第2章《质点运动学》习题解答

第2章 《质点运动学》习题解答

2.1.1 质点的运动学方程为

ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+- 求质点轨迹并用图表示。

【解】

①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5

②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得：3450y x +-=

2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k -=++ ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

【解】

①222t

t x e y e z -⎧=⎪

=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹：xy=1,z=2 ②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++ ,221ˆˆˆ2r e i e j k

-+=++ , 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-

2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++ ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

【解】

①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程

2(3)x y =-

②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+

2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为

0114100,33.7R m θ==，0.75s 后测得

022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

【解】

R ∆=

349.385()

R m ∆≈

349.385

465.8(/)0.75

R v m s t

∆≈

=

=∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-

2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为 2/200y x =（长度mm ）

。第一次观察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间2ms 后圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

【解】

19.6/r v t mm ms

∆≈==∆=

0112.5α≈-

2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s,电磁波传播的速度为8

3.010/m s ⨯。

【解】

1328

2117

0.05()340

23201020.0136()3.010340t s t s t t ∆=

=⨯∆=+=⨯∆<∆ 在广州的人先听到声音。

2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音

747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。

【解】

s

t v

∆∆=

2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西030方向行驶。求列车的平均加速度。

【解】

0012002120

ˆˆˆ90,70cos 6070cos30,ˆˆ70cos 60(70cos3090)913.91(/)0.071(/)913.910.0570

,sin 0.7659,49.99sin 30sin v j v i j v v v i j

v

a km h t m s θθθ

==-+∆=-=-+-∆===∆=⨯===

2.2.6 （1）ˆˆˆcos sin 2,r R ti

R tj tk =++ R 为正常数。求t=0,π/2时的速度和加速度。（2）23ˆˆˆ3 4.56,r ti t j t k

=-+ 求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 【解】 （1）

ˆˆˆcos sin 2,ˆˆˆsin cos 2,ˆˆcos sin r R ti R tj tk dr v R ti

R tj k dt dv a R ti

R tj dt

=++==-++==-- 当t=0时，

ˆˆˆ2, , 0,,2,,0

x y z x y z v Rj k a Ri

v v R v a R a a =+=-====-== 当t=π/2时，

ˆˆˆ-2, -, -,0,2,0,-,0

x y z x y z v Ri k a Rj

v R v v a a R a =+======= （2）

232ˆˆˆ3-4.56,ˆˆˆ3-918,ˆ-9r ti t j t k

dr v i tj t k dt dv a j

dt

=+==+==

当t=0时，ˆˆ3, -9, v i a j ==

当t=1时，ˆˆˆˆˆ3-918, -936, v i j k a j k

=+=+

2.3.1 图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。

【解】

a 直线的斜率为速度

0120 1.732(/)ax dx

v tg m s dt

=

==- 00,20t x m ==

000

20

0,

60,|2011.547()|x x x tg t s t ===== b 直线的斜率为速度

00000300.577(/)0,10()

10

30,|10/0.57717.331()|bx x x v tg m s t x m tg t s t ========-=--

c 直线的斜率为速度

000451(/)0,25()|25()

cx x v tg m s t x m t s =====-=

2.3.2 质点直线运动的运动学方程为x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。

【解】

sin cos(),

2cos cos()

x x v a t a t a a t a t π

π=-=+=-=+

质点受力cos F ma ma t mx ==-=-，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a -≤≤，速度具有周期性。

2.3.3 跳伞运动员的速度为