实数的运算一对一辅导讲义

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1对1讲义实数

1对1讲义实数

学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 朱文洁 学校 十五中 年级及科目七年级数学教师Wang longbiao课 题 实数授课时间:18:30----20:30教学目标教学内容【基础知识梳理】 1、无理数(1)概念:无限不循环小数的小数叫做无理数它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)开方开不尽的数,如:39,5,2等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。

应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π(2) 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。

例1.(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。

(填序号)(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5例2.下列说法中,正确的是( ) A .数轴上的点都表示有理数 B .用根号表示的数不一定都是无理数C .1/27 的立方根是±1/3D .任何实数的平方根都有两个,它们互为相反数变式训练1、下列说法正确的是( ) A .4的平方根是2B .38是无理数C .实数和数轴上的点一一对应D .无限小数都是无理数2、若|a |=2.那么实数a 的值是( ) A .2 B .-2 C .2或-2 D .0【实数】(1)有理数与无理数统称为实数。

一对一讲义实数计算

一对一讲义实数计算

龙文教育一对一讲义教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题实数(一)学习目标与分析1. 公式b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0),ba ba =(a ≥0,b >0)从右往左的运用.2. 了解含根号的数的化简,利用化简对实数进行简单的四则运算.3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算.学习重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。

学习方法 讲练结合法学 习 内 容 与 过 程教 师 分 析 与 批 改1.计算23475482131-+的结果是 ( )A. 2B. 0C. -3D. 3 2.化简:①1132328-+; ②125205-;③22)77()77(--+。

3.已知,32,32-=+=y x 22y xy x+-求。

学习内容与过程教师分析与批改二.选择题:11.计算:= ()(A)(B)(C)或(D)12.9的平方根是()(A). 3 (B). -3 (C). 3 (D). 8113.用科学记数法表示0.00032,正确的是()(A).(B). (C).(D).14.在实数π,2,,,tan45°中,有理数的个数是()(A) 2个(B) 3个(C) 4个(D) 5个15.0.00898用科学记数法表示为()(A) 8.98×10-3(B) 0.898×10-3(C) 8.98×10-4(D) 0.898×10-416.观察下列各题的运算①,②·,③(sin225°+sin265°-t(A)n225°·)0=1,④,⑤(-7)2=14,⑥|4-7|=7-4其中算对的有()(A)③⑤(B)②⑥(C)③④⑤⑥(D)⑤⑥。

第2讲 实数

第2讲 实数

师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲 实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,有序实数对与平面上的点一一对应;了解数的范围由有理数扩大为实数后,概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点;数是中学数学重要的基础知识,中考中多以选择题、填空题的形式出现,实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算,常以计算或化简题型出现.另外,命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一 实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分: 按与0的大小关系分:实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释:(1)所有的实数分成三类:有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.(2)无理数分成三类:①开方开不尽的数,如5,32等;②有特殊意义的数,如π; ③有特定结构的数,如0.1010010001…(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式. (4)实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质:在实数范围内,正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式: (1)任何一个实数a 的绝对值是非负数,即|a |≥0; (2)任何一个实数a 的平方是非负数,即2a ≥0;(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质: (1)非负数有最小值零;(2)有限个非负数之和仍是非负数;(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0. 4.实数的运算:(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.(2)运算顺序在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行. 5.实数的大小的比较:有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数 大;法则2.正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小; 法则3. 两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法. 考点二 平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根 立方根被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根,且互为相反数;零的平方根为零; 负数没有平方根;一个正数有一个正的立方根; 一个负数有一个负的立方根; 零的立方根是零;重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2.算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根,a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零,即0=0.(2)算术平方根都是非负数,即a ≥0(a ≥0). (3)(a )2=a (a ≥0),a 2=|a |.(4)ab =a ·b (a ≥0,b ≥0);a b =ab(a ≥0,b >0).【名师提醒:平方根等于本身的数有 个,算术平方根等于本身的数有 ,立方根等于本身的数有 。

《实数》 讲义

《实数》 讲义

《实数》讲义一、实数的定义实数,是数学中最基本的概念之一。

简单来说,实数就是有理数和无理数的统称。

有理数,大家应该都比较熟悉,像整数(包括正整数、零、负整数)和分数(包括有限小数和无限循环小数),都属于有理数。

比如5、0、-3 、1/2 、0333 等等。

而无理数,则是那些无限不循环小数。

比较典型的无理数有圆周率π(约等于 31415926)、根号 2(约等于 14142135)等等。

二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。

对于任意两个实数 a 和 b,要么a < b,要么 a = b,要么 a > b,这三种情况必有且仅有一种成立。

2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间,总是存在着无数个其他的实数。

这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的,没有任何空隙。

3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除(除数不为 0)四则运算的封闭性。

也就是说,两个实数进行四则运算,其结果仍然是实数。

例如:3 + 5 = 8,5 2 = 3,3 × 4 = 12,6 ÷ 2 = 3 。

而且,实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。

交换律:a + b = b + a ,a × b = b × a 。

结合律:(a + b) + c = a +(b + c) ,(a × b) × c = a ×(b ×c) 。

分配律:a ×(b + c) = a × b + a × c 。

三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都对应着一个实数。

例如,实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示;实数-3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。

四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。

七年级下册实数以及实数的运算讲义

七年级下册实数以及实数的运算讲义

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 : 上 课 次 数 :学 员 姓 名 : 辅 导 科 目 : 学 科 教 师 : 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义:无限不循环小数叫做无理数,如π=3.1415926…,2 1.414213=,-1.010010001…,都是无理数。

注意:①既是无限小数,又是不循环小数,这两点必须同时满足;②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是:前者不能化成分数,而后两者都可以化成分数;③凡是整数的开不尽的方根都是无理数,如2、3等。

例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想:有理数与无理数的区别?注意:判断一个数是否为无理数,不能只从形式上看,带根号的不一定是无理数,只有开方开不尽的数是无理数。

练习:下列说法正确的是( )A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数:有理数和无理数统称为实数 实数的分类:① 按定义分类: ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对?并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数;②无理数都是无限小数;③带根号的数都是无理数;④有理数都是实数,实数不都是有理数;⑤实数都是无理数,无理数都是实数;⑥实数的绝对值都是非负实数;⑦有理数都可以表示成分数的形式。

2. 实数的几个有关概念:①相反数:a与-a互为相反数,0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数:若0a≠,则1a称为a的倒数,0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值:一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。

(完整版)实数讲义

(完整版)实数讲义
当 时, ,例如 ;
当 时, ,例如
5、立方根的概念及性质(例8)
(1)立方根的定义:一般地,如果一个数 的立方等于 ,即 ,那么这个数 就叫做 的立方根,也叫做 的三次方根.如 ,2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质:一个正数有一个正的立方根,一个负数有一个负的立方根,0的立方根是0.
(3)立方根的表示:数 的立方根用符号“ ”来表示,读作“三次根号 ”。其中, 称为被开方数,3称为根指数。
12、近似数(例15)
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数,我们把它叫做近似数.
注意:近似数产生的原因主要有两种:(1)有些需要度量的数,由于受到测量工具精度的限制,得到完全准确的数值几乎是不可能的,这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示;(2)有时没有必要完全准确,用近似数表示就可以了.
6、开立方(例9)
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
(1)开立方是一种运算,是与加、减、乘、除、乘方一样的运算,是求立方根的过程,立方和开立方互为逆运算.
(2)由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数(例10)
(1)无理数:无限不循环小数叫做无理数.
(2)无理数的常见类型主要有以下3种:
(3)对于带有“文字单位”的近似数,在确定其精确到哪一位时,分为两种情况:文字单位前面是整数,如18亿,则它精确到文字单位这一位(亿位);文字单位前面是小数,如2.61万,则先将它还原为普通数26100,此时1所在的数位(百位)就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中,没有平方根的是()
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数;
圆周率 及一些含有 的数;
无理数与有理数的和、差,无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.

12.6 实数的运算 讲义

12.6 实数的运算  讲义

第十二章 第6讲 实数的运算学习目标理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算;会利用平方根意义化简根式;掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方的运算;能辨别精确数与近似数,并能确定近似数的精确度,能求出近似数的有效数字。

知识精要1.实数的运算法则:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算,有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍然适用。

2.实数的运算顺序:实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同,先乘方、开方,再乘除,最后算加减。

同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号的要先算括号里面的。

3.实数的运算结果:对于涉及无限小数的运算,可以根据保留几位小数的要求,取无限小数的近似值(有限小数)进行运算,将实数的运算转化为有限小数的运算,逐步接近原来的运算结果;对于涉及无理数的运算,如果没有指明运算结果保留几位小数,那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简,其结果可能是化简了的一个算式。

4.实数的运算性质: (1)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(,)0(,0)0(,2a a a a a a a (2))0()(2≥=a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab (4))0,0(>≥=b a ba b a 5.实数的精确度:一般来说,完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数;与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数(或近似值)。

近似数与准确数的接近程度即近似程度,对近似程度的要求叫做精确度。

近似数的精确度通常有以下两种表示方式:(1)精确到哪一数位,例如:精确到百分位,或精确到0.01;(2)保留几个有效数字。

有效数字:对于一个近似数,从左边第一个不为零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字。

经典题型精讲(一)实数的基本运算例1.不用计算器,计算: (1)520⨯ (2)33913÷ (3))32132(33-- (4)1523458⨯- (5)51107÷⨯ (6)42625)2(+- (7)0)14.3()23)(23(-+-+π (8)22)572()572(-+举一反三:计算下列各题: (1))32332(23-- (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)7721(737274 (3)2)2(16+ (4)2332⨯÷÷ (5)332332÷⨯ (6)332332÷⨯ (7)32053÷⨯ (8)[]2232)7(- (9)22)23()23(--+例2.化简:(1)347+ (2)2)549549(--+ (3)722341012--+举一反三:化简:(1)2)23(- (2)2)10(-π (3))7(962=+-x x x例3.已知:0981642=+-+-a a b a ,求实数b a 、的值。

人教版中考数学复习机构一对一讲义:实数、整式及分式

人教版中考数学复习机构一对一讲义:实数、整式及分式

实数、整式及分式(2019-2-23)
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三、数与式提高专题
精讲精练
题型 1 新定义运算:
a*b 例 1、对于两个不相等的实数 a、b,定义一种新的运算如下,
a﹣ a bb(a
b>0) ,
3*2 如:
32 3﹣2
5 ,那么 6*(5*4)=

题型 2:逆用幂的运算性质
题型二:计算
例 2:计算:
+(2018﹣π)0
实数、整式及分式(2019-2-23)
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变式练习 2:
(1)先化简,再求值: a2 1 a2 2a 1 ,其中a 1
a 1
a2 a
2 3
(2)已知 1 + 1 = ab
5
(a≠b),求
a
ba
b
a
b
a
b
的值.
题型三:找规律(提高题型)
D.2.1³1011 元
2、若 x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数,则 x+y 的值为(

A. 3
B. 9
C. 12
D. 27
实数、整式及分式(2019-2-23)
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3、下列计算正确的是( )
A.a+a=2a
B.b3²b3=2b3
C.a3÷a=a3
D.(a5)2=a7
A. (1,4)
B. (5,0)
C. (6,4)
D. (3,0)
实数、整式及分式(2019-2-23)
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(3)阅读材料:求 1+2+22+23+24+…+22017 的值. 解:设 S=1+2+22+23+24+…+22016+22017,将等式两边同时乘以 2 得:
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归纳:(1)数 的相反数是,这里 表示任何一个实数。
(2)一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的;0的绝对值是。
(3)如果a≠0,那么它的倒数为。
在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
二、例题讲解
例1.把下列各数分别填写在相应的括号内.
无理数集合{ };
例5.计算: ;
答案:解:原式

三、课堂练习
.1、 满足 ,则
2、填空:
(1) 的相反数是,绝对值是。
(2)绝对值等于 的是, 的平方等于。
(3)比较大小:-7 。
3、例:计算下列各式的值,并说出每一步的依据是什么?
(1) ;(2)
(3) ;(4)
(5)、 ( +2) (6)、 ( + )
四、课堂小结
有理数集合{ };
正实数集合{ };
分数集合{ };
负无理数集合{ }.
答案:解:无理数集合{ };
有理数集合{ };
正实数集合{ };
分数集合{ };
负无理数集合{ }.
例2.化简: .
答案:解: ,

故 .
例3题计算: .
答案:解:原式
例4.已知 ,求代数式 的值.
答案:解:
又由已知可得 ,

故原式 .
6、下列说法正确的是( )
A、 的平方根是 B、 表示6的算术平方根的相反数
C、任何数都有平方根D、 一定没有平方根
7、若 ,则
8、 在两个连续整数 和 之间,即 ,那么 、 的值是
9、计算下列各题
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律吗?
根据这个规律先写出下面的结果,并说明理由
10、已知: ,求: 的平方根
课题
实数的运算
授课日期及时段
教学目的
理解与掌握实数的运算律与运算法则
教学内容
一、知识梳理
(一)、温故知新:
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律。
3、说一说有理数的混合运算顺序。
(二)、新知导学:
1、思考:
的相反数是, 的相反数是,0的相反数是。
实数的运算按照实数的运算规律和法则
五、课后训练
1、若a+b=0,则a与b_______________________。
2、若︱x︱=a则x=_____________。
3、若a表示任意一个实数,数a的相反数是_____________。
4、分别写出 , 的相反数。
5、指出 , 各是什么数的相反数?
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