数学期望和方差
期望与方差公式汇总
期望与方差公式汇总
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们是用来衡量随机变量分布特征的两个重要指标。
期望是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的期望值，即随机变量取值的期望值。
期望的计算公式为：E(X)=∑xP(X)，其中x表示随机变量的取值，P(X)表示随机变量取值x
的概率。
方差是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的变异程度，即随机变量取值的变异程度。
方差的计算公式为：D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机
变量的期望值，P(X)表示随机变量取值x的概率。
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们可以帮助我们了解随机变量的分布特征。
期望与方差的计算公式分别为E(X)=∑xP(X)和D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
求正态分布的数学期望和方差的推导过程
求正态分布的数学期望和方差的推导过程
正态分布是一种常见的概率分布，它按照正态曲线的形状分布。
正态分布有两个重要的参数，分别是数学期望和方差。
数学期望是指随机变量的平均值，它是正态分布的重要参数之一。
对于正态分布而言，数学期望被定义为分布的中心点，即对称轴。
从
数学上来讲，正态分布的数学期望可以用公式E(X)=μ来计算,其中μ为正态分布的均值。
方差是指随机变量与其数学期望之差的平方的期望值。
方差是描
述数据分布模式的重要参数，它越小，表示数据越聚集；反之，则数
据越分散。
对于正态分布而言，方差可以用公式Var(X)=σ²来计算,
其中σ²为正态分布的方差。
正态分布的数学期望和方差的推导过程较为复杂，需要掌握一定
的数学知识和技能。
一般可以通过概率论和统计学相关知识进行计算，也可以通过在线计算器进行计算。
需要注意的是，在实际应用中，正
态分布的数学期望和方差可以通过样本数据进行估算，从而得到更加
精确的结果。
数学期望与方差
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
条件数学期望与条件方差
称之为随机变量X
D(Y | X )
2、条件方差的性质
条件下随机变量Y的条件
D ( 方Y 差，|记X 为 ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
j1
xi
i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1
21 12
exp{212(112)[x112(y2)]2}
所 以 E(XYy)112(y2) 同 理 E(YXx)212(x1)
二、条件方差
E { [YE (Y|X )]2|X } 存{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总条件方差结
条件数学期望
一、条件数学期望
0 1 离散型r.v. 的条件数 学期望
期望与方差的概念及计算
期望与方差的概念及计算概率统计是应用最广泛的数学分支之一。
其中，期望和方差是两个极为重要的统计量。
他们体现了随机变量的特征和性质，为我们理解数据的特征提供了帮助。
本文将着重介绍期望和方差的概念及其计算方法。
一、期望的概念及计算期望，又称数学期望，是一个随机变量的平均值，其表现了样本空间中各种结果的权重平均值。
我们可以根据随机变量的取值和概率来求期望。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X)=∑xiPi其中，xi是随机变量取得的各个值，Pi是相应的概率。
将每个xi乘以其对应的Pi，再求和，就可以得到该离散型随机变量的期望。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X)= ∫xf(X)dx其中，f(X)是随机变量的概率密度函数。
同样，我们需要将随机变量的每个取值乘以该取值的密度函数值，再在整个样本空间上对其进行积分，即可得到该连续型随机变量的期望。
二、方差的概念及计算方差是随机变量与其期望之间偏离程度的一个度量。
方差越大，说明随机变量分布的波动范围越大。
方差的公式为：Var(X)= E[(X- μ)2] = E(X2)- [E(X)]2其中，μ是随机变量的期望值。
这个公式看起来比较复杂，我们可以简单地理解为：计算随机变量的每个取值与期望的距离的平方，再将这些平方值加起来，再除以总共的取值个数，就得到了方差的值。
那么，如何计算每个取值与期望的距离呢？我们可以借助离差的概念来处理这个问题。
离差，指的是随机变量每个取值与其期望值的差值。
利用离差的概念，我们可以将方差公式写为如下形式：Var(X)= ∑ (xi-μ)2Pi同样，对于连续型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X)= ∫ (x-μ)2f(X)dx三、期望和方差的性质期望和方差是随机变量与概率密度函数之间的一个重要关系。
它们有以下几个基本性质：1. 常数的期望等于这个常数。
2. 线性组合的期望等于各个随机变量的期望的线性组合。
3. 期望的加法分配律。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
数学期望与方差
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12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
g( x ) ( x ) f ( x ) x f ( x ) g( x ).
E ( X ) x f ( x )dx ( x ) f ( x )dx
np Cnk1 p k (1 p) ( n1)k np
k 0
n1
第四章
数学期望和方差
(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
第四章
数学期望和方差
(4)几何分布
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
推论
ab (1)若X ~ U (a , b ), 则E ( X ) . 2
( 2)若X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) .
第四章
数学期望和方差
例2
设X 的概率密度为： 1 x, 1 x 0 f ( x ) 1 x, 0 x 1 0, 其他
n 1
kq k 1 (1 q) nqn 1
kq k 1
k 1
n 1
kq k nqn 1
(1 2q 3q 2 (n 1)q n 2 ) ( q 2q 2 (n 2)q n 2 (n 1)q n 1 ) nqn 1
P ( X xk ) p k ,
若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E ( X ) xk pk
k 1
第四章Leabharlann 数学期望和方差常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布
这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
求E(X).
解:
E ( X ) xf ( x)dx
x(1 x)dx x(1 x)dx
1 0
0
1
0
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章
数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
1 q q 2 q n1
1 q n 1 (1 p ) n 1 q p
第四章
数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf ( x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
第四章
数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数
第四章
数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 数量（个）
注:在第三个等号中利用了等式
这可以由等式
两边同时对x求导数得到.
第四章
数学期望和方差
例1
对产品进行抽样，只要发现废品就认为 这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格. 假设产 品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平 均需抽查的件数.
第四章
数学期望和方差
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
故 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
第四章
数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n.
E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 0 n
n
n! k nk k p (1 p ) k 1 k!( n k )! n (n 1)! np p k 1 (1 p ) ( n1)( k 1) k 1 ( k 1)!( n k )!
k 1 q p, k 1,2,, n 1; P{X k} n 1 q , k n.
其中q 1 p，于是
E( X )
k 1
n 1
kq k 1 p nqn 1
第四章
E( X )
数学期望和方差
k 1 k 1 n 1