区间邻域集合与实数集
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高等数学知识点第一章函数
第一章函数一、实数集合关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。
记作U（x0，a）。
称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。
A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）\｛x0｝或U（x0，a）B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0）C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a）二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作fB、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3取整函数的图像E、函数的自然定义域：即定义域一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。
三、函数的基本特性A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。
由此函数单调性得证。
B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。
（判断函数是否有界一般为求解函数的值域）①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥MC、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x）偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x）非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。
1(1)集合与实数集
具有性质 M = { x x具有性质P }
花括号中竖线前的x 花括号中竖线前的 是 M 中元素的通用符号 中元素的通用符号, 而竖线后 则是 x 所具有的性质 所具有的性质.
4
集合与实数集
注
对几个常用的数集规定记号如下 对几个常用的数集规定记号如下 常用的数集 数集的字母的 右上角 标上 标上: 数集内排除0的集 数集内排除 的集. 的集 数集内排除0与负数的集 数集内排除 与负数的集. 与负数的集 N = {0, 1, 2,, n,};
13
集合与实数集
5. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
,. Any(每一个 的 All(所有的 的字头 的倒写 每一个)或 所有的)的字头 每一个 字头E的倒写 所有的 的字头A的倒写 Exist(存在 或 字头 的倒写 存在)的 存在
" " 表示 "任取 ", 或"任意给定 " " ". "存在 ","至少存在一个或"能够找到 表示 至少存在一个 ",实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样 ". 如 叙述的: 叙述的 任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个 都存在一个 自然数n, 自然数 使得 na > b. 用逻辑符号 和, 将阿基米德公理改写 阿基米德公理改写 公理改写:
8
规定
集合与实数集
2. 集合 集合(set)的关系及集合的运算 的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集. 集合的基本运算有三种 并集 交集 差集 是两个集合, 由所有属于A 设 A, B 是两个集合, 由所有属于A 或者属 元素组成的集合 于B元素组成的集合 称为 与B的 并集 元素组成的集合, 称为A与 的 并集, 记作 A∪B , 即 ∪ A∪B = { x x ∈ A 或 x ∈ B }; ∪
高等数学11集合常量与变量
则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数
设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。 y 如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数 y=f(x) 的定义就得到一个新的 W ( x1 , y0 ) y0 y=y0 函数，这个新函数称为 ( x2 , y) 函数y=f(x)的反函数，记 作 x=j(y)。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不 同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u， v，w，s，t 等。 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学 的习惯。 变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的 变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。
二、函数概念
1. 举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)
Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集，记为AB （读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
区间:
数集{x|a<x<b}称为开区间， 记为(a, b)，即 (a, b)={x|a<x<b}。
y=x
Q(b,a)
y=f ( x)
O
P(a,b) x
y y= K
y =f ( x)
O y= -K x
函数的有界性举例： f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： | sin x | 1。
数集,确界原理
o
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
实数集
具有原点、正方向和长度单位的直线为数轴. 任何一个有理数都恰有数轴上的一个点与其对应, 这种与有理数对应的点称为有理点. 无理数在数轴上对应的点称为无理点. 有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.
实数的全体充满了整个数轴，即实数不但是稠密 的，而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一对 应的关系.实数系统可表示为：
它们的几何解释是很直观的.例如性质(5)，在数 轴上|x|< a表示所有与原点距离小于a的点x构成的点 集，–a<x<a表示所有位于点– a 和点a之间的点x构成 的点集,它们表示同一个点集.性质(6)—(8)可作类似的 解释.
由性质(5)可以 推得不等式|x–A|<a 与A – a<x<A+a是等 价的，其中A为实数， a为正实数.
yy
仅就结论(1)进行证明. 证 由性质(4)，有
| x | x | x | 及 | y | y | y |, 从而有
(| x | | y |) x y | x | | y | 根据性质(6)，由于 | x | | y | 0
(相当于性质(6)中a 0 )，得 | x y || x | | y | .Βιβλιοθήκη ,a)和(a,
a
)
的并，即
U (a, ) (a , a) (a, a )
第一节 预备知识
一、实数集 二、实数的绝对值 三、区间与邻域
一、实数集
整数集 Z {, 2,1,0,1,2,}. 有理数集 Q {x|x p ;p, q Z ,q 0}.
q 无理数 π 3141 592 6 ，
2 1141 421 35. 这种无限不循环小数称为无理数.
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
数学分析1-2数集、确界原理
是正规小数表示.
4. sup S.
(1) x b0 .b1b2 S,
若 x 0, 则x ; 若 x 0, 则 x S .
由于 a0 .a1 an max{ b0 .b1 bn | x b0 .b1 S }, 则 a0 .a1 an b0 .b1 bn . 由 n 的任意性得 x y.
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、区间与邻域
二、有界集
三、确界 四、确界的存在性定理
五、非正常确界
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一、区间与邻域
区间 是指介于某两个实数之间的全体实数， 这两个实数叫做区间的端点
a,b , 且 a b
{ x a x b} 称为开区间，记作 (a ,b)
三、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 最小的上界称为上确界.
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
(i) x S, x ;
(是它的上界)
(ii) , x0 S, 使得 x0 , (比小的不是它的上界)
则称 是 S 的上确界, 记为 sup S .
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步: 1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, .
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2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使 n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
S1 { x | x S , x n0 .n1a2 },
则 S1 , x1 S1, x1 n0 .n1; x S, 1
4. sup S.
(1) x b0 .b1b2 S,
若 x 0, 则x ; 若 x 0, 则 x S .
由于 a0 .a1 an max{ b0 .b1 bn | x b0 .b1 S }, 则 a0 .a1 an b0 .b1 bn . 由 n 的任意性得 x y.
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、区间与邻域
二、有界集
三、确界 四、确界的存在性定理
五、非正常确界
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一、区间与邻域
区间 是指介于某两个实数之间的全体实数， 这两个实数叫做区间的端点
a,b , 且 a b
{ x a x b} 称为开区间，记作 (a ,b)
三、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 最小的上界称为上确界.
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
(i) x S, x ;
(是它的上界)
(ii) , x0 S, 使得 x0 , (比小的不是它的上界)
则称 是 S 的上确界, 记为 sup S .
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步: 1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, .
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2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使 n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
S1 { x | x S , x n0 .n1a2 },
则 S1 , x1 S1, x1 n0 .n1; x S, 1
数集确界原理
x 不是 E
的最大数，所以它不是 E 的上界，即 中任一元素都属于下类
xA 。这说明 E
A
；
2
3 x E ，使得
A、B不漏性由A、B定义即可看出； A、B不乱.设 a A ，b B 因a不是E的上界，
a x b . 4 由 3
a x ，而E内每一元素属于A，所以
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
.
( 1 ) n , 例2 ⑴ S 1 n
则
sup S ______,
⑵ 则
E y y sinx,
inf S _______ .
x (0, ).
inf E _________ . 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则 有 sup S sup A, inf S inf A.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
例6 设A,B为非空有限数集, S A B . 证明: 证 由于S A B显然是非空有界数集 因此S的上， 下确界都存在
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若A B 且B A,
则称 集合A与B相等,记作 A B . 如 A {1, 2}, B { x x 2 3 x 2 0}, 则 A B.
7
集合与实数集
真子集 若A B且A B, 则称 A是B的 真子集, 记作 A B .
如 N Z Q R.
也可用描述法表示为 很多时间 , 很多纸张! 且有很多集合, 其元素是
{ x x 2 x 3 0 }. . 不可数的, 根本无法一一罗列出来
2
更常用的是列出规定这个集合特定性质P
的办法来表示集合, 就是 描述法.
M { x x具有性质P }
花括号中竖线前的x 是 M 中元素的通用符号, 而竖线后 则是 x 所具有的性质.
的余集
AC { x x 0或x 1}.
11
集合与实数集
3. 集合(set)的运算法则
设A, B, C 为任意三个集合, 则下列法则成立:
(1) 交换律 A∪B =B∪A, A∩B =B∩A ; (2) 结合律 ( A∪B ) ∪C = A ∪( B ∪C ) , ( A∩B ) ∩C = A ∩( B ∩ C ) ; (3) 分配律 ( A∪B )∩C = ( A ∩ C )∪( B ∩ C ) , ( A∩B )∪C = ( A ∪C ) ∩( B ∪ C ) ; (4) 对偶律 (A∪B)C = AC ∩ BC , (A∩B)C = AC ∪ BC ;
5
集合与实数集
全体有理数的集合 记作Q, 即
p Q p Z, q N+ 且p与q互质 ; q 全体复数的集合记作 C, 即
2 { a bi a , b i C R, 1}
全体实数的集合 记作R, R＊为排除0的实数集, R+为全体正实数的集.
6
集合与实数集
A
B
9
集合与实数集
集合的基本运算有三种: 并, 交, 差. 由所有既属于A 又属于B元素 组成的集合, 称为A与B的交集,记作 A∩B, 即 A∩B { x x A 且 x B}; 并与交. 由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集合, 称为A与B的差集,记作 A B , 即
A
B
推广 两个集的并与交可推广到任意多个集
空集 不含任何元素的集合称为 空集.
2 { x x R , x 1 0} 如 (记作 ),
规定 非空集.
空集为任何集合的子集. 今后在
提到一个集合时, 如不加特别声明, 一般都是
8
集合与实数集
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集. 设 A, B 是两个集合, 由所有属于A 或者属 于B元素组成的集合, 称为A与B的 并集, 记作 A∪B , 即 A∪B { x x A 或 x B};
B
O
A B
A
y
1
x
如, A ( 1,1), B [0,1], 1 则A B {( x , y ) 1 x 1, 0 y 1}
第一节
集合与实数集
集合及其运算 实数的性质
区间与邻域 确界与确界原理
小结
第一章 函数
作业
1
集合与实数集
一、集合及其运算
1. 集合(set)概念与记号 集合 (集) 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 (简称元) 组成这个集合的事物称为该 集合的 元素(element). 通常以大写字母 A, B , M 等表示集合, 以小写字母 a , b, m 等表示集合的元素.
A B { x x A 且x B }.
A
B
10
集合与实数集
例如,设A 1,2,3,4, B 3,4,5,6, 则 A∪B 1,2,3,4,5,6, A∩B 3,4, A B 1,2. 注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 称为 全集或基本集,并用 I 表示, 并把差积 I A 特别称为A的 余集或补集.记作 AC . 例如, 在实数集R中, 集合 A { x 0 x 1}
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
列举法有很大的局限性.
3
集合与实数集
2 例 由方程由不超过 310 的奇数组成的集合 0 的根组成的集合, 10 如: x 2 x 可用列举法表示为 1,3, 其元素有 50亿个, 要把它们全部写出来 , 得用
4
集合与实数集
注
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上:
“”
“ ”
数集内排除0的集.
数集内排除0与负数的集. N {0, 1, 2,, n,};
全体非负整数即自然数的集合 N, 即 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
全体整数的集合记作 Z, 即 Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,};
若a是A的元素 , 则说a属于A, 记作 a A;
否则记 a A 或 a A.
2
集合与实数集
有限集 只含有限个元素; 集合分类 无限集 不是有限集的集合. 列举法 表示集合方法有两种 描述法
把集合的全部元素一一列出来, 外加花括号. 例 考察由下列元素 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 组成的集合 A,可以用列举法将其表示成
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系
子集 两个集合 A 1,2, B 1, 2, 3, 4
A中的每一个元素都属于 B. 一般地,
若x A,则必x B, 则称 A是B的子集, 记作 A B (读作A包含于B) 或 B A (读作B包含 A).
集合相等
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集合与实数集
法国数学家、哲学家(Descartes 1596~1650年) (5) 幂等律 A∪A = A, A∩A = A; (6) 吸收律 A∪ = A, A∩ = .
y
4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x , y ) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.