正弦定理练习题及答案解析
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1.在△ABC 中,A =60°,a =43,b =42,则( )
A .
B =45°或135° B .B =135°
C .B =45°
D .以上答案都不对
解析:选C.sin B =22,∵a >b ,∴B =45°.
2.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )
A. 6
B .2 C. 3 D. 2
解析:选D.由正弦定理6sin 120°=2sin C ?sin C =12,
于是C =30°?A =30°?a =c = 2.
3.在△ABC 中,若tan A =13,C =150°,BC =1,则AB =__________.
解析:在△ABC 中,若tan A =13,C =150°,
∴A 为锐角,sin A =110
,BC =1, 则根据正弦定理知AB =BC ·sin C sin A =102. 答案:102
4.已知△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,交对边BC 于D ,求证:BD DC =AB AC .
证明:如图所示,设∠ADB =θ,
则∠ADC =π-θ.
在△ABD 中,由正弦定理得: BD sin A 2
=AB sin θ,即BD AB =sin A 2sin θ;①
在△ACD 中,CD sin A 2=AC sin ?π-θ?,
∴CD AC =sin A 2sin θ.②
由①②得BD AB =CD AC ,
∴BD DC =AB AC .
一、选择题
1.在△ABC 中,a =5,b =3,C =120°,则sin A ∶sin B 的值是( )
A.53
B.35
C.37
D.57
解析:选A.根据正弦定理得sin A sin B =a b =53.
2.在△ABC 中,若sin A a =cos C c ,则C 的值为( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
解析:选B.∵sin A a =cos C c ,∴sin A cos C =a c ,
又由正弦定理a c =sin A sin C .
∴cos C =sin C ,即C =45°,故选B.
3.(2010年高考湖北卷)在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B =( )
A .-223
B.223 C .-63 D.63
解析:选D.由正弦定理得15sin 60°=10sin B , ∴sin B =10·sin 60°15=10×3215=33.
∵a >b ,A =60°,∴B 为锐角.
∴cos B =1-sin 2B =1-?33?2=63.
4.在△ABC 中,a =b sin A ,则△ABC 一定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰三角形
解析:选B.由题意有a sin A =b =b sin B ,则sin B =1,即角B 为直角,故△ABC 是直角三角形.
5.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A =π3,a =3,b =1,则c =( )
A .1
B .2 C.3-1 D. 3
解析:选B.由正弦定理a sin A =b sin B ,可得3sin π3
=1sin B ,
∴sin B =12,故B =30°或150°.
由a >b ,得A >B ,∴B =30°.
故C =90°,由勾股定理得c =2.
6.(2011年天津质检)在△ABC 中,如果A =60°,c =4,a =4,则此三角形有( )
A .两解
B .一解
C .无解
D .无穷多解
解析:选B.因c sin A =23<4,且a =c ,故有唯一解.
二、填空题
7.在△ABC 中,已知BC =5,sin C =2sin A ,则AB =________.
解析:AB =sin C sin A BC =2BC =2 5.
答案:2 5
8.在△ABC 中,B =30°,C =120°,则a ∶b ∶c =________.
解析:A =180°-30°-120°=30°,
由正弦定理得:
a ∶
b ∶
c =sin A ∶sin B ∶sin C =1∶1∶ 3.
答案:1∶1∶ 3
9.(2010年高考北京卷)在△ABC 中,若b =1,c =3,∠C =2π3,则a =________.
解析:由正弦定理,有3sin 2π3
=1sin B , ∴sin B =12.∵∠C 为钝角,
∴∠B 必为锐角,∴∠B =π6,
∴∠A =π6
. ∴a =b =1.
答案:1
三、解答题
10.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =4∶5∶6,且a +b +c =30,求a .
解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =a 2R ∶b 2R ∶c 2R =a ∶b ∶c ,
∴a ∶b ∶c =4∶5∶6.∴a =30×415=8.
11.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c .已知a =5,b =2,B =120°,解此三角形. 解:法一:根据正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =a sin B b =5×322=534>1.所以A 不存在,
即此三角形无解.
法二:因为a =5,b =2,B =120°,所以A >B =120°.所以A +B >240°,这与A +B +C =180°矛盾.所以此三角形无解.
法三:因为a =5,b =2,B =120°,所以a sin B =5sin 120°=532,所以b <a sin B .又因
为若三角形存在,则b sin A =a sin B ,得b >a sin B ,所以此三角形无解.