数学期望与方差(二)
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
2-2随机变量的期望与方差(2)
i
1
2
xi E
( xi E ) pi
2
1
2
(x
i
i
E ) pi
2
D
2
P E
D
2
切比雪夫不等式的另两种常用形式：
P E 1 D
2
E 1 P 2 D
xp ( x ) d x
书P52 例2.3.5
－函数： ( ) 0 x 1 e x d x
性质： ( 1) ( ) ( 0);
1 (1) 1 ; 2
【例】
5 5 5 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 2
甲日走时误差 概率 乙日走时误差 概率
1 0 1 0 .1 0 .8 0 .1
2 1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
E E 0
D E 2 ( E ) 2 0.2
D E 2 ( E ) 2 1.2
二、方差(Variance)
1、定义
r .v 的方差 D E ( E ) 2
说明： (1) D 0
E
2
0
(2)称 D 为 的标准差或均方差，常记为 .
2、计算
(1) 从定义出发 对d . r . v ， D E E xi E P xi
3 P 40 60 P 50 10 4
【人教A版】高中数学选修2-3第二章第三节：离散型随机变量的方差(2)
X1
6
7
8
9 10
P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18
X2
6
7
8
9 10
P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17
根据环数的期望和方差比较这两名射手的射击水平
《同步导练》二单元第9课时
（1）不放回的抽样，抽到的次品数X的分布 列、期望和方差；
（2）有放回的抽样，抽到的次品数Y的分布 列、期望和方差.
探究1: 有甲、乙两个单位都愿意 聘用你, 而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元
1200
1400
1600 1800
获相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工 资X2/元
或一枚6点出现时，就说这次试验成功，在30次试
验中成功的次数为X，则E(X)=____,D(X)=____
练习3:有一批数量大的商品，次品率占1%，
从中任意连续取出200件，设次品数为X，则
E(X)= ____,D(X)=抽 取3次，每次抽取1件，求：
获相应职位的概率P2
1000 0.4
1400 0.3
1800 2200 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况, 你愿意选择哪家单位?
探究2：有A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1、X2 根据市场分析，分布列如下,
X1 5% 10% P1 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P2 0.2 0.5 0.3
高中数学选修2-3第二章第三节
离散型随机变量的方差2
1.离散型随机变量X的期望、方差的概念及求法； 2.离散型随机变量X的期望、方差几个重要结论；
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
六个常用分布的数学期望和方差
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率论是数学中的一个重要分支，其中期望值和方差是计算概率分布特征的核心概念。
在概率计算中，期望值和方差的计算可以帮助我们了解随机事件的平均趋势和离散程度。
本文将介绍期望值和方差的概念、计算方法以及其在概率计算中的应用。
1. 期望值的定义与计算方法期望值是一组数据中各数值与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量的平均取值。
设随机变量X有n个取值x1, x2, ... , xn，并且对应的概率为p1, p2, ... , pn，则期望值的计算公式为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn其中E(X)表示X的期望值。
通过计算，可以得到随机变量X的平均取值。
2. 方差的定义与计算方法方差是一组数据中各数值与其期望值的差的平方与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量取值与其平均取值的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn其中Var(X)表示X的方差。
通过计算，可以得到随机变量X的离散程度大小。
3. 期望值与方差的应用举例在实际应用中，期望值和方差有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：3.1 投掷硬币假设投掷一枚公平的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。
则硬币的期望值为E(X) = p * 1 + (1-p) * 0 = p，方差为Var(X)= (1-p)^2 * p + p^2 * (1-p) = p(1-p)。
通过计算可以知道，硬币投掷的平均结果为正面与反面的概率加权平均，且平均偏离程度由p(1-p)表示。
3.2 随机抽样在随机抽样中，假设有n个样本，每个样本的概率为p，被抽中的概率为1-p。
则样本的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p(1-p)/n。
通过计算可以得到，样本的平均结果由单个样本的概率加权平均，且偏离程度与样本数量n成反比。
数学期望与方差的计算
数学期望与方差的计算引言数学期望与方差是统计学中两个重要的概念。
它们是描述一个随机变量分布特征的常用指标，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将介绍数学期望与方差的概念、计算方法以及它们的应用。
数学期望数学期望又称平均值，是描述一个随机变量的平均水平的指标。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X为随机变量，x i为随机变量可能取的值，p i为随机变量取每个值的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx $$其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
数学期望可以理解为在大量重复实验中，随机变量平均取值的水平。
方差方差是描述一个随机变量分散程度的统计指标。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X)=E[(X−E(X))2]方差可以理解为每个随机变量与其期望的偏差的平方的加权平均。
数学期望与方差的计算方法离散型随机变量对于离散型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算每个随机变量取值对应的概率。
2.将随机变量取值与对应的概率相乘。
3.将所有结果相加，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将每个随机变量取值与数学期望的差值的平方相乘。
3.将所有结果相加，得到方差。
连续型随机变量对于连续型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算随机变量的概率密度函数。
2.将随机变量的取值与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将随机变量的取值与数学期望的差值的平方与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到方差。
数学期望与方差的应用数学期望与方差作为描述随机变量特征的指标，在统计学和概率论中有重要的应用。
数学期望在实际问题中可以用于计算平均值，如统计学中的样本均值就是数学期望的一种估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的
E 是随机变量ξ的期望．
2、标准差:
D 的算术平方根 D
叫做随机变量ξ的标准差，记作
3、方差的性质：
D(a b) a 2 D 新疆 王新敞 奎屯
D E 2 (E )2
0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
练习：
1、已知 ~ Bn, p, E 8, D 1.6 ，求 n, p
2、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中 任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ， 求Eξ，Dξ
新疆 王新敞
奎屯
小结 ： 1、求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由、 期望的定义求出Eξ；
1．2离散型随机变量的期望与方差（二）
问题：甲、乙两名射手在相同条件下进行射击， 分布列如下：
甲
1
8
9
10
P1
0.2
0.6
0.2
乙
2
8
9
0.3
试比较两名射手的射击水平。
随机变量的方差与标准差： 1、方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1, x2 ,, xn , 且取这些值的概率分别是 P1, P2 ,, Pn , 那么,
若ξ～B(n，p)，则 D np(1-p)
若 ~ G(P) ，则 D 1 P
P2
几点说明：
1、随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定 与波动、集中与离散的程度； 方差越大。取值越分散；方差越小，取值越集中。
2、标准差与随机变量本身有相同的单位，
例1：设 是一个离散性随机变量，其分布列如下：
④根据方差、标准差的定义求出 D
2、对于两个随机变量 1 和 2，在E1 和E 2
相等时，比较 D1 和 D 2
可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际 ，适合人们的需要
新疆 王新敞
奎屯
，
-1
0
1
P
1 1 2a
a2
2
求：a E D
例2：设随机变量 ξ～B(n，p)， 求：D
E
例3：A、B两台机床同时加工零件，每生产一批 数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A
次品数
新疆 王新敞
奎屯
ξ1
概率P
01 2 3
0. 7
0. 2
0.06 0.04
B
次品数 ξ1
概率P
01 2 3
0. 8
0.0 6