考点15三角恒等变换高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过
考点15 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=（3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +22)a b x ϕ++，其中2222cos a ba b ϕϕ==++二、简单的三角恒等变换 1．半角公式 （1）sin2α=1cos 2α- （2）cos2α=1cos 2α+ （3）tan2α=1cos sin 1cos 1cos 1cos sin αααααα--==++【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.+-________．122cos821sin8考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°. 典例2 求下列各式的值： （1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2．o o2cos553sin5-的值为__________． 典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β= A ．π4B ．π4-C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C【解析】因为tan 2(α−β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---, 所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1.又tan α=tan[(α−β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭,又α∈(0,π),所以0<α<π4. 又π2<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=3π4-.故选C ． 【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围. 3．已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且02βαπ<<<. （1）求α2tan 的值． （2）求β的值. 典例4 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【解析】（1）由于角的终边经过点，所以，..（2）.则，故.【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角. 4．已知()2tan 5αβ+=，π1tan 44β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos sin cos sin αααα+-的值为______________.考向三 三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式． （2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意. 典例5 已知函数.（1）求函数的对称中心及最小正周期；（2）ABC △的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且，求的值.【解析】（1）22π()43sin cos sin 3cos 123sin 22cos 24sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=-=-⎪⎝⎭. 由2ππ2=，得最小正周期为. 令π2π()6x k k -=∈Z ，得ππ122x k +=()k ∈Z ，故对称中心为ππ0122k ⎛⎫+⎪⎝⎭，（）.（2）∵，∴.∵，，∴，∵，∴ ，又∵，∴，即，即，∵，∴，∴， ∵，∴，∴.∴. 5．已知向量()()sin ,2,cos ,1θθ==a b ，且,a b 共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.1．cos45°·cos15°＋si n45°·sin15°＝ A ．12B ．32C 3D 32．已知，则的值是A．2425-B ．1225-C．1225D．24253．已知锐角,αβ满足1025sin,cos105αβ==，则αβ+的值为A．3π4B．π4C．π6D．3π4或π44．已知，则A．B．C．D．5．已知为锐角，为第二象限角，且，，则A．12-B．12C．32-D．326．函数图象的一条对称轴为A．π4x=B．π8x=C．π8x=-D．π4x=-7．已知cos25π22sin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭，则A．18-B．8-C．18D．88．已知5cosθ=-，且，则__________．9．已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示).10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________. 11．已知函数()2ππsin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若00π02x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12．已知tan 2α=．（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 13．在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值； （2）求的值.14．已知,(),函数,函数的最小正周期为． (1)求函数的表达式; (2)设,且,求的值．15．已知函数()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()36f x =，求cos2x 的值. 16．在ABC △中，角所对的边分别为，.（1）求； （2）若，ABC △的周长为，求ABC △的面积.1．（2018新课标全国Ⅲ文科）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89 B ．79 C ．79-D ．89-2．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．793．（2016新课标全国Ⅲ文科）若tan 13θ=，则cos2θ= A ．45- B ．15- C ．15 D ．454．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15B 5C 25D ．15．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________． 6．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 7．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-= .8．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 9．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．1．【答案】−2sin4【解析】原式=224cos 42(sin 4cos 4)2|cos 4|2|sin 4cos 4|+-=+-， 因为53π4π42<<， 所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4. 2．【答案】1 【解析】()2cos 6053sin52cos553sin5cos53sin53sin51cos5cos5cos5︒-︒-︒︒-︒︒+︒-︒===︒︒︒.（2）由02βαπ<<<，得0.2αβπ<-< 又1413)cos(=-βα ， 1433)1413(1)(cos 1)sin(22=-=--=-∴βαβα. 由)(βααβ--=得)](cos[cos βααβ--= 211433734141371)sin(sin )cos(cos =⨯+⨯=-+-=βααβαα. 4．【答案】322【解析】因为πtantan cos sin 1tan π4tan πcos sin 1tan 41tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭-⋅， 且()()()πtan tan ππ4tan tan π441tan tan 4αββααββαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++⋅- ⎪⎝⎭，将()2π1tan ,tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭代入可得21cos sin 35421cos sin 22154αααα-+==-+⨯. 5．【解析】（1）∵∥a b ，∴，即.变式拓展∴.1．【答案】B【解析】cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝.故选B ．2．【答案】A 【解析】，∵，∴，∴，故选A ．3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以3105cos ,sin 105αβ==， 因此()310251052cos cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=， 因为()0,παβ+∈，所以π4αβ+=，选B ． 4．【答案】D【解析】ππtan tanπππ1363tan tan 23ππ663131tan tan 63αααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-===-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭，故选D ． 5．【答案】B【解析】因为为锐角，为第二象限角，，，所以为第二象限角，因此sin ，cos， 所以,因为为锐角，所以 ，2)=cos,选B ．6．【答案】C 【解析】由题意得，考点冲关令，得，当时，π8x =-． 故π8x =-是函数图象的一条对称轴．故选C ． 7．【答案】D【解析】22cos2cos sin 5cos sin πsin cos 22sin 4αααααααα-==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而，则1sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos αααααααα+=+==，故选D ． 8．【答案】43【解析】因为且，所以，所以．9．【答案】；【解析】，且， ；∵，.11．【答案】3518【解析】由()2sin 23sin cos f x x x x =+ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得π()2sin(2)6f x x =-12+，由00π1()2sin(2)062f x x =-+=，得0π1sin(2)=064x --<, 又0π02x ≤≤，0ππ5π2666x -≤-≤，所以0ππ2066x -≤-≤，故0π15cos(2)64x -=，此时：0000ππππππ351cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 6666668x x x x +=-+=---=.12．【解析】（1）πtan tanπtan 1214tan 3π41tan 121tan tan 4ααααα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-. （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=. 13．【解析】（1）因为点P 的横坐标为，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝，所以cos2α＝2cos 2α－1＝． （2）因为点Q 的纵坐标为，所以sin β＝．又因为β为锐角，所以cos β＝． 因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝，因此sin2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝． 14．【解析】(1)=,因为函数的最小正周期为,所以,解得,所以．(2)由,得,因为,所以,所以,所以====．15．【解析】（1）()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 2133sin cos 22x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+- 31sin2cos24x x =-1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，即π2π2π22π33k x k -≤≤+， 则ππππ63k x k -≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为ππππ63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z . （2）∵()1π3sin 2266f x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴π3sin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴πππ2663x -≤-≤，∴π6cos 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3π1cos 2sin 26262x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 63132=⨯-⨯232=-. （2）因为，所以，所以，，或，解得或， 因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.1．【答案】B直通高考【解析】，故选B.2．【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3．【答案】D【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++．故选D. 5．【答案】【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得.6．5【解析】2()215f x ≤+=【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22|sin cos |a x b x a b +≤+求最值. 7．【答案】31010【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=， 因为π(0,)2α∈，所以55cos 55αα==，因为πππcos()cos cos sin sin 444ααα-=+，所以π52252310cos()4525210α-=⨯+=. 9．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=225sin()1cos ()αβαβ+-+， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．。
2019年高考数学(文)：专题09-三角恒等变换与解三角形(命题猜想)(含答案和解析)
【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、（2018年全国III 卷）若，则A.B.C.D.【答案】B【解析】，故答案为B.【变式探究】【2017山东，文7】函数最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【变式探究】(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.【解析】基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以 cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45.tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】 （Ⅰ）由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得2a b c +=.【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2si n Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0， ∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c. 【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的应用例3、（2018年天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –)． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值． 【答案】(Ⅰ)B =；(Ⅱ)b =，【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B =．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =，有，故b =．由，可得．因为a <c ，故．因此，所以，【变式探究】【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题23三角函数三角恒等变换文含解析
专题23 三角函数三角恒等变换【考点讲解】1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）一、具本目标：1. 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.2. 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.3. 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.4. 逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.5. 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.二、知识概述：知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式：，.两角和与差的余弦公式：，.两角和与差的正切公式：，.【特别提醒】公式的条件：1.两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：知识点二公式的变用1.两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：（其中φ角所在的象限由a,b的符号确定，φ的值由tanbaϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用.2.变形为，变形为.变形为，变形为来使用.条件为：知识点三 二倍角公式：1.2. 常见变形：（1），（2），；（3），.3. 半角公式：，，，.【真题分析】1．【17新课标III 文】已知，则=α2sin （ ）A ．97-B ．92- C ．92 D ．97【答案】A2．【17新课标III 文】函数的最大值为（ ）A ．56 B ．1 C ．53 D ．51【解析】将化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值. 由，因为，所以函数的最大值为56. 【答案】A3．【2016年渭南期中】已知向量a =（sin θ，2-），b =（1，cos θ），且a ⊥b ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】A4.【2017吉林二模】已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ） A ．125 B ．15± C ．15 D ．15-【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0），∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0），∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1=125，∴sin2θ+cos 2θ=15-．故选D ． 【答案】D等于（ ）A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 【解析】本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值.原式===cosα．故选D. 【答案】D6．【2018全国二卷15】已知，，则s i n ()αβ+=__________．【解析】本题考点：同角三角函数的平方和、两角和的正弦公式. 将已知两式平方与，将平方后的两式相加整理得：，，也就是.【答案】21-7.【2015高考四川】.【答案】28.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC中恒有，，因此即最小值为8.【答案】8.9．【2015秦皇岛期中】若cos（α+β）=45，cos（α−β）=−45，，，则sin 2β= ．【解析】cos（α+β）=45， cos（α−β）=−45，，，∴sin（α+β）=−35，sin（α−β）=35，∴sin 2β=sin[α+β−（α−β）]=sin（α+β）cos（α−β）−cos（α+β）∙sin（α−β）=3()5-×4()5-−45×35=0. 【答案】010..已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则= .所以==cos2sin2αβαβ++=97．【答案】9711.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan3α=，．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解】（1）因为4tan3α=，sintancosααα=，所以．因为，所以29cos25α=，因此，．【答案】D6.设α为锐角，若，则（ ）A ．10 B ．10- C ．45 D ．45-【答案】A7.若，则（ ）A.1B.21 C.31 D.41【解析】，故选B.【答案】B8.A ．B ．C ．1tan151tan15+︒-︒D ．【解析】，，1tan151tan15+︒-︒，cos15=︒，故选C ．【答案】C9.已知tan （π4+α）=12，则的值为 ________．【答案】2 310.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．解：.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P--得4sin5α=-，所以.（Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P--得3cos5α=-，由得.由得，所以或.。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
2019年高考数学复习精选课件 第6节 简单的三角恒等变换
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方法技巧 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
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2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根 号中含有三角函数式时,一般需要升次.
1-1 化简: (1)sin 50°(1+ 3 tan 10°);
2cos4x 2cos2x 1
(2)
2 tan
4
x
sin
2
x
2
4
.
解析 (1)sin 50°(1+ 3 tan 10°)
=sin 50°(1+tan 60°tan 10°)
=sin 50°· cos60cos10 sin 60sin10
典例3 (1)设α,β为钝角,且sin α= 5 ,cos β=- 3 10 ,则α+β的值为 ( )
5
10
A. 3 B. 5 C. 7 D. 5 或 7
4
4
4
44
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)= 1 ,tan β=- 1 ,则2α-β的值为
.
2
7
答案 (1)C (2)- 3 π
cos
2
4
2 x
4cos2xsin2x 1
1 sin2 2x
=
=
4csoisn224x
x
Leabharlann cos= 1 cos
4
2x.
x
=
2019高考数学(文)二轮复习专题突破第8讲三角恒等变换与正、余弦定理
第8讲 三角恒等变换与正、余弦定理］典型真题硏析応年典型鼻羁选 解氐结论，拓届研：7T 37T1.(1)［2016全国卷I ］已知B 是第四象限角，且sin 0 + '=,则ta n‘ 0 -「'= ________________ .f7T⑵［2017 •全国卷 I ］已知 a€： '' ,ta n a =2,则 cos' a -「= _____________ .［试做］ _________________________________________________________________________疼'命题角度不同名三角函数的求值(i)解决“已知角”与“所求角”不同名的求值问题 ：关键一，根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变角”，对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角 ；关键二,利用诱导公式进行“变名”求值 (2) 常见的配角技a + /? a-p er + /? a-p a-p g a 巧:2 a =( a + 3 )+( a - 3 ), a =( a + 3 )- 3 , 3 =- , a = + ,= a + - +3 , 0 + - 0 -=等.12. (1)[2016 •全国卷川]若 tan 0 =-，则 cos 2 0 =()4 1 14A-B.-C.D ^2/2 ■ .(2)[2013 •全国卷n ］ 已知sin 2 a =，则 cos ' ：=(1 1 12 A B.D.［试做]_ _________________________________________________________________________山命题角度求高次幕或倍角的三角函数值问题(1) 解决已知正切值，求高次幕或倍角的三角函数值问题：关键一，应用倍角公式将倍角转化为2 2 2"已知角” 关键二，“1 ” 的代换,1=sin a +cos a =(sin a +cos a ) -2sin a • COS a 关键sina三,弦切互化,tan a =f(2) 解决已知倍角值，求高次幕的三角函数值问题：关键一，应用倍角公式将高次幕的三角函数转化为倍角；关键二，利用诱导公式进行变名求值.3. (1)[2017 •全国卷I ] △ ABC勺内角AB,C的对边分别为a，b，c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0，a=2，c=.，则C=( )Jl JTA ： B.'n ITD.$(2) [2018 •全国卷I] △ ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sinCb2+c2-a2=8,则厶ABC的面积为_______ .(3) [2014 •全国卷I]如图M28-1,为测量山高MN选择A和另一座山的山顶C为测量观测点. 从A点测得M点的仰角/ MAN60 ° ,。
2019年全国版高考数学(文)一轮复习必刷题：第七单元 三角恒等变换与解三角形
第七单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan α-π4=16,则tanα=.【解析】tanα=tan α-π4+π4=tanα-π4+tanπ41−tanα-π4tanπ4=16+11−16×1=75.【答案】752.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=().A.7B.1C.-1D.-7【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2³925-1=-725.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-32B.32C.-12D.12【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1,则cos (α-β)= .【解析】由题意知α+β=π+2k π(k ∈Z ),∴β=π+2k π-α(k ∈Z ),sin β=sin α,cos β=-cos α. 又sin α=13,∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β =-cos 2α+sin 2α=2sin 2α-1 =2³19-1=-79.【答案】-7考点二 解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A=( ).A.3 1010B.1010C.-1010D.-3 1010【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 则由题意得S △ABC =12³a ³13a=12ac sin B ,∴c= 23a.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+29a 2-2³a ³ 23a ³ 22=59a 2,∴b= 53a.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =59a 2+29a 2-a 22× 53a× 23a=- 1010.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .【解析】因为A ,C 为△ABC 的内角,且cos A=4,cos C=5,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin (π-A-C )=sin (A+C )=sin A cos C+cos A sin C=35³513+45³1213=6365.又a=1,所以由正弦定理得b=a sin B sin A =sin B sin A =6365³53=2113. 【答案】217.(2017年山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C+cos A sin C ,则下列等式成立的是( ).A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C )=sin A cos C+sin (A+C )=sin A cos C+sin B , 等式左边=sin B+2sin B cos C ,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B. 由正弦定理得a=2b.故选A . 【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC ,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD ,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示, sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=154,cos ∠ABC=14.所以S △BDC =12BC ²BD ²sin ∠DBC=1³2³2³15=15.因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14=BD 2+B C 2-C D 22BD ·BC=8−CD 28,所以CD= 10.由余弦定理,得cos ∠BDC=2×2× 10= 104.【答案】1521049.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是 .【解析】在锐角三角形ABC 中,∵sin A=2sin B sin C ,∴sin (B+C )=2sin B sin C ,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C ,等号两边同时除以cos B cos C ,得tan B+tan C=2tan B tan C. ∴tan A=tan [π-(B+C )]=-tan (B+C )=tan B +tan C tan B tan C -1=2tan B tan Ctan B tan C -1.①∵A ,B ,C 均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=tan Atan A -2. 又由tan B tan C>1,得tan Atan A -2>1,∴tan A>2. ∴tan A tan B tan C=tan 2A tan A -2=(tan A -2)2+4(tan A -2)+4tan A -2=(tan A-2)+4tan A -2+4≥2 4+4=8,当且仅当tan A-2=4tan A -2,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C 的最小值为8. 【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin (A+C )=8sin 2B2.(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.故cos B=15.(2)由cos B=15得sin B=8,故S △ABC =12ac sin B=417ac ,又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2³17³ 1+15=4. 所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=- 3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4c cos 2π3,即c 2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为S=12³4³2sin ∠BAC=2 所以△ABD 的面积为 3.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为a 2. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12ac sin B=a 23sin A ,即12c sin B=a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B=sin A3sin A, 故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-12,即cos (B+C )=-1,所以B+C=2π,故A=π.由题意得1bc sin A=a 2,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9.由bc=8,得b+c= 33. 故△ABC 的周长为3+ 33.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§7.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;;Tα-β:tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβTα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α==;.tan2α=2tanα1−tan2α三辅助角公式函数f (α)=a cos α+b sin α(a ,b 为常数),可以化为f (α)= a 2+b 2sin (α+φ) 其中tan φ=b a或f (α)= a 2+b 2cos (α-φ) 其中tan φ=a b.☞ 左学右考°cos15°-cos105°sin75°的值为 .函数f (x )=2sin x (sin x+ cos x )的最小值为 .若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan α-π4=( ).A .-2B .2C .-43D .43若α+β=3π4,求(1-tan α)(1-tan β)的值.知识清单一、cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin βtan α+tan β1−tan αtan β二、2cos 2α-1 1-2sin 2α基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin 75°=cos60°=12.【答案】12。
19高考数学题型方法全归纳 第三节 三角恒等变换
(2) sin( ) cos[( ) ] cos[ ( )]
2
2
cos cos( ) sin sin( )
2
2
cos sin sin cos
S : sin( ) sin cos cos sin
(3)
tan(
)
sin( cos(
)
sin cos cos cos
1 cos
; cos
1 cos ;
2
2
2
2
tan
2
sin 1 cos
1 cos sin a
.
辅助角公式
a sin b cos a2 b2 sin( ), tan b (ab 0), 角 的终边过点 (a,b) ，特殊 a
地，若 a sin b cos
a2 b2 或
a2
b2
.
解析(1)证法一：如图 4－32（a）所示，设角 , 的终边交单位圆于
P1(cos.sin ), P2 (cos( ),sin( )), ,由余弦定理得 P1P2 2 OP12 OP22 2OP1 OP2cos( ) [cos cos( )]2 [sin sin( )]2 2 2 cos( )
C.2
2
D. 2
变式 3
若 tan
1 tan
4 ，则 sin 2
(
).
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
5
4
3
2
二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）
将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解
题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题19简单的三角恒等变换(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式4. 重要结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．高频考点一 三角函数式的化简与求值 例1、(1)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 【答案】D(2)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 【答案】C【解析】4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin 100°－sin40°cos40°＝＋－sin40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝ 3.【变式探究】(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝__________________.【答案】(1)12cos2x (2)2683cosα，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝268. 【感悟提升】三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一． (3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次． 【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43【答案】(1)A (2)D高频考点二 三角函数的求角问题例2、(1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.解 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【变式探究】(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4【答案】(1)C (2)B 【解析】(1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－a ＋＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4【答案】(1)C (2)A＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、 [2017·浙江高考]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【变式探究】已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．【答案】(1)1 (2)π1.（2018年全国III 卷）若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】，故答案为B. 2. （2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】 (1).(2). 3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.3. （2018年全国卷Ⅱ）已知，则__________．【答案】【解析】，解方程得。
2019年高考数学(理)考点一遍过 考点15 三角函数的图象与性质含解析
考点15 三角函数的图象与性质（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （3）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.一、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质22二、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图. 2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 三、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+)∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一 三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即， 由，得，则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A ．【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．1．已知函数的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度考向二 确定三角函数的解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法 （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.典例2已知函数的部分图象如图.（1）求函数的解析式.（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值. 【解析】（1）由图象可知，又，故.周期413π43πππ312334T⎛⎫=⨯-=⨯=⎪⎝⎭，又，∴.∴∵.则函数的解析式为.2．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.考向三三角函数的性质1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=a sin x＋b cos x＋k的三角函数化为y=A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=a sin2x＋b sin x＋k的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t=sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=A sin（ωx＋φ）或y=A cos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=A sin（ωx＋φ）＋b或可化为y=A sin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=A sin(ωx＋φ)，y=A cos(ωx＋φ)，y=A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=2||ωπ，T=2||ωπ，T=||ωπ求解．（2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.典例3 已知函数()()2πcos 2cos 1f x x x x a =-++-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为2，求a 的值.【解析】（1） ()()2πcos 2cos 1f x x x x a =-++-cos2x x a =++π2sin 26x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，（2）因为π63x -≤≤，所以ππ5π2666x -≤+≤.当πππ2,662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增； 当ππ5π2,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 所以()max π26f x f a ⎛⎫==+⎪⎝⎭. 又因为ππ1136f a f a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以()min π16f x f a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 故212a +=，因此12a =.3 A ．最大值为4，最小值为4- B ．最大值为74，最小值为2-C ．最大值为2，最小值为1-D ．最大值为2，最小值为2-4（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）当[0,2]x ∈π时，求()f x 的最大值和最小值.典例4 已知函数()1πcos cos 223f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）将函数()f x 的图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为()g x .当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.【解析】（1）()1π313sin cos cos 2cos2234f x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ2π62x k k -=+∈Z ，，解得ππ32k x =+. 故函数()f x 图象的对称轴方程为ππ32k x k =+∈Z ，.5．已知函数f （x ）=sin ()6x ωπ+（ω>0）的最小正周期为4π，则 A ．函数f （x ）的图象关于点(,0)3π对称B ．函数f （x ）的图象关于直线x =3π对称C ．函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后，图象关于原点对称D ．函数f （x ）在区间（0，π）内单调递增6．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为A ．B ．C ．D ．考向四 函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y =A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再结合正弦函数y =sin x 的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．典例5 已知向量)(),cos ,cos ,cos x x x x ωωωω=-=a b ，函数()12f x =⋅+a b （0ω>）的最小正周期是π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间； （2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域.【解析】（1）()()2111cos cos 1cos222222f x x x x x x x ωωωωωω=-+=-++= 1πcos2sin 226x x ωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又()f x 的最小正周期为π，∴1ω=. ∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，得15ππππ,36k x k k +≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为15ππ,ππ,36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）∵π02x ≤≤，∴ππ5π2666x -≤-≤，∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,故()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.典例6 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.（2），，因为，所以，，所以，则，又上的中线长为，所以，所以，即，所以，①由余弦定理得，所以，②由①②得：，所以.7．已知向量()())2sin ,sin cos ,,sin cos (0)x x x x x x λλλ=+=->a b ，函数()f x =⋅a b 的最大值为2.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上单调递减的函数是A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos2xy = D ．()tan y x =-2．函数f (x )=cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是A ．−2B ．0C ．32-D ．12-3A B C D 4．设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若()28f =，()08f =，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=5．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象A ．关于点对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称6．函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间()上的值域为，则等于A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为，且，则A ．B ．C ．D ．8．若函数的最大值为，则的最小正周期为__________．9．已知函数，，直线与、的图象分别交于、 两点，则的最大值是________． 10．函数的最大值是__________．11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________． 12．已知函数，若，则__________．13．设函数()()2cos cos 3sin f x x x x=+)x ∈R .（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2()f x 的最大值.14．已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.15．已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．16．已知函数的图象经过点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.1．（2018天津理科）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 2．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减 4．（2018北京理科）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．（2018新课标全国Ⅲ理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．6．（2017新课标全国Ⅱ理科）函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 .7．（2017浙江）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．8．（2017江苏）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．1．【答案】C【解析】，由是正三角形可知，则.令，代入可得，解得.故选C.2．【解析】(1)由函数的图象可知,,解得.设函数f(x)的最小正周期为T,则由题意得-,所以T=π,所以2π=π,解得ω=2.因为函数f(x)的图象过点(π12,2),且0<φ<π2,所以2=sin(2×π12+φ)+1,解得φ=π3.所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)+1.3．【答案】B【解析】由题意，知222sin 2cos cos 2cos1(cos 1)2y x x x x x =+=-++=--+，3x π≤≤11cos=x 时，max 7y =，当cos 1=-x 时，min 2y =-.故选B ．4．【解析】（1（2 故函数()fx，k ∈Z . （3）当[0,2]x ∈π时，()f x 取得最小值，为-1， ()f x 取得最大值，为2. 5．【答案】C【解析】因为函数的最小正周期T =2ωπ=4π，所以ω=12，所以f （x ）=sin 1()26x π+. 因为()3f π=sin 1()236ππ⨯+=sin 3π，所以A ，B 错误．将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后得到g （x ）=sin 1[()]236x ππ-+=sin 2x的图象，关于原点对称，所以C 正确． 由−2π＋2k π≤12x ＋6π≤2π＋2k π（k ∈Z ），得−43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π（k ∈Z ），所以f （x ）=sin 1()26x π+的单调递增区间为42[44]33k k ππ-+π,+π，k ∈Z ，所以D 错误． 故选C. 6．【答案】B 对于函数，令，解得,当时，令，则.对于函数，令，解得，当时，令，则.易得当函数与均在区间上单调递减时，的最大值为，的最小值为，所以的最大值为，故选B ．7．【解析】（1）函数()23sin cos f x x x λ=⋅=a b +()sin cos x x λ+()sin cos x x -()22sin cos sin cos x x x x λ=+-()32cos 2x x λ=-12sin 2cos 222x x λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=.则()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，可得：2π5π2π22π33k x k +≤≤+，π5πππ36k x k +≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()π5πππ36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，. （2）由2222cos 22b a b c a A c bc -+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b ac ab +-=. 解得1cos 2C =，即π3C =. 因为2π03A <<，所以ππ7π2666A -<-<，1πsin 2126A ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， 因为()π2sin 206f A m A m ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立， 所以π2sin 26A m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即12m ≤-. 所以实数m 的取值范围是1(,]2-∞-.1．【答案】D【解析】观察各选项可知，最小正周期为π的函数有A 、B 、D ，sin 2y x =2cos y x =tan()y x =-D ．3．【答案】B【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知，sin(2)04222,242x k x k k π⎧+>⎪⎪⎨πππ⎪π-≤+≤π+∈⎪⎩Z，所以有22242k x k πππ<+≤π+，k ∈Z ， B. 4．【答案】A5．【答案】B【解析】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，则，从而，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，由题意知该图象关于轴对称，则，即，又，则，令，解得，当时，得的图象关于点对称，故选B．6．【答案】B【解析】由图象可知，，所以，当（）时，，因为值域里有，所以，，选B.【名师点睛】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解，所以.已知函数的图象求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.7．【答案】B【解析】函数，其中，所以的最小正周期为，解得，所以，又，即，即，所以，故选B．8．【答案】【解析】∵函数的最大值为因此的最小正周期为9．【答案】【解析】，的最大值是.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．10．【答案】【解析】因为，所以即最大值是.11．【答案】12．【答案】 【解析】因为周期，所以.因为，，所以为相邻的对称中心，所以，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以.13．【解析】（1）()()2cos cos f x x x x ==则函数()y f x =的最小正周期为π.∴函数()y f x =)k ∈Z .（2）π0,2x ⎡∈⎢⎣3. 14．【解析】（1）.由，，得 ，.∴函数的单调递减区间为，.15．【解析】向量)3sin ,1x ω=m ，()2cos ,cos 1x x ωω=+n ，则()2·cos cos 1f x b x x x b ωωω=+=+++m n13π3cos2sin 222262x x b x b ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭, （1）∵函数()f x 的图象关于直线π6x =对称， ∴()πππ2π662k k ω⋅+=+∈Z ，解得：()31k k ω=+∈Z ， ∵[]0,3ω∈，∴1ω=， ∴()π3sin 262f x x b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+，解得：()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ， 故函数()f x 的单调增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由（1）知()π3sin 262f x x b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∵7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即π7π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减． 又()π03f f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴当π7π0312f f ⎛⎫⎛⎫>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数()f x 有且只有一个零点． 即4π35πsinsin326b ≤--<或3102b ++=， 所以满足条件的335({}2b -∈--． 16．【解析】（1）因为经过点，所以，， 因为的单调递增区间为，所以，所以，故的单调递增区间为.（2）由（1）知， 因为，所以，当，即时，， 因为恒成立即，所以.1．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.则函数的单调递增区间满足，即，令可得一个单调递增区间为.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【答案】D【解析】因为12,C C函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x=+=+-=+，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x=，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.3．【答案】D【解析】函数()f x的最小正周期为2π2π1T==，则函数()f x的周期为()2πT k k=∈Z，取1k=-，可得函数()f x的一个周期为2π-，选项A正确；函数()f x图象的对称轴为()ππ3x k k+=∈Z，即()ππ3x k k=-∈Z，取3k=，可得y=f(x)的图象关于直线8π3x=对称，选项B正确；()πππcosπcos33f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x的零点满足()πππ32x k k+=+∈Z，即()ππ6x k k=+∈Z，取0k=，可得(π)f x+的一个零点为π6x=，选项C正确；当π,π2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π4π,363x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x在该区间内不单调，选项D错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.4．【答案】 【解析】因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.6．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=-+-=-++=--+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.7．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----．得2()23f π=．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．8．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以33sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-。
精品考点16三角恒等变换-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； （3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 求下列各式的值： （1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2的值为__________．。