.6倍，那么上坡速度为平路的 倍。

解：设路长为2S ，且小芳在平路上的速度为v ，则所用的时间是

2s v ， 下坡的速度为1.6v ，路程为S ，所用的时间是58s v

， 于是上坡的时间是2s v –58s v =118s v ，上坡的速度为811v ，上坡速度是平路的811倍。

例4．甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4千米/时的速度走了路程的一半，又以6千米/时的速度走完了另一半；乙班的比赛过程中，一半时间以4千米/时的速度行进，另一半时间以6千米/时的速度行进，问甲、乙两班哪个班将获胜？

解：设行军的路程为2S ，则甲班用的时间是46S S =512

S ， 设乙班的平均速度为5千米/时，所用乙班用的时间是25

S ， 512S >25

S ，所以乙班用的时间少，乙班将获胜。 例5．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了

19，结果提前D

一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶了280千米后，将车速提高

16，于是提前1小时40分钟到达北京。北京、上海两市间的距离是 千米。

解：设北京到上海的距离为S 千米，原计划用的速度是v ， 原计划所用的时间是S v

（小时）， S v –910S v =1.5， S v

=15（小时）， 返程时先走了280千米，后来车速提高了16，车速为76

v ， S v –[280v +6(280)7S v ]=53，所以15–[280v +907–16807v ]=53， 解得v =84，所以S =1260（千米）。

例6．有甲、乙、丙三辆车，各以一定的速度从某地出发同向而行，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，请问：甲出发多少分钟才能追上乙？

解：乙和丙比较，乙走40分钟时，丙走了50分钟，他们的速度比是5 : 4，

乙的速度是丙的速度的54

， 甲和丙比较，甲走了100分钟，丙走了130分钟，他们的速度比是13 : 10， 甲的速度是丙的速度的1310

， 所以甲和乙的速度比是26 : 25，时间比为25 : 26，

即甲用25分钟的时间走的路等于乙用26分钟时间走的路。

甲比乙晚出发20分钟，

所以甲追上乙时用的时间是25×20=500（分钟）=8小时20分钟。

例7．甲从A 地出发前往B 地，乙、丙两人从B 地出发前往A 地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B 地出发，结果甲和乙相遇在C 地，甲和丙相遇在D 地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C 、D 两地之间的距离是12千米，那么A 、B 两地之间的距离是 千米。

解：设甲走了50千米之后到达E 地，

已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，

所以ED =3DB ，DB =

14EB ；EC =1.5CB ，BC =25EB ，25EB –14EB =12， 所以320

EB =12，EB =80（千米）。 所以AB =50+80=130（千米）。

例8．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，两车分别到达B 地和A 地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变，已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A 、B 两地的距离是 千米。

E D C B

A

解：设AB两地之间的距离为a，两车第一次相遇的地点是C，

甲、乙的速度比是2 : 3，所以AC=2

5

a，BC=

3

5

a，

甲到达B点之时，乙已经又从A点出发到了D点，

此时甲走了a千米，所以乙走了3

2

a千米，所以D点是AB的中点，

甲的速度增加二分之一，提高到每小时60千米，与乙一样快，

而他们现在一个人在B点，另一个人在D点，第二次相遇的地点是DB的中点E，

EB=1

4

a，所以CE=

7

20

a，

7

20

a=50，a=

1000

7

（千米）。

随堂测试

1．一条小船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度是每小时9千米，平时顺行与逆行所用时间的比是1 : 2，一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用10小时，甲、乙两港之间相距千米。

解：设水流速度为v，顺水速度为9+v，逆水速度为9–v，9+v=2(9–v)，解得v=3，下暴雨后水速为每小时6千米，此时顺水速度为9+6=15，逆水速度为9–6=3，

顺水速度 : 逆水速度=5 : 1，所以顺水用的时间为逆水用的时间之比为1 : 5，

往返共用了10小时，所以顺水用的时间是5

3

小时，逆水用的时间是

25

3

小时，

所以甲、乙两港之间相距15×5

3

=25（千米）。

2．上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲乙两人同时到达各自的目的地，那么乙从B地出发时是8点分。

解：设甲、乙相遇于点C，则甲用了20分钟走AC的路程，而乙用10分钟走完AC路程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，

甲走BC用的时间是10分钟，速度是原来的3倍，即如果是原来的速度需要30分钟，所以BC : AC=3 : 2，

乙走AC用10分钟，所以乙走BC需要10÷2×3=15分钟，

所以乙从B地出发的时间是8点5分。

3．每天小明上学都要经过一段平路AB，一段上坡路BC和一段下坡路CD。已知AB : BC : CD=1 : 2 : 1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3 : 2 : 4，如果小明上学与放学所用的时间比是n : m（其中m与n是互质的自然数），那么m+n的值是。

解：上学时平路为a，上坡路为2a，下坡路为a，所用的时间是

2

324

a a a

b b b

++=

19

12

a

b

，

放学时平路为a，下坡路为2a，上坡路为a，所用的时间是

2

342

a a a

b b b

++=

4

3

a

b

，

所以n : m=194

123

：=19 : 16，所以m+n=35.

4．李明和王亮从同一条跑道的起点同时同向出发，李明说：“我以8米/秒的速度跑全程的