第6章 截交线和相贯线

教学目标：

（1）了解截交线的概念和性质，掌握求作截交线的基本方法。

（2）了解相贯线的概念和性质，掌握求作相贯线的基本方法。

（3）了解过渡线及其画法。

第1节截交线

一、截交线的概念

如图6-1所示，正六棱柱被平面P截为两部分，其中截断立体的平面称为截平面；立体被截断后的部分称为截断体；立体被截切后的断面称为截断面；截平面与立体表面的交线称为截交线。

截交线基本性质：

（1）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点也都是它们的共有点。

（2）封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封闭的平面图形。

根据截交线性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接即可。求截交线的方法，既可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。

二、棱柱截交线

求棱柱截交线，就是求出截平面与棱柱表面的一系列共有点，然后依次连接即可。

[例6-1] 如图6-2a所示，求作斜截正六棱柱的截交线，并完成其三面投影图。

解分析已知投影图可知，截平面P为一正垂面，截交线是一个六边形，六边形上的的六个顶点是六条侧棱与截平面的交线。截交线的正面投影积聚成直线且与截平面的正面投影重合；截交线的水平投影是正六边形且与棱柱的水平投影重合；截交线的侧面投影为与其类似的六边形。根据截交线的正面投影a′、b′、c′、d′、(e′)、(f′)及水平投影a、b、c、d、e、f，即可求得其侧面投影a″、b″、c″、d″、e″、f″，依次连接各点即得截交线的侧面投影。

因为棱柱的左、上部被切去，所以，截交线的侧面投影可见。D点所在的侧棱侧面投影不可见，故画成虚线，其中下面一段虚线与可见的A点所在的侧棱侧面投影重合。

三、棱锥的截交线

棱锥的截交线，同棱柱一样也是平面多边形。当特殊位置平面与棱锥相交时，由于棱锥的三个投影都没有积聚性，此时截交线与截平面有积聚性的投影重合，可直接得出，其余两个投影则需先在棱锥表面上定点，然后用作辅助线的方法求出。

[例6-2] 如图6-3a 所示，求作正三棱锥的截交线。

解正三棱锥被正垂面斜切，其截交线是一个三角形。三角形各顶点为三条棱线与截平面的交点，其正面投影与截平面的正面投影重合，只需求作截交线的水平投影和侧面投影。具体作图步骤如下：

（1）Ⅰ、Ⅲ点位于棱线SC和SB上，其水平投影1、3可由其正面投影作投影连线求出，再根据1′、1及3′、3求出1″、3″。

（2）Ⅱ点位于棱线SA （侧平线）上，按投影关系先求其侧面投影2″，再根据2′、2″求水平投影2。也可用辅助线法求Ⅱ点的水平投影。

（3）依次连接1、2、3和1″、2″、3″点即可得截交线的水平投影和侧面投影。由于棱锥被切去的是左、上部分，故其截交线的水平投影和侧面投影均可见（图6-3b）。

四、圆柱的截交线

圆柱被平面截切后产生的截交线，因截平面与圆柱轴线的相对位置不同有三种情况，即平行于轴线的两平行直线、圆和椭圆，见表6-1。

[例6-3] 如图6-4所示，求作正垂面斜截圆柱的截交线。

解因圆柱被正垂面斜切，故截交线是椭圆。椭圆的正面投影与截平面的正面投影重合，为一直线；椭圆的水平投影与圆柱面的水平投影相重合，是一个圆；椭圆的侧面投影为类似形，仍是椭圆。可根据正面投影和水平投影求出侧面投影。

作图：

（1）求特殊位置点。特殊位置点是指位于回转体轮廊素线上的点和极限点（截交线上的最前、最后、最上、最下、最左、最右点），这些点有时是互相重合的，它们对于确定截交线的范围、判断可见性及作图的准确性都是十分重要的，应当首先求出。

截交线上的Ⅰ、Ⅱ点既是最高、最低点，也是最右、最左点，Ⅲ、Ⅳ点分别是最前点和最后点。根据正面投影1′、2′、3′、（6′）和水平投影1、2、3、6可求出侧面投影1″、2″、3″、6″。

（2）求一般位置点。为作图准确方便，可在截交线上的对应位置求取等距离的一般点。如图中的A、B、C、D四点。先在正面投影上定出a′、（d′）、b′、（c′），然后按立体表面取点的方法求其水平投影a、b、c、d，再求其侧面投影a″、b″、c″、d″。一般位置点的多少可根据作图准确程度的要求而定。

（3）判断可见性并光滑连接各点。由于圆柱被切去的是左、上部分，所以其截交线的侧面投影为可见。

[例6-4] 如图6-5所示，画出开槽圆柱的三面投影。

解圆柱的开槽部分是由两个平行于轴线的侧平面和一个垂直于轴线的水平面截切而成的。侧平面与圆柱的截交线是直线，分别是矩形截断面的前、后两边，水平面与圆柱面的截交线分别是槽底平面的前后两段圆孤。

因为矩形截断面是侧平面，其正面投影有积聚性，所以截交线AC和BD的正面投影a′c′和b′d′重合。截交线AC和BD的水平投影积聚为圆周上的两个点a（c）、b（d）。与该断面对称的另一矩形截断面的投影与此相同，二者的侧面投影重影，而且反映实形。

由于槽的底面是一个水平面，其正面投影有积聚性。所以截交线（圆弧）的正面投与其重合，截交线的水平投影与圆柱面的水平投影重合。

作图：

（1）先画出完整圆柱的三面投影。

（2）根据槽宽、槽深依次画出槽的正面投影和水平投影。

（3）根据槽的正面投影和水平投影求出其侧面投影。

五、圆锥的截交线

圆锥被平面截切后产生的截交线，因截平面与圆锥轴线的相对位置不同而有五种不同的形状，见表6-2。

当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个圆；当截平面过锥顶时，截交线是过顶点的两条直线；当截平面与圆锥轴线斜交时（θ>a），截交线是一个椭圆；当截平面与圆锥轴线斜交，且平行一条素线时（θ=a），截交线是一条抛物线；当截平面与圆锥轴线平行（θ=0°）或θ

[例6-5] 如图6-6所示，求作被正平面P截切的圆锥的截交线。

解截平面P与圆锥面的轴线平行，截交线是双曲线，其水平投影与截平面水平投影重合，只需求出反映双曲线实形的正面投影即可。

作图：

（1）求特殊位置点。截交线上最左、最右两点A、B，也是最低点，位于底圆上，可由其水平投影a、b作投影连线求其正面投影a′、b′。截交线上最高点C，其正面投影c′可用圆锥表面上取点的方法，通过C点作水平圆求得。

（2）求一般位置点。截交线上的D、E点，可过锥顶S在锥面上作辅助素线SⅠ和SⅡ求出，或者用过D、E点作辅助圆的方法求出。

（3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆锥的前半部分，所以截交线的正面投影可见，依次连接a′d′c′e′b′即为截交线的正面投影。

六、圆球的截交线

截平面与圆球相交，不论截平面与圆球的相对位置如何，其截交线在空间都是一个圆。

当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该面上的投影为椭圆。

[例6-6] 如图6-7所示，求作圆球的截交线。

解圆球被正垂面截切，其截交线是圆。圆的正面投影与截平面重合为直线，由于截平面倾斜于水平投影面和侧立投影面，所以截交线在这两个投影面上的投影都是椭圆。

作图：

（1）求特殊位置点。点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ分别是圆球三个方向轮廊素线圆上的点。其中点M、N是最低、最高点，同时也是最左、最右点。根据点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面的投影m′、n′、3′、6′、5′、6′可求出相应的水平投影m、n、3、6、5、6及侧面投影m″、n″、3″、6″、5″、6″。

椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ。其正面投影1′、（2′）积聚成一点，位于直线m′n′的中点。可通过1′2′作水平圆，求其余两面投影1、2和1″、2″。

（2）求一般位置点。在圆球的正面投影上任取a′、（b′），再通过a′、（b′）作水平圆，求其余两面投影a、b和a″、b″。

（3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆球的左、上部分，所以截交线的水平投影和侧面投影都可见。依次连接各点的同面投影，即得截交线的投影。

[例6-7] 如图6-8a所示，已知球阀阀芯的正面投影和阀芯上垂直于侧面的圆柱孔的侧面投影，求阀芯的其余两面投影。

解阀芯前后、左右对称，其主体是一个带圆柱孔的圆球。其左、右两侧被侧平面截成两个侧平圆；上部被两个侧平面和一个水平面截成一个凹槽。

作图：

（1）根据两侧截交线圆的正面投影作其水平投影和侧面投影。

（2）由圆球中部圆柱孔的正面投影和侧面投影作其水平投影，因孔的水平投影不可见，故画成虚线

（3）作凹槽的水平投影和侧面投影。扩展凹槽水平截平面的正面投影，得截交线圆弧的半径的实长为c′d′、由此作出其水平投影（两段圆弧）和侧面投影，再扩展凹槽两则的截平面的正面投影，得截交线圆弧的半径的实长为a′b′，由此作出凹槽两侧截交线圆弧的侧面投影（圆弧）和水平投影（直线）。

（4）根据投影关系作凹槽三个截平面之间交线的侧面投影，因为不可见，画成虚线。其水平投影则分别与平行于侧面的截交线圆弧的水平投影重合。

第2节相贯线

一、相贯线的概念

如图6-9所示，相交两立体表面产生的交线称为相贯线。相贯线的形状取决于两相交立体的形状、大小及其相对位置。

相贯线具有下列基本性质：

（1）相贯线是相交两立体表面的共有线，是一系列共有点的集合。

（2）由于立体占有一定的空间范围，所以相贯线一般是封闭的空间曲线。

根据相贯的性质，求相贯线，可归纳为求出相交两立体表面上一系列共有点的问题。求相贯线的方法，可用表面取点法。

相贯线可见性判断的原则是：相贯线同时位于两个立体的可见表面上时，其投影才是可见的；否则就不可见。

二、两圆柱正交的相贯线

求两圆柱正交的相贯线，可利用圆柱投影具有积聚性求之。

[例6-8] 如图6-10所示，求正交两圆柱的相贯线。

解正交是指两圆柱轴线垂直相交。由于两圆柱轴线分别垂直于H面和W面，因此，相贯线的水平投影与小圆柱面的水平投影重合，相贯线的侧面投影与大圆柱面的侧面投影（在小圆柱侧面投影范围内的一段）重合，故只需求出相贯线的正面投影即可，因为两圆柱前后对称相贯，所以相贯线后半部分的正面投影与其前半部分的正面投影重合。

作图：

（1）求特殊位置点。Ⅰ、Ⅲ点是相贯线上的最左、最右点，也是最高点，在两圆柱正面投影的轮廊素线上。Ⅱ、Ⅳ点是相贯线上最前、最后点，也是最低点，在小圆柱侧面投影的轮廊素线上。由它们的水平投影和侧面投影即可求出正面投影1′、2′、3′、（4′）。

（2）求一般位置点。在相贯线的水平投影上，定出左右、前后对称点A、B、C、D的水平投影a、b、c、d，由此在相贯线的侧面投影上求出a″、b″、c″、d″，再按投影关系求其正面投影a′、b′、c′、d′。

（3）判断可见性并光滑连接各点，就正面投影来说，前半段相贯线在两个圆柱的可见表面上，所以它的投影1′、a′、2′、b′、3′为可见，而后半段相贯线的投影1′、d′、6′、c′、3′为不可见，但与前半段相贯线的可见投影重合。依次光滑连接所求各点的正面投影，即可得相贯线的正面投影。

相交的两圆柱可以都是外表面，也可以是内表面，或是一个内表面而另一个外表面，其相贯线的形状和画法是相同的。如图6-11所示。

当两圆柱正交且直径相差较大时，其相贯线的投影可采用近似画法，即：以两圆柱中较大圆柱的半径为半径画弧即可，如图6-12所示。但当两圆柱的直径相近时，不宜采用这种方法。

三、圆锥与圆柱正交的相贯线

该相贯体表面的相贯线常使用辅助平面法作图。所选择的辅助平面通常应为投影面的平行面或垂直面，并使得该面与两回转面交线的投影均为最简单的图线（直线段或圆）；每一辅助平面截切该相贯体后所得的两组截交线的交点，是两回转体表面及截平面的共有点，即相贯线上的点；用多个辅助平面连续截切该相贯体，便可求得相贯线上一系列点的投影，最后将其连接成光滑的曲线。

[例6-9] 如图6-13所示，求圆锥与圆柱正交的相贯线。

解：相贯线在侧面上的投影已知，只需求出相贯线的在正面和水平面上的投影。可选用水平面作辅助平面，该面与圆柱面的交线为两平行的直线段，与圆锥面的交线为圆，这两组截交线的交点（如图6-13a所示的点C、D）即为相贯线上的点。作图时，在正面投影上，两组交线的投影与辅助平面的积聚性投影重影；在水平投影上直接反映了交线圆直径及两平行直线段间距的实际大小；利用交点的水平投影便可求得交点的正面投影。相贯线上的最前、最后、最左、最上、最下点均为相应外形轮廓素线上的点。相贯线水平投影的可见性以点C、D为界，C、D上的点可见，C、D以下的点不可见。

相贯线的作图过程如图6-13所示。

第3节相贯线的特殊情况和过渡线的画法

一、相贯线的特殊情况

在一般情况下，相贯线为空间曲线，但在特殊情况下可为平面曲线或直线。常见有以下几种：

（一）相贯线为椭圆

如图6-14所示，当两圆柱直径相等，且轴线正交时，相贯线为椭圆，如果该椭圆垂直于投影面，则在该面上的投影积聚成直线。

（二）相贯线为圆

当相交的两个回转体具有公共轴线时，相贯线为垂直于公共轴线的圆。如图6-15所示，圆柱分别与圆球和圆台同轴相交，相贯线都是水平圆，该圆的正面投影积聚成直线，水平投影为反映实形的圆。

二、过渡线的画法

在锻件和铸件中，由于工艺上的要求，在零件的表面相交处常用一个曲面光滑地过渡，这个过渡曲面称为圆角。由于圆角的存在，使得零件表面的相贯线不很明显，但为了区分不同形体的表面，仍需画出这些交线，这种线称为过渡线。

过渡线的画法与相贯线的画法一样。但过渡线不与圆角的轮廊素线接触，只画到两立体表面轮廊素线理论上的交点处，如图6-16所示。

图6-17所示为几种常见结构的过渡线。

第4节切口、穿孔的基本体尺寸标注

一、带斜面和切口的基本体

这类形体除注出基本体的尺寸外，还要标注出确定斜面和切口平面位置的尺寸，如图6-18所示。

因为切口交线是由切平面位置确定的，是切平面截断形体而产生的截交线，因此不需要注其尺寸，若注其尺寸，即属错误尺寸，如图6-18b、c中打“×”的尺寸。

二、带凹槽和穿孔的基本体

这类形体除了注出基本体的尺寸外，还必须注出槽和孔的大小和位置尺寸，如图6-19所示。