数学期望和方差
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数学期望和方差
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10
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12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
12
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则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
常用分布的数学期望及方差
( x − µ )2 2σ 2
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
方差和期望的关系公式
方差和期望的关系公式
方差与期望的关系公式：DX=E（X^2-2XEX+（EX）^2）。
在概率论和统计学中，数学期望（mean）（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood）大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
数学期望与方差
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
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12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
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10 50
则这 50 个零件的平均直径为
各个分布的数学期望和方差
各个分布的数学期望和方差
当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的
平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数为样本方差；样本方差的算术平方
根为样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样
本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差为测算线性趋势最重要、最常用的指标，它就是测算数值型数据线性程
度的最重要的方法。
标准差为方差的算术平方根，用s则表示。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
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数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章 数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章 数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
第四章 数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
这里， X～B(n,p).
第四章 数学期望和方差
例3 将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子
中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数 的数学期望.
解一:设 X 为空着的盒子数,则 X 的概率分布为
X0 1
P
4!
C
41C
64
2
3
C42(C42 C21C43)
C
第四章 数学期望和方差
例2 设X 的概率密度为：
1 x, 1 x 0
f (x) 1x, 0 x 1
0,
其他
解:
E(X ) xf (x)dx
0
1
x(1 x)dx x(1 x)dx
1
0
0
求E(X).
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章 数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
1
18
pi•
38
第四章 数学期望和方差
0
1 p• j
18
18
38
0
18
28
18
18 38
28
38
第四章 数学期望和方差
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E (X ) E (Y ) 0 ; E(X)Y 0; E (X ) Y E (X )E ( Y )
但 P (X0,Y0)0 P(X0)P(Y0)22 8
k1
k1
(12q3 q2 (n1 )qn 2)
(q2q2 (n2)qn 2(n1 )qn 1)nnq 1
1qq2 qn1
1qn 1(1p)n
1q
p
第四章 数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf(x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E(X)xf(x)dx(x)f(x)dx
(x )f(x )d x f(x )dx
( tx f ( )ft)(d tx )d g (x t )d(t令 tx.)
第四章 数学期望和方差
推论
(1 )若 X ~ U (a ,b )则 ,E (X ) a b . 2
( 2 ) 若 X ~ N (,2 )则 ,E ( X ).
P ( X ( x j 1 , ,x j n ) ) p j 1 j n ,j 1 , ,j n 1 .
Z = g(X1 ,…, Xn), 若级数
g(xj1, ,xjn)pj1 jn .
j1 jn
绝对收敛，则 E(Z)E(g(X1,,Xn))
g(xj1,,xjn)pj1jn j1jn
E(X) xk pk
k1
第四章 数学期望和方差
常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布 (2) (3) 这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. (4) 故
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
第四章 数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n. n
E(X)x(fx)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章 数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望
(5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
ex, x0;
f(x) 0, x0.
第四章 数学期望和方差
E (X ) xf(x)d xx
e xdx
0
第四章 数学期望和方差
例1
设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y
相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5).
解：由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E(3X2X YY5)
性质2 和3
3E(X)2E(X)Y E(Y)E(5)
3 1 2 0 E (X )E ( Y ) 3 5
1 4
44
44
第四章
解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. 1, 第i盒空，
性质4
30210335 92
第四章 数学期望和方差
例2 二项分布 B(n,p), 设单次实验成功的概率
是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？
解: 引入
1, Xi 0,
第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则 X＝X1X2 X是n n次试验中的成功次数. 因此，
E E X ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n . p
DkP(Xk)kkp1.1 04
k8
k8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的
概念源于此.
第四章 数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
P ( X x k ) p k , k 1 ,2 ,
若无穷级数
xk pk
k 1
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
g (x 1 , ,x n )f(x 1 , ,x n )d1 x d x n
第四章 数学期望和方差
例3 设离散型随机向量X的概率分布如下表
所示，求Z=X2的期望.
X
0
1
P
2
−1
1
1
1
4
4
解: E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25 = 0.5
注:这里的 g(x,y)x2y.
第四章 数学期望和方差
例5
解:
设随机变量X 服从 二项分布B(n , p),
Y = eaX, 求 E(Y).
n
EY E [ e aX ] e ak P { X k }
k0
n
e ak
C
k n
p
k
(1
p )nk
k0
n
C
k n
(e
a
p
)
k
(1
p )nk
k0
[ e a p (1 p )] n
更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布，
Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
第四章 数学期望和方差
A. 随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概 率分布为
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值.
解：(1) 设整机寿命为 NN , k m 1,2, ,i5{nXk}
5
FN(x)1(1Fk(x),)
k1
1e5x, x 0,
0,
其它，
第四章 数学期望和方差
5e5x, x0,
fN(x)
0,
其它，
即 N ~ E( 5),
注:这里的 g(x) x2.
第四章 数学期望和方差
例4 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分
布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.
Y X
1
2
1
1/8
1/4
2
1/2
1/8
解: E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25
第四章 数学期望和方差
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f(x1,,xn)
Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
第四章 数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章 数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章 数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
第四章 数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
这里， X～B(n,p).
第四章 数学期望和方差
例3 将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子
中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数 的数学期望.
解一:设 X 为空着的盒子数,则 X 的概率分布为
X0 1
P
4!
C
41C
64
2
3
C42(C42 C21C43)
C
第四章 数学期望和方差
例2 设X 的概率密度为：
1 x, 1 x 0
f (x) 1x, 0 x 1
0,
其他
解:
E(X ) xf (x)dx
0
1
x(1 x)dx x(1 x)dx
1
0
0
求E(X).
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章 数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
1
18
pi•
38
第四章 数学期望和方差
0
1 p• j
18
18
38
0
18
28
18
18 38
28
38
第四章 数学期望和方差
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E (X ) E (Y ) 0 ; E(X)Y 0; E (X ) Y E (X )E ( Y )
但 P (X0,Y0)0 P(X0)P(Y0)22 8
k1
k1
(12q3 q2 (n1 )qn 2)
(q2q2 (n2)qn 2(n1 )qn 1)nnq 1
1qq2 qn1
1qn 1(1p)n
1q
p
第四章 数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf(x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E(X)xf(x)dx(x)f(x)dx
(x )f(x )d x f(x )dx
( tx f ( )ft)(d tx )d g (x t )d(t令 tx.)
第四章 数学期望和方差
推论
(1 )若 X ~ U (a ,b )则 ,E (X ) a b . 2
( 2 ) 若 X ~ N (,2 )则 ,E ( X ).
P ( X ( x j 1 , ,x j n ) ) p j 1 j n ,j 1 , ,j n 1 .
Z = g(X1 ,…, Xn), 若级数
g(xj1, ,xjn)pj1 jn .
j1 jn
绝对收敛，则 E(Z)E(g(X1,,Xn))
g(xj1,,xjn)pj1jn j1jn
E(X) xk pk
k1
第四章 数学期望和方差
常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布 (2) (3) 这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. (4) 故
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
第四章 数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n. n
E(X)x(fx)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章 数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望
(5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
ex, x0;
f(x) 0, x0.
第四章 数学期望和方差
E (X ) xf(x)d xx
e xdx
0
第四章 数学期望和方差
例1
设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y
相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5).
解：由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E(3X2X YY5)
性质2 和3
3E(X)2E(X)Y E(Y)E(5)
3 1 2 0 E (X )E ( Y ) 3 5
1 4
44
44
第四章
解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. 1, 第i盒空，
性质4
30210335 92
第四章 数学期望和方差
例2 二项分布 B(n,p), 设单次实验成功的概率
是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？
解: 引入
1, Xi 0,
第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则 X＝X1X2 X是n n次试验中的成功次数. 因此，
E E X ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n . p
DkP(Xk)kkp1.1 04
k8
k8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的
概念源于此.
第四章 数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
P ( X x k ) p k , k 1 ,2 ,
若无穷级数
xk pk
k 1
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
g (x 1 , ,x n )f(x 1 , ,x n )d1 x d x n
第四章 数学期望和方差
例3 设离散型随机向量X的概率分布如下表
所示，求Z=X2的期望.
X
0
1
P
2
−1
1
1
1
4
4
解: E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25 = 0.5
注:这里的 g(x,y)x2y.
第四章 数学期望和方差
例5
解:
设随机变量X 服从 二项分布B(n , p),
Y = eaX, 求 E(Y).
n
EY E [ e aX ] e ak P { X k }
k0
n
e ak
C
k n
p
k
(1
p )nk
k0
n
C
k n
(e
a
p
)
k
(1
p )nk
k0
[ e a p (1 p )] n
更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布，
Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
第四章 数学期望和方差
A. 随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概 率分布为
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值.
解：(1) 设整机寿命为 NN , k m 1,2, ,i5{nXk}
5
FN(x)1(1Fk(x),)
k1
1e5x, x 0,
0,
其它，
第四章 数学期望和方差
5e5x, x0,
fN(x)
0,
其它，
即 N ~ E( 5),
注:这里的 g(x) x2.
第四章 数学期望和方差
例4 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分
布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.
Y X
1
2
1
1/8
1/4
2
1/2
1/8
解: E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25
第四章 数学期望和方差
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f(x1,,xn)
Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分