实数知识点总结
平方根的有关概念
例1:写出下列各数的算术平方根。
81 」 2
（1）0.0009 ；（2）方；（3） -5
49
?平方根
1.
定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。即如果x
负平方根用“-2 a ”表示，根指数是2时，通常省略不写。
一 J. a 记作士 Pa ，读作“正、负根号 a ”。
实数
那么x 就叫做a 的平方根。如：
_22
=4，所以4的平方根是_2 ；
9
25
所以
9
3
— 的平方根是 二—；02 = 0 ,所以 25 5
0的平方根是0。
2.表示方法
一个数a 的正的平方根，用符号“
2
a ” 表示，a 叫做被开方数,
2叫做根指数,
如Va 记作需，读作“根号a ”,
温馨提示
① 任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。 ② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的，反过来说“
25的平方根是5”就错了，因为“正
数有两个平方根”，所以必须说“ 25的平方根是土 5”。 ③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。 3?平方根的性质
(1 )一个正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作 a 。
(2) 零的平方根是零。
(3)
负数没有平方根。 厂温馨提示
条件。
例2:判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1) 一 6的平方根是36；( 2)1的平方根是1；( 3)-9的平方根是—3 ；( 4) 361 二-19 ；
(5) 9是一 9 2的算术平方根。
而判断一个数是不是另
①a _ 0时，
、a 表示a 的算术平方根，
-,a 表示a 的平方根。
②因为负数没有平方根，所以被开方数
a _ 0。女口 x - 3中隐含着x-3_0，即x_ 3这一■
③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=*
a, a -a, a : 0.
-0,
一?开平方的方法
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算与平方运算互为逆运算。
-..a 表示非负数a 的平方根，■■. a 表示非负数 负的
平方根。
例1：下列各式中正确的是(
) A. : -3^-3 B. C.
二3，= _3
D.
二?平方根的性质的应用方法
要判断一个数有无平方根或平方根有几个，关键是确定这个数是正数、负数还是
0。如
果m,n 是正数a 的平方根，那么有 m = n 或m ，n=0 ；但如果正数a 平方根是m, n ,那么 只能有m ■ n = 0。
例2:如果一个数的平方根是x 3与2x -15，那么这个数是多少？
三.利用平方根的概念解方程的方法
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
0只有一个平方根，负数没有平方根。在解
方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值。
例3:求下列各式中的x 的值。
2 2
(1) x =361； (2) 81x 「49 = 0 ; (3) 49 x 2 1 =50 ； (4) 3x-1 2 =：一5 2
a 的算术平方根，- ?. a 表示非负数a 的
-.3^-3 3—3
实数
立方根的有关概念
一.立方根
例1:求下列各数的立方根：
27
(1) ； (2) - 27 ; (3) - 0.216
64
2.立方根的性质
（1）正数只有一个正的立方根；
（2）负数只有一个负的立方根；
（3）零的立方根为零。
［温馨提示\
①一个数的立方根是唯一的。
②正数的奇次方根时正数，负数的奇次方根是负数，零的任何正整数次方根均为0。
③垃-a = 一翠a、傀匚7 $ = —a、％a3 =a，公式中的a可取任意数。
④当两个数相等时，这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等。即若a b，则3 a 3 b;若3 a 3 b，则a b。
例2:下列说法中错误的有（)
① 任何一个数都有立方根； ② 14的立方根是3 14 ; ③ 3是27的立方根；
④ 正数的平方根有两个，立方根也有两个。
A.0 个
B.1 个
C.2
二?开立方
求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。 例如：8的立方根为3
8 ^2。
②开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系,
负数(在实数范围内) 不能开平方但可以进
行开立方运算。
③ 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后取它的相反数，即 站-a = -站a (a a 0 )。
④ 求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
例3:求下列各式的值。
—丄；⑵蚯、；(3)
彳27_5；(4)
3
三?立方根与平方根的区别和联系 1?立方根与平方根的不同点:
(1 )定义不同：平方根的概念强调“平方”二字，立方根的概念强调“立方”二字，即平 方根的逆运算是平方，立方根的逆运算是立方。 (2)
表示方法不同：平方根用“ 土旷”表示，根指数2可以省略，写成“土、立
方 根用“ 3「”表示，根指数3不能省略，更不能写成“二3「”。
(3 )性质不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而任何一个数的立方根却只 有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
(4) a 的取值范围不同：平方根- a 中a 的取值范围必须是非负数， 而立方根3 a 中a 的
取值为任何数，即正数、负数、零均可。 2?立方根与平方根的相同点:
(1)都是求根：平方根与立方根的定义都是建立在乘方概念的基础上。
在指数式x^a 中，
当n = 2时，求x 的值就是求a 的平方根；当n =3时，求x 的值就是求a 的立方根。这就 表明无论是求平方根
①被开方数的数可以是正数、负数和
0。
个 D.3
还是求立方根，都是已知指数和幕，求底数。
(2 )都与乘方知识有关：不论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。开方是乘方的
逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
(3 )零的平方根与立方根都是零。
(4)都可以归结为非负数的非负方根来研究：平方根主要是通过算术平方根来研究；而负
数的立方根也可以通过3= -3 a a 0转化为整数的立方根来研究。
1掌握方法=
一.立方根性质的应用方法
(1)正数、0、负数都有立方根，且只有一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符
号是一致的；
(2 )一个数的立方的立方根、一个数的立方根的立方都等于其本身；
(3)互为相反数的立方根仍互为相反数，互为相反数的立方仍互为相反数。
例1:若3 2a -1 一3一5a 8，求a2015的值。
二.利用立方根的概念解方程的方法
正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；o的立方根是o。在解方程时，
利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值，在求立方根时，常需转化为X3二a的
形式，也常常将x a 3中的x a看作一个整体。
例2：求下列各式中x的值：
(1) 8x327 =0 ； (2) x -1 3=64；
(3) 64(x+1^=27 ； (4) 3(x—3^—24= 0。
三?方根中小数点移动规律的应用
在开方运算中，被开方数的小数点移动时，其方根的小数点相应地移动是有规律的：(1) 在开平方运算中，被开方数的小数点向左(右)移动两位时，其平方根的小数点向左(右) 移动一位；(2)在开立方运算中，被开方数的小数点向左(右)移动三位时，其立方根的小
数点向左（右）移动一位。
例3:填空：
(1)已知3216=6，贝『0.216= ________ , 3 216000= ________
(2)已知3.1331 =11，则3 1.331= _______ , 3 1331000= _______
［夯实基础
J ---- - -----
一?无理数
无限不循环小数叫做无理数。 /温馨提示
① 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无理数是指无限不循环小数。
② 常遇到的无理数有三类：开放开不尽的数的方根，如 .3， - 3 5等；特定结构的数，如
0.303 003 0003…；特定意义的数，如 二。
③ 许多带根号的数是无理数，如
,5、-.7等，但带根号并不是无理数的本质特征，因为像
v4 , J9 , V8,
等都是有理数。
\27
④ 有限小数和无限循环小数都可以化为分数， 所以都是有理数；而无限不循环小数不能化为
分数，是无理数。
⑤ 无理数与有理数的和、差一定是无理数。 ⑥ 无理数乘或除以一个不为 0的有理数，结果一定是无理数。
二?实数及其分类
有理数和无理数统称为实数。 1?按定义分类
- 正整数 整数〈零
负整数
2?按性质分类
实数
实数
有理数《 实数
分数*
正分数
负分数
无理数丿
正无理数
负无理数
正整数 正分数 正无理数 负整数
负分数
负无理数
例1：把下列各数填入相应的集合内:
(3)实数的倒数
1
实数的倒数和有理数的倒数一样，如果 a 表示一个非零的实数，那么 a 与一互为倒数。
a
实数a 与b 互为倒数，则ab =1,反之也成立。
(4) 实数与数轴上的点是 对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每 一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实
数大；正实数大于一切负实数， 0大于一切负实数，正实数都大于 0。任意两个实数间都有
无数个有理数和无理数。
（5）实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算
正实数
负实数』负有理数」
-0.55 , 3
-8 , i ，0, "，-31，34，
-4.85 ,
-9,
0.232232223
(每两个3之间依次多1个2 ), -6.1
整数集合｛ 正无理数集合｛ ...}; 负分数集合｛ ...};
负实数集合｛
三.实数的性质 (1)实数的相反数
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的。
只有符号不同的两个数互为相
反数，即实数a 的相反数是-a 。实数a 与b 互为相反数，则a ?b = 0，反之也成立。 (2)实数的绝对值
实数的绝对值和有理数的绝对值的意义相同， 一个正实数的绝对值等于它本身；
一个负
实数的绝对值等于它的相反数；
0的绝对值是0。
一个实数a 的绝对值:
a 手0 a =0 ,
-a a ：：
律、运算法则在实数范围内仍适用。
交换律：a b = b a，ab = ba ；
结合律：a b c 二a b c，abc = abc ；
分配律：a b c = ab ac。
例2：求下列各数的相反数和绝对值。
（1）.7 ；（2）一3 9 ；（3）；（4）1-2。
2
［掌握方法=
一?无理数的识别方法
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写成无限不循环小数的形式，而把无理数
写成无限不循环小数的形式不但很麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型：（1）开方开不尽的数的方根，但切不可认为带根号的数都是无理
数；（2）化简后含二；（3）不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。
例1：把下列各数分别填入相应的括号内。
33 二
0 , 1.5789 , 16 , 0.3 , - 0.202002000200002 , ，—。
37 2
二.无理数的估计方法
对于无理数的估算问题，要理解算术平方根、立方根的意义。求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值
较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数。求一个数的立方根与哪个整数最接
近，方法和求一个数的算术平方根与哪个整数最接近相同，只要确定被开方数的值在哪两个
相邻整数的立方之间，再确定和被开方数差值最小的那个整数的立方根即可。
例2：若m = 40 -4，则m的值所在范围是（）
A.1 ：：m 2
B.2 ：： m ::: 3
C.3 ：：m 4
D.4 ：：m 5
三.实数与数轴上点的对应关系的应用方法
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上
的点与实数是一一对应的关系。
A.0
B.1
C.-1
D.
例3:如图所示，数轴上表示1 , 、、2的点分别为A, B ，点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，设点C 所表示的数为x 。 (1) 写出实数x 的值； O C A B
(2)
求＜2 2的值。 —0—* 厂石
四. 实数大小的比较方法
比较实数大小的方法较多，常见的有作差法、作商法、倒数法、平方法、估算法。这里 主要介绍一下平方法。用平方法比较实数大小的依据是对任意正实数a,b ，有
例4:比较下面几组数的大小：
(1) 3 与.10 ; (2) -1.732 与-、..3 ; (3) 1.5 与旦」；(4) - 1，-丄，-丄
2 丁10 兀 3
五?非负数的性质的应用方法
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。常见的非负数：
① 任意实数a 的绝对值是非负数，即 a 工0 ；
② 任意实数a 的平方(偶次方)是非负数，即
a 2 _0 ( a 2" _0，n 为正整数)；
③ 任意非负数a 的算术平方根是非负数，即 a _0。
(2 )非负数的性质：
①若两个非负数的和为 0,那么这两个数一定都为 0,常见一下几种形式：
j — f —
a = 0 石+』匕=0，丿
；反之亦然。可推广为 n 个非负数之和为 0，则这n 个非负数一定
= 0
都为0。
② 非负数有最小值，最小值是 0。
③ 有限个非负数之和仍然是非负数。
例5:若a,b 为实数，且|a +1
= 0，贝U (ab f 5的值是( )
a — 0
若a 2 + b 2 = 0，则丿
；反之亦然。若
b =0
a = 0
a 十
b = 0，则丿
；反之亦然。若
p = 0
六?无理数的小数部分的确定方法
确定一个非完全平方数的算术平方根的小数部分的方法：把这个无理数夹在相邻的两个
整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部
分。
例6:已知a, b分别是,13的整数部分与小数部分，则2a — b二_____________