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第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
PPT教程：经济数学(第二版)
xn dn (w1,, wn ; c)
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
大学数学与经济学讲座PPT课件
详细描述
数学模型能够将复杂的经济问题简化为易于理解和分析的数学形式，帮助研究者 深入了解经济现象的本质和内在规律。此外，数学模型还可以预测经济趋势和政 策效果，为政府和企业决策提供科学依据。
经济学中的常用数学模型
总结词
在经济学中，有许多常用的数学模型，如线性回归模型、时间序列模型、博弈论模型等。这些模型各有特点和应 用范围，能够针对不同的经济问题提供有效的分析工具。
03
经济学基础
经济学的定义与重要性
经济学定义
经济学是一门研究人类经济行为和现 象的学科，主要探讨如何利用有限的 资源来满足人类无限的需求。
经济学的重要性
经济学为人类提供了一种理解经济现 象和问题的框架，有助于我们做出更 好的决策，提高社会整体福利。
经济学的主要分支
微观经济学
研究个体经济单位（如家庭、企业）的经济 行为和资源配置。
表述方式。通过数学模型，可以更好地理解和预测经济现象，提高经济
决策的科学性。
02
经济学中的数学方法
在经济学中，数学方法的应用非常广泛，如微积分、线性代数、概率论
和统计学等。这些方法为经济学研究提供了强大的工具，帮助研究者深
入探索经济现象的本质和规律。
03
讲座收获
通过本次讲座，听众对数学在经济学中的应用有了更深入的理解，掌握
宏观经济学
研究整个经济系统的运行和政策制定，包括 国家层面的经济活动和政策。
发展经济学
研究经济发展和贫困问题的根源及解决方案。
国际经济学
研究国家之间的经济关系和互动，包括贸易、 投资和汇率。
经济学的应用
政策制定
政府通过制定经济政策来影响国家的 经济发展和民生福祉。
企业决策
数学模型能够将复杂的经济问题简化为易于理解和分析的数学形式，帮助研究者 深入了解经济现象的本质和内在规律。此外，数学模型还可以预测经济趋势和政 策效果，为政府和企业决策提供科学依据。
经济学中的常用数学模型
总结词
在经济学中，有许多常用的数学模型，如线性回归模型、时间序列模型、博弈论模型等。这些模型各有特点和应 用范围，能够针对不同的经济问题提供有效的分析工具。
03
经济学基础
经济学的定义与重要性
经济学定义
经济学是一门研究人类经济行为和现 象的学科，主要探讨如何利用有限的 资源来满足人类无限的需求。
经济学的重要性
经济学为人类提供了一种理解经济现 象和问题的框架，有助于我们做出更 好的决策，提高社会整体福利。
经济学的主要分支
微观经济学
研究个体经济单位（如家庭、企业）的经济 行为和资源配置。
表述方式。通过数学模型，可以更好地理解和预测经济现象，提高经济
决策的科学性。
02
经济学中的数学方法
在经济学中，数学方法的应用非常广泛，如微积分、线性代数、概率论
和统计学等。这些方法为经济学研究提供了强大的工具，帮助研究者深
入探索经济现象的本质和规律。
03
讲座收获
通过本次讲座，听众对数学在经济学中的应用有了更深入的理解，掌握
宏观经济学
研究整个经济系统的运行和政策制定，包括 国家层面的经济活动和政策。
发展经济学
研究经济发展和贫困问题的根源及解决方案。
国际经济学
研究国家之间的经济关系和互动，包括贸易、 投资和汇率。
经济学的应用
政策制定
政府通过制定经济政策来影响国家的 经济发展和民生福祉。
企业决策
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
然成立.
一般有下面的定理: ➢ 定理5-1 设∫f(u)du=F(u)+C,u=φ(x),且u=φ(x)有连续导函数,
则:∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C (5.1) ➢ 事实上:
➢ 当我们要求某个不定积分∫g(x)dx而又不能直接用基本积分公 式时,如果被积函数g(x)可以写成f[φ(x)]φ'(x)的形式,而∫f(u)du 又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得∫g(x)dx,即:
CHAPTER
05
第5章 不定 积分
PART
05
5.1
不定积分的概念
5. 1. 1 原函数的概念
在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的 本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人 口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学 家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.
➢ 由不定积分的定义可知: ∫cos xdx=sin x+C.
PART
05
5.2
基本积分公式
由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:
PART
05
5.3
不定积分的性质
性质1 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k为不等于零的常数) 性质2 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 由性质1、2可得推论: • ∫[k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)]dx=k1∫f1(x)dx+k2∫f2(x)dx+
以化难为易.
5. 1. 2 不定积分的定义
➢ 定义5-2 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函 数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做∫f(x)dx, 即:∫f(x)dx=F(x)+C
一般有下面的定理: ➢ 定理5-1 设∫f(u)du=F(u)+C,u=φ(x),且u=φ(x)有连续导函数,
则:∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C (5.1) ➢ 事实上:
➢ 当我们要求某个不定积分∫g(x)dx而又不能直接用基本积分公 式时,如果被积函数g(x)可以写成f[φ(x)]φ'(x)的形式,而∫f(u)du 又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得∫g(x)dx,即:
CHAPTER
05
第5章 不定 积分
PART
05
5.1
不定积分的概念
5. 1. 1 原函数的概念
在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的 本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人 口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学 家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.
➢ 由不定积分的定义可知: ∫cos xdx=sin x+C.
PART
05
5.2
基本积分公式
由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:
PART
05
5.3
不定积分的性质
性质1 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k为不等于零的常数) 性质2 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 由性质1、2可得推论: • ∫[k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)]dx=k1∫f1(x)dx+k2∫f2(x)dx+
以化难为易.
5. 1. 2 不定积分的定义
➢ 定义5-2 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函 数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做∫f(x)dx, 即:∫f(x)dx=F(x)+C
《经济数学第二版》教学课件
关注数学教育的发展趋势，及时更新教学内 容和方法
THANKS
理解向量、矩阵的基本概念和性质，掌握矩阵的运算和逆矩阵的计算。
行列式与特征值
理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算和应用，理解特征值的概念和计算方法。
数理经济学
边际分析
理解边际分析的基本概念和方法，掌握边 际函数和边际曲线的计算和应用。
VS
最优化理论
理解最优化理论的基本概念和方法，掌握 静态最优和动态最优的计算和应用。
期末考试成绩
01
考试成绩分析
通过分析学生的考试成绩，可以了解 学生对课程的总体掌握情况和学习效 果。
02
成绩分布
通过统计成绩分布，可以看出学生在 班级中的学习水平和层次。
03
最高分、最低分与平 均分
通过比较最高分、最低分和平均分， 可以了解班级的整体学习情况和课程 的教学效果。
学生评价与反馈
问卷调查
问题式教学
问题设置合理
问题分析与讨论
问题解决与反思
设置的问题与课程内容紧密相 关，具有针对性和启发性。
通过引导学生对问题进行深入 的分析和讨论，帮助学生更好 地理解和掌握课程内容。
在问题分析和讨论的基础上， 引导学生解决问题并进行反思 ，提高学生的思维能力和解决 问题的能力。
实验教学
实验内容丰富
决实际问题。
能够在团队中扮演不同的角色， 与他人协作完成复杂任务。
善于倾听和表达，能够有效地与 团队成员沟通和分享经验。
05
教学评价与反馈
学生平时表现
出勤率
通过考察学生的出勤率，可以了解学生对课程的投入程度和态度。
课堂参与度
在课堂上积极发言、提问、参与讨论等表现可以反映学生的积极参与程度和对课程的理解程度。
THANKS
理解向量、矩阵的基本概念和性质，掌握矩阵的运算和逆矩阵的计算。
行列式与特征值
理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算和应用，理解特征值的概念和计算方法。
数理经济学
边际分析
理解边际分析的基本概念和方法，掌握边 际函数和边际曲线的计算和应用。
VS
最优化理论
理解最优化理论的基本概念和方法，掌握 静态最优和动态最优的计算和应用。
期末考试成绩
01
考试成绩分析
通过分析学生的考试成绩，可以了解 学生对课程的总体掌握情况和学习效 果。
02
成绩分布
通过统计成绩分布，可以看出学生在 班级中的学习水平和层次。
03
最高分、最低分与平 均分
通过比较最高分、最低分和平均分， 可以了解班级的整体学习情况和课程 的教学效果。
学生评价与反馈
问卷调查
问题式教学
问题设置合理
问题分析与讨论
问题解决与反思
设置的问题与课程内容紧密相 关，具有针对性和启发性。
通过引导学生对问题进行深入 的分析和讨论，帮助学生更好 地理解和掌握课程内容。
在问题分析和讨论的基础上， 引导学生解决问题并进行反思 ，提高学生的思维能力和解决 问题的能力。
实验教学
实验内容丰富
决实际问题。
能够在团队中扮演不同的角色， 与他人协作完成复杂任务。
善于倾听和表达，能够有效地与 团队成员沟通和分享经验。
05
教学评价与反馈
学生平时表现
出勤率
通过考察学生的出勤率，可以了解学生对课程的投入程度和态度。
课堂参与度
在课堂上积极发言、提问、参与讨论等表现可以反映学生的积极参与程度和对课程的理解程度。
经济数学课件完整版
0.2.6
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
（２）该定理初步揭示了定积分与原函数之间的 内在联系，因此，我们就有可能通过原函数来计 算定积分．
【例 6-2】求 d x et2 dt dx 0
解： d x et2 dt ex2 dx 0
【例 6-3】若 f (x) 是连续函数，求 d
b
f (t)dt ．
dx x
解： d dx
b
f (t)dt
证：因为函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，
所以在[a,b] 上必有最大值 M 和最小值 m .
根据性质 6 有 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
即 m 1
b
f (x)dx M
ba a
由闭区间上连续函数的性质可知，在[a,b] 上至少存
在一点 ，使 1
b
f (x)dx f ( ) 成立．
关，而与积分变量用什么字母表示无关．
b
b
即 a
f (x)dx a
f (u)du
（2）定义中假定 a b，如果 b a ，我们规定
b f (x)dx a f (x)dx .
a
b
特别地，当 a b 时，规定 b f (x)dx 0 . a
（3）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续，或 f (x)
0
0
由复合函数的求导法则，得
d x2
d(u) du
dx 0 sin tdt
du
dx
sin u 2x
2xsin x
（二）牛顿——莱布尼兹公式
定理（微积分基本定理） 设 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
b
f (x)dx F (b) F (a) ． a
【例 6-2】求 d x et2 dt dx 0
解： d x et2 dt ex2 dx 0
【例 6-3】若 f (x) 是连续函数，求 d
b
f (t)dt ．
dx x
解： d dx
b
f (t)dt
证：因为函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，
所以在[a,b] 上必有最大值 M 和最小值 m .
根据性质 6 有 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
即 m 1
b
f (x)dx M
ba a
由闭区间上连续函数的性质可知，在[a,b] 上至少存
在一点 ，使 1
b
f (x)dx f ( ) 成立．
关，而与积分变量用什么字母表示无关．
b
b
即 a
f (x)dx a
f (u)du
（2）定义中假定 a b，如果 b a ，我们规定
b f (x)dx a f (x)dx .
a
b
特别地，当 a b 时，规定 b f (x)dx 0 . a
（3）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续，或 f (x)
0
0
由复合函数的求导法则，得
d x2
d(u) du
dx 0 sin tdt
du
dx
sin u 2x
2xsin x
（二）牛顿——莱布尼兹公式
定理（微积分基本定理） 设 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
b
f (x)dx F (b) F (a) ． a
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经济数学
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
广州大学纺织服装学院
数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
经济数学
1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
广州大学纺织服装学院
经济数学
左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条 件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
变量 x 在U (xˆ0 ,d)内无限接近于 x0时，相应的函数值无限接近于 确定的常数 A，那么常数 A 就叫函数 f (x)当 x ® x0 时的极限,记
作 lim f (x) A 或 f (x) x® x0
A( x
x0 )
例如 lim x 1 , limarctan x 0 .
x1
x0
广州大学纺织服装学院
说明函数在 x0点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无 关.这是因为函数在 x0点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势, 而不是在 x0处函数值。
广州大学纺织服装学院
经济数学
3. 函数ƒ(x)的左、右极限 如 y x ( x 0) 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于
0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
广州大学纺织服装学院
经济数学
（4）函数的周期性:
对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数l，使得 关系式 f (x l) f (x) 对于定义域内任何x值都成立， 则 f(x)叫做周期函数，l 称为是f(x)的周期。
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
广州大学纺织服装学院
1、函数的概念
经济数学
定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 数集D叫做这个函数的定义域
空心领域：U (xˆ0, )
1. x→∞ 时函数ƒ(x)的极限 （1） 设函数ƒ(x)，当x>0且无限增大时，函数ƒ(x)趋
于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为
极限.记
lim f (x) A 或 f (x) A(x ).
x
如： lim 1 0, lim ex 0, lim arctan x .
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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3、反函数与复合函数
(1) 反函数 设函数的定义域为D，值域为W. 若对∀y∈W，D上 都有唯一确定一个数值 x 与 之对应，且ƒ(x)=y. 若把 y 看作自变量, x 看作因变量,则称函数 x=f-1(y)为函数 y =ƒ(x) 的反函数.而原函数 y =ƒ(x)为直 接函数; x , y 互换便有y=φ(x) （y=f-1(x)）, 从而函数与 反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.
o
x1 x2
x
I
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经济数学 （3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
(1) 左极限
当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则
A是ƒ(x)在 x0处的左极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A
或 f ( x0－0) A.
(2)右极限
当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则A是
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
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几个特殊的函数举例
(1)符号函数
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
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(3)取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最
4
大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o-11 2 3 4 5 x
x x0
x x0
x x0
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限 存在的方法; 特别对分段函数适用.
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例5
设ƒ(x)=|x|
,求
lim
x0
f
( x).
解
因
x
x
x
, x0 , x0
则
f (0 ) lim f ( x) lim x 0,
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim ( x) 0.
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y 反函数y ( x)
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Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
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反余弦函数 y arccos x
经济数学
y arccos x
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反正切函数 y arctan x
经济数学
y arctan x
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反余切函数 y arccot x
经济数学
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三 角函数统称为基本初等函数.
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4. 初等函数
(1) 幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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(2) 指数函数 y a x (a 0, a 1) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
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(3) 对数函数 y log a x (a 0, a 1) y = lnx
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
y
y f (x) f (x2 )
f (x1)
o
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x1
x2
x
I
经济数学
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
Байду номын сангаас
f (x1)
f (x2 )
y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
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思考题1解答
设 1u x
则 f u 1
u
1 1 u2
1
1 u2 , u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
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二、函数的极限
领域：设δ是某个正数，称开区间(x0- δ, x0+ δ)为 以为x0中心，以δ为半径的邻域，简称点x0的邻域， 记为U(x0, δ)
余切函数 y cot x
经济数学
y cot x
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正割函数 y sec x
经济数学
y sec x
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余割函数 y csc x
经济数学
y csc x
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(5) 反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
经济数学
y arcsin x
经济数学
例4 (1) lim C C (C为常数); x x0
(2)
lim (ax
x x0
b)
ax0
b;
特别地：lim x x0
x
x0 ,
当n为正整数时, lim x x0
xn
x0n ,
当x0
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
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数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
经济数学
1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
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左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条 件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
变量 x 在U (xˆ0 ,d)内无限接近于 x0时，相应的函数值无限接近于 确定的常数 A，那么常数 A 就叫函数 f (x)当 x ® x0 时的极限,记
作 lim f (x) A 或 f (x) x® x0
A( x
x0 )
例如 lim x 1 , limarctan x 0 .
x1
x0
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说明函数在 x0点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无 关.这是因为函数在 x0点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势, 而不是在 x0处函数值。
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3. 函数ƒ(x)的左、右极限 如 y x ( x 0) 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于
0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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（4）函数的周期性:
对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数l，使得 关系式 f (x l) f (x) 对于定义域内任何x值都成立， 则 f(x)叫做周期函数，l 称为是f(x)的周期。
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
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1、函数的概念
经济数学
定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 数集D叫做这个函数的定义域
空心领域：U (xˆ0, )
1. x→∞ 时函数ƒ(x)的极限 （1） 设函数ƒ(x)，当x>0且无限增大时，函数ƒ(x)趋
于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为
极限.记
lim f (x) A 或 f (x) A(x ).
x
如： lim 1 0, lim ex 0, lim arctan x .
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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3、反函数与复合函数
(1) 反函数 设函数的定义域为D，值域为W. 若对∀y∈W，D上 都有唯一确定一个数值 x 与 之对应，且ƒ(x)=y. 若把 y 看作自变量, x 看作因变量,则称函数 x=f-1(y)为函数 y =ƒ(x) 的反函数.而原函数 y =ƒ(x)为直 接函数; x , y 互换便有y=φ(x) （y=f-1(x)）, 从而函数与 反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.
o
x1 x2
x
I
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经济数学 （3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
(1) 左极限
当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则
A是ƒ(x)在 x0处的左极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A
或 f ( x0－0) A.
(2)右极限
当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则A是
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
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几个特殊的函数举例
(1)符号函数
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
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(3)取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最
4
大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o-11 2 3 4 5 x
x x0
x x0
x x0
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限 存在的方法; 特别对分段函数适用.
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例5
设ƒ(x)=|x|
,求
lim
x0
f
( x).
解
因
x
x
x
, x0 , x0
则
f (0 ) lim f ( x) lim x 0,
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim ( x) 0.
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y 反函数y ( x)
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直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
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反余弦函数 y arccos x
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反正切函数 y arctan x
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反余切函数 y arccot x
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幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三 角函数统称为基本初等函数.
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4. 初等函数
(1) 幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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(2) 指数函数 y a x (a 0, a 1) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
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(3) 对数函数 y log a x (a 0, a 1) y = lnx
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
y
y f (x) f (x2 )
f (x1)
o
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x1
x2
x
I
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如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
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f (x1)
f (x2 )
y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
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设 1u x
则 f u 1
u
1 1 u2
1
1 u2 , u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
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二、函数的极限
领域：设δ是某个正数，称开区间(x0- δ, x0+ δ)为 以为x0中心，以δ为半径的邻域，简称点x0的邻域， 记为U(x0, δ)
余切函数 y cot x
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y cot x
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y sec x
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余割函数 y csc x
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y csc x
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(5) 反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
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y arcsin x
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例4 (1) lim C C (C为常数); x x0
(2)
lim (ax
x x0
b)
ax0
b;
特别地：lim x x0
x
x0 ,
当n为正整数时, lim x x0
xn
x0n ,
当x0