大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限
《数学分析》课程教学大纲
《数学分析》课程教学大纲课程名称：数学分析课程类别：学科专业必修课适用专业：小学教育考核方式：考试总学时、学分： 48学时、3 学分其中实验学时： 0 学时一、课程教学目的数学分析是小学教育专业数学方向的必修课。
本课程目的是通过系统的学习与严格的训练，使学生对极限思想和方法有较深入的认识，对具体和抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有一定得了解，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
二、课程教学要求本课程教学要求学生切实掌握数学分析中的基本概念、基本理论和基本方法，对知识内容融会贯通。
同时，通过典型例题的分析，讲解，使学生学会分析问题、解决问题、独立思考，及时保质保量完成课后习题。
三、先修课程高中数学基础四、课程教学重、难点教学重点：有极限理论、一元（多元）微积分学。
教学难点：有一元函数一致连续性、导数的应用及定积分的应用。
五、课程教学方法与教学手段数学分析教学采用“二合一”教学模式。
二合一教学模式是指：传统黑板教学+多媒体辅助教学。
六、课程教学内容第一章定积分的基础和研究对象（2学时）1．教学内容（1）微积分的基础——集合、实数和极限；（2）微积分的研究对象——函数。
2．重、难点提示（1）重点是实数系的建立、邻域、函数、反函数以及基本初等函数；（2）难点是邻域的定义及其应用。
第二章微积分的直接基础——极限（12学时）1．教学内容（1）数列极限；（2）函数极限;（3）连续函数。
2．重、难点提示（1）重点是数列极限、函数极限和连续函数的概念及计算极限、判断函数连续性；（2）难点是数列极限的“-N”定义以及判断函数的连续性。
第三章导数与微分（10学时）1．教学内容（1）导数；（2）求导数的方法——法则与公式；（3）微分及其运算。
2．重、难点提示（1）重点是函数导数的概念、求导数的方法；（2）难点是求复合函数的导数、函数连续性与可导性之间的关系。
大学文科数学_张国楚_函数的性质和图象
第四章导数的应用问题——洛比达法则、函数的性质和图像人若志趣不远，心不在焉，虽学无成。
——张载：《张载集》只要将数学应用于社会科学的研究之后，才能使得文明社会的发展成为可控制的现实。
——怀特海本章简介导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义，在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到了广泛的应用。
本章将介绍中值定理，然后以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊极限的简便计算问题，函数的增减性、极值和最值，以及函数图像的绘制等问题。
1联结局部与整体的纽带——中值定理1.1费马定理提出问题函数在某个区间的整体性质与该区间内部某一（或某些）点的导数之间有无关系？若有，那是什么关系？（本节主要解决这个问题）学习过程1、函数极值概念设函数在点的某邻域有定义，如果对于该邻域内任意异于的值，都有，则称函数在点处取得极大值（极小值），而称为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点称为函数的极值点。
比如，函数在点处取得极大值1，而在点处取得极小值-1。
通过观察不难发现，可导函数的曲线在和处的切线平行于轴。
把函数的这种性质加以概括总结就可得出费马定理。
2、费马定理及其几何意义（1）费马定理如果是函数的极值点，并且在该点可导，那么。
证明：不妨设在邻域内，于是，当，当时，.由导数的定义和极限的性质得：因此，。
（2）费马定理的几何意义函数的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。
（3）驻点（稳定点）使导数为零的点称为函数的驻点或稳定点。
想一想：驻点是否一定是极值点？回答是否定的。
如下图4.1、4.2所示，的极小值点，所以，即的驻点；而函数虽有，即的驻点，但它不是极值点。
做一做：请求函数的极值点。
此函数有驻点吗？1.2中值定理提出问题请观察图4.3，然后回答：在连续曲线弧上除端点外，是否存在一点（或一些点），使通过该点切线平行于联结端点的线段AB？回答是肯定的，我们将这一结果加以总结便可得出中值定理。
高数 第二章
§1. 数学发展简史 §2．数学的三次危机 §3. 经典数学问题
3
第一节 数学发展简史
人类历史的长河中， 在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。数 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此， 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此，了 解数学发展历程（数学史）和规律，对于我们认识数 解数学发展历程（数学史）和规律， 学是完全必要的。 学是完全必要的。 在第一章，我们把数学的发展按质分类， 在第一章，我们把数学的发展按质分类，大体分成 四类， 精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 四类，即精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期， 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期，可以认 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 数学的萌芽时期 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。
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人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系，它 包括几何 算术、代数、三角等独立学科 几何、 等独立学科， 包括几何、算术、代数、三角等独立学科，是中小学 数学课的主要内容。 数学课的主要内容。 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275） 约公元前330~约公元前275 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275）的 几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》 《几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》，是人 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 几何原本》 九章算术》 《几何原本》和《九章算术》标志着古典初等数学体系 的形成。 几何原本》全书共13 13卷 的形成。《几何原本》全书共13卷，以空间形式为研究 对象，以逻辑思维为主线， 条公设、23个定义和 个定义和5 对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 467条定理 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成 246个数学问题 术文组成， 《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成，
大学文科数学-张国楚-定积分
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1.3求定积分过程中的辨证思维
无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作 功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎 刃而解. 定积分中的极限方法可以使有关常量与 变量、变与不变等矛盾的对立双方相互 转化，从而化未知为已知，体现了对立 统一法则。同时也体现了否定之否定法 则。
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11
1.4可积条件
定理1 （可积的必要条件） 若函数f（x）在[a，b] 上可积，则 f
根据定理1，
也是f(x)的一个原函数,而这两个
原函数之差为某个常数，所以
F（x） x f（t）dt C a
若令x = a，则因
a f（t）dt 0 a
得 C = F(a).于是
在上式中令x = b，就得到所要证明的公式
b f（x）dt F（b） F（a） a
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18
例1 计算 2 sin xdx 0
原型Ⅰ和Ⅱ的问题可以简洁地表述为:
⑴ 连续曲线y=f(x) ≥0 在[a,b] 上构成的曲边梯形的 面积为函数 y=f(x) 在[a,b] 上的定积分,即
s b f（x）dx a
⑵在连续变力F (x) 作用下,质点m 沿x 轴从点 a 位移 到点b 所作的功为F (x) 在[a,b] 上的定积分,即
第六章 定积分
求总量的问题
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1
（一）教学目标
教学目标：要求学生掌握定积分的概念、 微积分基本定理、非正常积分、定积分 的应用；要求理解定积分的概念，会求 定积分与非正常，能利用定积分解决一 些几何问题；理解李善兰对我国近代数 学发展所起的作用。
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2
（二）教学重点
教学重点：定积分的概念和性质、微积 分基本定理、定积分的换元积分法和分 部积分法、定积分在几何学中的应用。
心理学专业(本科)培养方案
心理学专业（本科）培养方案一、培养目标和培养规格1.培养目标本专业培养具有坚实的心理学基础理论、基本知识和基本技能，能在各级各类学校、企事业单位、公安司法、社区服务机构等部门从事心理健康教育、心理咨询服务和管理工作的教师及相应工作的专门人才。
2.培养规格本专业毕业生应具备以下几方面的知识和能力：（1）热爱祖国，拥护共产党的领导，掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的基本原理，热爱教育事业，具有良好的思想品德、社会公德和职业道德，能为人师表。
（2）掌握心理学的基本知识和基本研究方法，具有一定的实验设计、数据处理和计算机应用能力。
（3）了解相近专业，如数学、教育学、生理学等专业的一般原理和知识。
（4）掌握科学的教育理论、方法，具备良好的教师素养和从事心理健康教育、心理咨询的基本能力。
（5）了解心理学的理论前沿、应用前景和最新发展动态，具有较宽厚的文化修养、科学的思维方式和创新精神，具有良好的心理学应用能力。
（6）掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具有采集、整理、分析实验结果，撰写论文，参与学术交流的能力。
（7）掌握一种外国语，能借助工具书阅读和翻译本专业的外文资料，达到较高水平。
具有一定的计算机水平。
普通话合格。
（8）具有健康的体魄、良好的心理素质和审美修养。
二、毕业应修读学分和获得学士学位的要求毕业生修读不少于164学分,依廊坊师院授予学士学位的暂行规定及有关要求，授予理学学士学位。
三、修业年限基本学制为四年，学生依学业完成情况可在3-6年内毕业。
四、专业主干课程普通心理学、生理心理学、心理与教育统计、实验心理学、教育心理学、发展心理学、心理测量学、认知心理学、心理健康教育、心理咨询。
五、教育教学时间表六、课程类别和结构比例表（表二）专业课程类别和结构比例表七、教学计划表（表四）学科专业基础平台课程教学时间计划表注：带*为专业主干课。
（表五）方向课程模块教学计划表（表六）副修专科专业及辅修专业方向课程表注:1.副修专科专业应从专业课程表中至少选修35学分。
大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限
第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆-----孔子《论语²为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。
（一）学习目的和要求本章的目的是介绍集合、实数和极限。
要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。
了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
（二）课程内容1．极限、实数与集合在微积分中的作用2．实数系的建立及邻域的概念实数系的演变及性质、刻画极限的邻域概念。
3．变量无限变化的数学模型——极限从分形几何中Koch雪花的周长谈起——数列极限、函数极限、无穷小量、极限的四则运算。
4．我国古代伟大数学家——祖冲之（三）重点和难点本章重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。
本章难点：极限概念及其在微积分中的作用。
（四）课程要求1.了解：集合、实数与极限在微积分中的作用，我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
2.理解：函数极限、无穷小量。
3.掌握：极限的四则运算法则。
§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。
学习过程（1）第二次数学危机概说17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之，牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分．数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机．（2）微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．（3）极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．（4）实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．（5）自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．（6）数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量．（7）检验数学可靠性的标准是什么？关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验.小结微积分的理论基础如下图所示.集合自然数实数极限微积分作业思考题微积分的基础是什么？§2 实数系的建立及邻域概念提出问题实数既然是极限的基础，那么，实数具有什么性质呢？在实数范围内又是如何实现极限的呢？学习过程由微积分的基础可知，微积分所涉及的数仅限于实数，本节将简述实数的演变及刻画极限的邻域概念.2.1 实数系的演变及性质（略，有兴趣的学生可参阅教材）（1）为什么要先介绍邻域概念？微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念.（2）如何从几何直观抽象出邻域概念？观察图1.1，在点x0附近的数轴上，有一个开区间（x0－δx0+δ）（δ＞0），其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间（x0－δx0+δ）便会变小，其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不断的点，这就表明落在（x0－δx0+δ）内的变数x便会与x0越来越接近.显然这样的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x0的一种工具，这一工具便称为x0的δ领域.由此可抽象出领域概念.定义与点x0距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点x0的δ领域，记作U（x0，δ），x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图1.1）.显然点x0的δ领域可用集合记号表示为｛x｜｜x-x｜＜δ﹜，或用区间表示为（x0－δ，x0+δ）.如果点x0的δ邻域U（x0，δ）不包括点x0，则称为点x的去心邻域（图1.2）,记作U°（x0，δ），也可用集合记号表示为｛x｜0＜｜x- x｜＜δ.例用邻域符号和区间符号表示不等式（ε＞0）所确定的x的范围，并描绘在数轴上.解由得，即.所以它表示以点为中心、以为半径的邻域，用邻域符号表示为U（）.由得，所以用区间符号表示为（，）.数轴表示略.小结实数最重要的性质是连续性，正是由于这一性质，极限才得以通行无阻，而邻域是极限在实数范围内得以实行的工具。
文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)
第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限精选ppt
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1.数列极限的定性描述
定义1：如果n无限增大时，数列a n 的
同项 a n 无限趋近于常数a，则称该数列
以a为极限，记作 l n i a m n a 或 a n a n .
其中 n表示n无限增大，此时也称为 该数列收敛；如果 n时，不以任何常
数为极限，则称数列 a n 发散。
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无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小 绝量对。值无21n 就 限是 变n 大的时变的量无称穷为小无量穷。大量。 常数列的极限仍是该常数。
1 2
lim
x 0
sin 2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 2
12
1 2
.
完
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例12 求 lx i0m xx ssiin n 22xx.
解 lx im 0 xxssiinn22xxlx im 011ssiixxnn22xx
lim
x0
1 1
2 2
sin 2 2x
sin 2 2x
limf(x)
xx0
lim P ( x )
x x0
lim Q ( x )
x x0
P( Q(
x0 x0
) )
f(x0).
当 Q(x0)0时，则商的法则不能应用.
完
.
例3 求 lx im 1 x2x22x13. 解 x 1时, 分子和分母的极限都是零. 此时应先 约去不为零的无穷小因子 x1后再求极限.
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布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？
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例 5 求： lim
x →
解：原式 = lim (2 x + 1) = 2
x→ 1 2
1 2
4 x 2 − 1 2 x − 1
例 6 .求： lim
n→ ∞
2n3 + n + 1 . 3 3n − 1
1 1 2+ 2 + 3 lim n n 2 解：原式 = n→∞ = 1 3 3 − 3 lim n n →∞
o o x → x0
数，则在点x0的某一去心邻域内，函数值f ( x )也
f ( x ) > 0(< 0).
证明：由于f (x ) → A > 0, ( x → x0 ), 所以由“ε − δ ” 定义可知，若限定任意正数ε = A, 则存在相应的δ， 即0 = A − A < f (x ) < A + A成立，不等式的左半部分 正是所要证明的。 < f 使得当0 < x − x0 < δ 时， ( x ) − A A(= ε )恒成立，
2.无穷小量的性质 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量。 无穷大量的倒数是无穷小量。
3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量α与 β之比的极限是非零常数，表明这两个无 穷小量趋近于0的速度处于同一个级别， 则称α与β是同阶无穷小；特别地，当这 个常数等于1时，则称α与β是等价无穷小； 1 α β 如果这个常数是0，则α是较β高阶的无穷 小；如果比值趋于无穷，则α是较β低阶 的无穷小。
1.数列极限的定性描述
无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 1 小量。 n 就是n → ∞时的无穷小量。 2 绝对值无限变大的变量称为无穷大量。 常数列的极限仍是该常数。
定义2：如果对于任意正数 ε （无论它有 多小），总存在相应的正整数N，使得满 足n>N的一切n，能使不等式 an − a < ε 恒成立，则称数列 {an } 以a为极限，记作：
<ε
2.左极限和右极限（不作为讲解内容）
3.自变量的绝对值无限增大时的情形
对于函数y = f ( x)而言, 当 x 无限增大时， 1 函数f ( x) = 的绝对值无限变小，可见 x 当x → ∞, 即x → +∞或x → −∞时，该函数 1 以常数A = 0为极限，记作： lim = 0.当x > x →∞ x 0或x < 0时，函数f ( x)的极限分别记作
( x + 5 − 3) → 0,
不能直接使用商的极限运算法则. 不能直接使用商的极限运算法则 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子. 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子
x − 4 = lim ( x − 4)( x + 5 + 3) lim x →4 x + 5 − 3 x→4 ( x + 5 − 3)( x + 5 + 3) ( x − 4)( x + 5 + 3) = lim = lim( x + 5 + 3) x →4 x →4 x−4 = lim x + 5 + 3 = 6. 完 x →4
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：实数系的演变过程是怎样的？ 思考题：实数系的演变过程是怎样的？
§3 变量无限变化的数学模型——极 限
3.1数列极限（概念） 以正整数为自变量的函数 y = f (n)，当n依次 , 2， 取 1,2,3,L所得到的一列函数值 ai = f（i）i = 1， 3L ， 称为无穷数列 ，简称数列。数列中的各个数 称为数列的项， 称为数列的通项。数 an 列常简记为 。= f (n)
lim an = a, 或an → a (n → ∞).
n →∞
2.数列极限的定量描述
例
证明：设为任意小的正数ε （不妨设 ε < 1）求N：
n
1 lim 证明：→∞ 2 n = 0. n
1 1 ，由 n − 0 = n < ε 2 2
lg ε . 2 > , 即n > − ε lg 2 1
lg ε , 由前面的推导过程可知，则当 取 N ≥− lg 2
x→2
解 lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5
x→2 x→2 x→2 x→2
= (lim x )2 − 3 lim x + lim 5 x→2 x→2 x→2
= 22 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3
注：设 f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + L + an , 则有
定理2(复合函数的极限运算法则 定理 复合函数的极限运算法则) 复合函数的极限运算法则 设函数 y = f [ g ( x )] 是由函数 y = f (u) 与函数
且在 x0 的某去心邻域内有 g ( x ) ≠ u0 , 则
0 0
u = g ( x )复合而成, 若 复合而成, lim g ( x ) = u0 , u→u f ( u) = A, lim x→ xn>N 时，就有
1 − 0 < ε恒成立 , 得证。 n 2
3.数列极限中蕴含的辨证思想
极限的取得是变化过程与变化结果的对 立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统 一。
1.自变量 无限趋进于有限数 0 的情形 定义1：设函数 y = f (x) 在点 0 的近旁有定 义（在点 0 处可以无定义）。如果对 于任意正数 ε （不管它有多小），总存 在相应的正数δ ，使得满足 0 < x − x0 < δ 的一切 能使 f ( x) − A < ε 恒成立，则 称函数 f (x) 当 x → x0 时以A极限，记作： lim f ( x) = A或f ( x) → A( x → x0 ) ，该定 x→ x 义又称为“ − δ ” 定义。 ε
lim f ( x ) = a0 ( lim x )n + a1 ( lim x )n−1 + L + an x→ x → x→ x x→ x
0
0 0
= a0 x + a1 x
n 0
n −1 0
+ L + an
完
= f ( x0 ).
2 x2 − 9 . 例 2 求 lim 2 x→3 5 x − 7 x − 2 2 2 x 2 − 9 = lim( 2 x − 9) x→3 解 lim 2 x→3 5 x − 7 x − 2 lim(5 x 2 − 7 x − 2) x→3
x
3.2函数极限
x
x
x
x
0
例：证明：lim x = x0。
x→x0
证明：对任意给定的 成立，只需取 δ
f ( x ) − A = x − x0 < ε 恒成立，所以原式成立。
=ε
，显然当 0 < x − x0 < δ (δ = ε ) 时，
ε > 0 ，要使 f (x ) − A = x − x
0
例题：用邻域符号和区间符号分别表示不 ε x 等式 2 x + 1 < (ε > 0) 所确定的 的范围。 2 ε 1 ε 解： 1 ε 由 2 x + 1 < 得 x + < ,即 x − − 〈 。 2 2 4 2 4
1 ε 所以它表示以 − 为中心、以 为半径 2 4 的邻域。用区间符号表示为： 1 ε 1 ε − − − ， + 2 4 2 4
2 ⋅ 32 − 9 = = 9. 5 ⋅ 32 − 7 ⋅ 3 − 2 22
P( x) 注：设 f ( x ) = , 且 Q( x0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) 0 lim f ( x ) = x → x0 = f ( x0 ). = x→ x0 → lim Q ( x ) Q( x0 )
到
的
的
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？ 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献， 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？ 哪些？
§2 实数系的建立及邻域的概 念
§2.1实数系的演变及性质
有 自 整 理 然 数 数 数 集 集 1 2 集 3 集 数 实
第一章 微积分的基础问题
——集合、实数、极限
教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要 求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我 国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻 域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的 概念。 教学时数：6学时。
1 2 3 数 数 数
数
的 实数
数
实数
§2.2刻画极限的邻域概念 与点x0 的距离小于 (δ > 0) 的全体实数的 δ ) U 集合称为点 x0 的邻域。记作：(x0 , δx0 ，称 为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一 δ 邻域可用集合符号表示为 {x x − x0 < δ } 。 如果点 x0 的δ 邻域 U (x0 , δ ) 不包括点 x0 ， 则称为点 x0 的去心邻域。
x → +∞
lim f ( x)或 lim f ( x).
x → −∞
例如： arctan x = lim
x → +∞