大学文科数学2-3 数学期望与方差ppt

于是
P{X k} 1 , k 1, 2, , n n
EX
n
k
k 1
1 n
1 n
(1 n)n 2
n 1 2
文科数学
例3 掷一枚均匀骰子，以 X 表示掷得的点数， 求 X 的数学期望。
解：随机变量 X 的概率分布为
P{X k} 1 , k 1, 2, , 6 6
于是
E(X ) 6 k 1 7
文科数学
期望与方差的重要性
1. 在实际问题中，有时很难求出随机变量的分 布，不得不求助于期望、方差等数字特征；
2. 对许多问题，用期望、方差等数字特征就足 够了；
例如：比较两个地区人民的生活水平 3. 求分布时，往往是先确定其分布类，再确定 分布的参数，而分布的参数却可由期望、方差等 确定。
文科数学
我们称
D(X ) E{[X E(X )]2}
为随机变量 X 的方差。
文科数学
方差的定义
随机变量 X 的方差：D(X ) E{[X E(X )]2} D(X ) (X )
称为均方差或标准差。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散
程度，若 X 的取值比较集中， 则方差较小； 若 X 的取值比较分散， 则方差较大。
k1 6 2
文科数学
例习 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出
X：甲击0 Y pk 0.1 0.3 0.6 pk
试问哪个人的射击水平较高？
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解：可求得甲乙两人的平均环数为
E(X ) 80.1 9 0.3 10 0.6 9.5
文科数学
方差的性质
1. 设 C 是常数，则 D( C ) = 0； 2. 若 C 是常数，则 D( CX ) = C2 D( X );
X ~ b(n, p)
E(X ) np D(X ) np(1 p)
E(X ) X ~ N(, 2)
D(X ) 2
σ2 越小，X 取值越在数学期望μ附近!
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数学期望的计算
例1 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张 每天生产的废品数 X 是一个随机变量，如何定义 X 的平均值呢？
分析：若统计100天 可以得到这100天中每天的平均废品数为
0 32 1 30 2 17 3 21 1.27 100 100 100 100
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数学期望的计算
则称级数
xk pk k
的和为X 的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)， 即
E( X ) xk pk k
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例2 某人的一串钥匙上有 n 把钥匙，其中只有一 把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的 某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打 开门时试开次数的数学期望。
解：设试开次数为X ，则
§3 数学期望与方差
一、数学期望
引例：如何购买灯泡？ 寿命越长越好！ 灯泡寿命是随机的，不同品牌灯泡寿命所服从的 分布也不相同，且这些具体分布又很难知道，但是， 如果知道各种品牌灯泡的平均寿命…… 对于随机变量， 有时不仅要知道它的概率分布， 还希望知道随机变量的“平均取值”是多少。
如何计算随机变量的“平均取值”呢？
例习 已知随机变量 X 服从二项分布，且
E(X ) 40, D(X ) 8
求 X 分布的参数 n，p。
E(X ) np D(X ) np(1 p) n 50, p 0.8
文科数学
例4 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出
X：甲命中的概率；
Y：乙命中的概率；
X
8
9
10
Y
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
文科数学
总结 令 X 表示小张每天所出的次品数，其概率分布为：
X0123 pk p0 p1 p2 p3 则以相应概率作为权重的加权平均为： 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 在概率论中把这种加权平均称为数学期望。
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离散型 随机变量的数学期望
设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X xk } pk ,(k 1,2,3,)
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
但两人射击环数的方差分别为
D(X ) 8 9.22 0.3 9 9.22 0.2
10 9.22 0.5 0.76
D(Y ) 8 9.22 0.2 9 9.22 0.4
10 9.22 0.4 0.624
D(Y ) D(X )，表明乙的射击水平比甲稳定。
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作业 P88
数学期望与方差：1，2，3，4，5
文科数学
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帕斯卡
写信
数学期望的起源
约定先赢5局，获全部赌金
朋友 德·梅勒 A：4 分赌金 4 / 7 1/ 2
(17世纪) B：3
3/7 1/ 2
费马
期望（提前分钱）
假设再赌一局 A赢获全赌金：1 A输获赌金：1/2
A最后获赌金：1/2×1+1/2×1/2=3/4 B最后获赌金：1/2×0+1/2×1/2=1/4 概率论第一本著作：《论机会游戏的计算》
X ~ N(, 2) E(X )
分布密度曲线关于直线 x =μ对称！ 概率分布完全描述了随机变量的规律，而数学
期望只刻画了它的某个特征：随机变量的“位置”
特征，随机变量是以期望为“中心”而随机取值
的。
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二、方 差
引例：甲乙两个合唱队都由5名成员组成，身高 如下
甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59 乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60 那个合唱队演出效果好？ 分析：易见，甲乙两队的平均身高都为1.60， 但显然甲队比乙队整齐，身高相对集中在1.60米 左右，所以甲队演出效果好。
若统计 n天 (假定小张每天至多出三件废品) ， 可以得到 n 天中每天的平均废品数为
0 n0 1 n1 2 n2 3 n3 nn n n
由频率和概率的关系，在求废品数 X 的平均值时，用 概率代替频率，得平均值为
0 p0 1 p1 2 p2 3 p3
这样得到一个确定的数，我们就用这个数作为 随机变量X 的平均值。
E(Y ) 80.2 90.5 100.3 9.1
因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。
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数学期望的性质
1. 若 C 是常数，则 E( C )=C ；
2. 若 C 是常数，则 E( CX )=C E( X )；
3. E(X Y ) E(X ) E(Y )
X ~ bn, p E(X ) np
P
0.2 0.4 0.4
试问哪个人的射击水平较高？
解：比较两人射击的平均环数，甲的平均环数
E(X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 9.2
乙的平均环数为
E(Y ) 80.2 90.4 100.4 9.2
从平均环数上看，甲乙射击水平是一样的。
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X：甲命中的概率；
Y：乙命中的概率；
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方差的定义
在实际问题中，常常关心随机变量与均值的偏离
程度，用什么来衡量 X 与E ( X )的偏离程度呢？
1、E[X E(X )] 合理，但是存在正负相消，不可行
2、E[| X E(X ) |] 带绝对值的运算，不利于分析
3、E{[X E(X )]2}
采用平方是为了保证一切差值 X E(X )都起正的作用