数轴上的点集与点列极限

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实数的基本定理

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理单调有界数列必收敛. 证明不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2）证由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3）同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，（4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5）联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。

设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。

第二章数列极限

1. 实数及其性质
回顾中学数学里关于有理数和无理数的定义.
有理数：
⎧⎪能用互质分数 ⎨
p q
(
p,
q
为整数，q
≠
0)
表示的数；
⎪⎩有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
例 1 设 p 为正整数，若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数.
证明：反证法。若
p 是有理数，则
p 可表示成：
p
=
n ，从而整数 p 可表示成： p = m
记作ξ = inf S . 上确界与下确界统称为确界。
{ } 例 1 讨论数集 S = x x为区间(0,1)中的有(无)理数的确界。
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。 sup S = 1, inf S = 0.
例 2（１）
S = [0,1],sup S = 1,inf S = 0. （２）
分析：首先，由 S = A ∪ B 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。
〖课外作业〗
2-2 数列极限
4
〖教学目的和要求〗初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；学会用定义证明极限的基本方法；加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义。
（其中 xn 为 x 的 n 位不足近似， yn 为 y 的 n 位过剩近似）．
例 2 设 x, y 为实数， x < y ，证明存在有理数 r ，满足 x < r < y ．
( ) 证明
由x<
y 知：存在非负整数 n，使得 xn
<
yn ．令 r

度量空间中收敛点列是有界点集证明

度量空间中收敛点列是有界点集证明在数学的世界里，收敛点列这玩意儿可真有趣。

想象一下你在海滩上，捡贝壳的时候，突然发现一堆漂亮的贝壳在你面前聚集。

你会觉得，这些贝壳就像一条条小鱼，它们朝着同一个方向游去，慢慢地靠近一个神秘的地方。

这种感觉其实跟点列的收敛很像。

点列在度量空间里就像这些贝壳，渐渐靠近某个特定的点。

这个点就是所谓的“极限”，就好像你眼前的那个贝壳一样，大家都想聚集到这里，真是热闹非凡。

说到点列的收敛，首先得明确一点，收敛的意思就是点列的每一个元素越来越接近一个特定的点。

举个简单的例子，假设你在比赛中跑步，你每一次都能越来越接近终点，那终点就是你的极限。

在这种情况下，你可能会想，点列是无限的，难道它就不能是有界的吗？我跟你说，这绝对是个误解，点列的确是有界的。

换句话说，虽然它可以跑得很远，但它其实总有个范围，不能说它在天上飞，一会儿就不见了。

就像咱们不能随便跑去马尔代夫度假，钱包也要有个限度嘛。

让我们进一步深入这个话题，想象一下一个点列，它的元素像一颗颗小星星，慢慢聚集到一个星球上。

每颗星星代表一个点，而这个星球就是那个收敛点。

看起来好像是个小小的聚会，点列中的每个点都在尽力靠近这个星球。

可是，假如这些点没有界限，像是随便飞到太空中，那就不行了，大家会迷路的！所以说，收敛点列一定是有界的，它的每一颗星星都在某个范围内活动，不会飞出太远。

你可能会问，那到底怎么证明点列是有界的呢？证明这个事情就像是侦探破案，得仔细观察、慢慢推理。

首先我们得看点列的定义，设这个点列为 (x_n)，而它的极限点为 (x)。

随着 (n) 越来越大，(x_n) 总是会离 (x) 越来越近。

就好比你要往一个小镇的咖啡馆走，虽然路途遥远，但每一步都是在逐渐接近。

也就是说，存在一个正数 (r)，让所有的 (x_n) 都在以 (x) 为中心，半径为 (r) 的圈圈里。

这就确保了，所有的点都不至于跑得太远，果然是有界的。

再想象一下，如果这些点像你身边的小朋友，大家都在追着一个大球，而这个大球就在某个固定的位置上。

实数的完备性 (2)

于是按定义 2，存在 {xn} 的一个收敛子列以 ξ 为其极限.
证毕。
注：聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。
1 n 1 n 如：S {(1 ) }, { xn } {(1 ) }, n n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚
点为e，因而在有理数域没有聚点。数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限
0，N 0, n N , 有 [ n , n ] U ( , ). 由推论得：
因此在 U ( ; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即 lim an .
n
柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛的一个充分必要条件，而且，他还是刻画实数完备性的最
在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说, 证明问
题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来。怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有
一个闭区间具有性质P。
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的某些具体条件所确定。函数f 在 (a, b) 内连续， 0, x (a , b), x 0, 使
n
定义2 定义2 定义2 显然，
三个定义等价性的证明:
2
1
只需证：定义2 定义2
取 1 1, 则x1 U ( ; 1 ) S，显然 x2 x1，
(
(
x 2 x1
)
)
0, x U ( , ) S , 设为S（按定义2 ）的聚点，

实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章

习题1.11．证明下列集合等式． (1) ；(2) ()()()C B C A C B A \\\ =；(3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A =)()( c c C B A A B A =c C A B A )()( =)(\)(C A B A = .(2) c C B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)\()\(C A C A .(3) )(\C)\(B \c C B A A =c c C B A )( =)(C B A c =)()(C A B A c =)()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要[条是：.A B ⊂(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c B A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,c B x ∉ 于是,c B A x ∉ 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意∞=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1 ∞=∞→⊂n n n nA A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ； (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E (2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E 另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<,由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 [] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5．证明集列极限的下列性质．(1) c n n c n n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____； (2) c n n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ； (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ．证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n n m n n m c m m n n A E A E A E A E c n nm m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且(1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ．习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解令1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =,[0,1]F D =. 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩ 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+∀∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a c d φ→为: ;();(1,2.)2;.2d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n n n b a c x a φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨+⎪-⎪=+⎪⎩可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯.任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ. 6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+. 则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为: 2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩ 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以 A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明对任意的,I J R ⊆，取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern 定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．证明因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．证明对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q 所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=. 其中)0(≥i E i 无限且不交. 4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_0000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x . 于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=，从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(d y D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x d x ≤∈}:)3,{(，故a E ≤. 习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?答直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[.2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明：(1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[．证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得 )()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→. 又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即 )),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明：(1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c 2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射. (3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c ≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n =C ．证明因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==；(2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F EE F E E F E E E F E F ====, ()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===.所以\\()()\E F E E F E F F ==.(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ==== 所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ．证明 (1)1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. 3．证明：22[][][]cc E f g c E f E g +≥⊂≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明若()()22c c x E f E g ∉≥≥, 则有()2c f x <且()2c g x <, 于是 ()()()()f x g x f g x c +=+<, 故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥. 4．证明：n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．证明因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n =⨯⨯⨯=ℵ(推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][Q ][Q 0 ∞==n n x x 显然,Q~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x = 7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明记 },R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][R ][R 0 ∞==n n x x 显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==0n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c B A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =．证明同上.。

关于实数完备性的基本定理

目录摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. 3关键词：实数；完备性 3Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. 3Key Words: Real number; Completeness 3前言 31 预备知识 3关于确界的定义 3极限的定义 4区间套的定义 4聚点的定义 5有限覆盖的定义 52 关于实数完备性的基本定理 5确界定理 5单调有界定理 6区间套定理 6聚点定理和致密性定理 7有限覆盖定理 7设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . 7 柯西收敛准则 7结语： 8关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ 8参考文献： 8摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. (3)关键词：实数；完备性 (3)Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. (3)Key Words: Real number; Completeness (3)前言 (3)1 预备知识 (3)关于确界的定义 (3)极限的定义 (4)区间套的定义 (4)聚点的定义 (5)有限覆盖的定义 (5)2 关于实数完备性的基本定理 (5)确界定理 (5)单调有界定理 (6)区间套定理 (6)聚点定理和致密性定理 (7)有限覆盖定理 (7)设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . (7)柯西收敛准则 (7)结语： ......................................................................................................................................... 8 关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ (8)参考文献： (8)关于实数完备性的基本定理摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明.关键词：实数；完备性Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate.Key Words: Real number; Completeness前言数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.1 预备知识关于确界的定义∈都有设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切x S ≤≥，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界()x M x L（下界）.若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集.若S 不是有界集，则称S为无界集.设S 是R 中的一个数集.若数η满足：(i) 对一切x S ∈，有x η≤，即η是S 的上界；(ii) 对任何αη≤，存在0x S ∈，使得0x α>，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作sup S η=设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足：(i) 对一切x S ∈，有x ξ≥，即ξ是S 的下界；(ii) 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=上确界与下确界统称为确界.极限的定义设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时有||n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.区间套的定义设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质：(i) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊃,n=1,2,…；(ii) lim()0n n n b a →∞-=, 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.聚点的定义设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）.若ξ的任何邻域上都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域上都含有S 中异于ξ的点，即(;)o U S ξε⋂≠∅，则称ξ为S 的一个聚点.若存在各项互异的收敛数列{}n x S ⊂，则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.有限覆盖的定义设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如(,)αβ的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.2 关于实数完备性的基本定理确界定理设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A ,B 为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.证明：数集A有上确界，数集B 有下确界，且sup inf A B ≤证由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界.对任何y B ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，sup A 是数集A 的最小上界，故有sup A y ≤.而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得sup inf A B ≤.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设111...,12n a nααα=+++>.证明:{}n a 收敛. 证显然{}n a 是递增数列.因为当2n ≥时，2n a =112α++…1(2)n α+=11(1...)3(21)n αα+++-+11(...)2(2)n αα++ <11(1...)3(21)n αα+++++11(...)2(2)n αα++ <122n a α+=112n a α-+, 以及2n n a a <，所以11112n a α-<-故{}n a 是有界的.根据单调有界定理可知数列{}n a 是收敛的.区间套定理若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,]n n a b ξ∈，n=1,2,…，即n n a b ξ≤≤，n =1,2,…推论：若[,]n n a b ξ∈( n=1,2,…)是区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给的0ε>，存在N >0,使得当n>N 时有[,](;)n n a b U ξε⊂注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.例3 证明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界.证假设()f x 在[,]a b 上无界，利用二分法总可找到一个闭区间无界得{[,]}n n a b 且满足：(1) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊂;(2) 0()2n n n b a b a n --=→→∞; (3) ()f x 在[,]a b 上无界，由区间套定理有[,]a b ξ∃∈且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.因为[,][,]n n a b a b ξ∈⊂，所以()f x 在ξ处连续.于是，一方面由连续函数的局部有限性定理得()U ξ∃使()f x 在()U ξ上有界；另一方面由推论得0,,[,]()n n N n N a b U ξ∃>∀>⊂，因此()f x 在[,]n n a b 上有界，则与条件(3)矛盾，故得证.聚点定理和致密性定理聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列.有限覆盖定理设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b .注：(1)该结论只对闭区间[,]a b 成立，而对开区间则不一定成立.(2)若将订立中的H 改为其他类型的区间集，则结论不一定成立.(3) H →开区间集，S →闭区间，该结论才能成立.例4 S=[0,1],11{(,)|}1H n N n n=∈+,H 是否覆盖S ？解1 n N ∀∈，当1n >时，尽管()10,1n ∈，但1n 不属于H 的任何开区间，因此H 不覆盖S .解2 012x S ∃=∈1,2H ∀∆∈∉∆⇒H 不覆盖S . 柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n,m>N 时有||n m a a ε-<.这个定理从根本上完全解决了数列极限的存在性问题.柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数. 结语：关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3] 沐定夷.数学分析(第一版)[M].上海:上海交通大学出版社,1993.[4] 周性伟,刘立民.数学分析(第一版)[M].天津:南开大学出版社,1986.[5] 何琛,史济怀,徐森林.数学分析(第一版)[M].北京:高等教育出版社,1983.。

实变函数引论参考答案曹怀信第二章

习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求bE E E E ,,,' ．解 E =∅；[0,1][0,1]bE E E '===⨯。

2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤<=x y x y x E ，求bE E E E ,,,' ．解 E =∅；{(,):0,11}.bE E x y x y E E '==-≤≤==3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．(1) 11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'= ⎪⎝⎭； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ； (4) B A B A =； (5) ︒︒︒=B A B A )(； (6) .)(︒︒︒=B A B A解 (1) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1()n n E ∞=''==Q R ,而1.n n E ∞='=∅但是，总有11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭。

(2) 不一定。

如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=∅ 而.A B ''=R R =R(3) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1n n E ∞===Q R , 而1.n n E ∞==Q 但是，总有11n n n n E E ∞∞==⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭。

(4) 不一定。

如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =∅，而{}A B b =。

(5) 不一定。

如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.(6) 成立。

《数学分析A (2)》课程教学说明

《数学分析A (2)》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：数学系2．课程名称：《数学分析A(2)》(Mathematical Analysis A(2))3．学时/学分：80学时/ 5学分4．先修课程：《数学分析A(1)》(Mathematical Analysis A(1))5．上课时间：周一（双周10:00-11:40），周三（10:00-11:40），周四( 8:00-9:40)，周五（习题课10:00-11:40）6．上课地点：东上院1017．任课教师：周春琴（cqzhou@）8．办公室及电话：数学楼602，54743148-26029．习题课教师：王丽丹10.Office hour：周五下午2:00-4:00, 数学楼602二.课程主要内容第七章定积分(12课时)主要内容：定积分可积性定理，平面图形面积、立体体积、曲线弧长、微元法。

第八章反常积分(8课时)主要内容：反常积分的敛散性概念，反常积分计算，反常积分敛散性判别法。

第九章数项级数（18课时）主要内容：级数的收敛与发散概念，收敛性必要条件，收敛级数的性质，上下极限， Cauchy收敛准则，正项级数的判别方法，交错级数判敛法，任意项级数的判敛法，收敛级数的性质，无穷乘积。

第十章函数项级数（18课时)主要内容：点态收敛与一致收敛概念，函数列与函数级数一致收敛判别法，一致收敛函数列与函数级数的分析性质，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的分析性质，函数展开成幂级数，幂级数的和函数计算。

第十一章 Euclid空间上的极限和连续（8课时）主要内容：平面点集与点列极限，R2上的基本定理，多元函数概念，二元函数的极限与连续，有界闭区域上连续函数的性质.第十二章多元函数的微分学（16课时）主要内容：偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算，复合函数微分法，方向导数与梯度，多元函数的Taylor公式，二元函数的极值与最值，隐函数概念，隐函数存在定理，隐函数及隐函数组的微分法，方程变换，多元函数微分学的几何应用，条件极值。

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第一章
数轴上的点集与点列极限
第一节实数集
一,实数集与数轴二,绝对与不等式三,区间与领域四,上确界,下确界
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素
数集间的关系: 数集间的关系 N Z , Z Q , Q R.
若A B , 且B A, 就称集合 A与B相等 . ( A = B )
例如 A = {1,2},
C = { x x 2 3 x + 2 = 0}, 则 A = C .
不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 空集例如, 例如 { x x ∈ R, x + 1 = 0} =
x ≥ a 或 x ≤ a;
五,小结
基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合区间邻域常量与变量绝对值
�
o a
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母 y, t等表示变量.
2
空集为任何集合的子集. 规定空集为任何集合的子集
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数区间这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点
a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
a∈ M, a M, A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ {a1 , a 2 , , a n }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
若x ∈ A, 则必x ∈ B , 就说A是B的子集 . 记作 A B .
数集分类: 数集分类
N----自然数集自然数集 Q----有理数集有理数集
Z----整数集整数集 R----实数集实数集