马尔柯夫预测法
马尔可夫预测
4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。
马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。
众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。
对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。
但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。
例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。
这种与过去的取值无关，称为无后效性。
这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。
1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。
将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。
若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。
n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。
因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。
市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。
2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。
5.7 马尔可夫预测
第7节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是对于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是对事件进行预测的基本方法，它是预测中常用的重要方法之一。
一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测法的应用，下面首先介绍几个基本概念。
(一) 状态、状态转移过程与马尔可夫过程(1) 状态。
在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
例如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；在天气变化预测中，有“晴天”、“阴天”、“雨天”等状态；……；等等。
(2) 状态转移过程。
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天”，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。
(3) 马尔可夫过程。
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
许多事件发展过程的状态转移是具有无后效性的，对于这样一些事件发展过程，就可以用马尔可夫过程来描述。
(二) 状态转移概率与状态转移概率矩阵118119（1）状态转移概率。
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
马尔科夫预测课件.ppt
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
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3
2、马尔柯夫链
数学中，时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔柯夫 链（或马氏链）。 马尔柯夫链是与马尔柯夫过程紧密相关的一个概念。 马尔柯夫链，指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由 现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔柯夫 链的动态系统将来是什么状态，取什么值， 只与现在的状 态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。因此，运用
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C-K方程也可写成矩阵形式：
P
( u v )
P P
(u)
(v)
利用C-K方程我们容易确定n步转移概率。在上式中令 u=1，v=n-1，得递推关系：
P
从而可得
(n)
P P
(1)
( n 1)
PP
( n 1)
P( n ) Pn
就是说，对齐次马氏链而言，n步转移概率矩阵是一步 转移概率矩阵的n次方。
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例8.1.1
某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1 000个 用户(或购货点)，假设在研究期间无新用户加入也无老用 户退出，只有用户的转移。 已知2002年5月份有500户是甲厂的顾客，400户是乙厂的顾
客，100户是丙厂的顾客。6月份：甲厂有400户原来的顾
P (m, m k ) 1,
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j 1
ij
i 1, 2,
6
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当转移概率 Pij (m, m k ) 只与i，j及时间间距k有关时，即
P ij (m, m k )P ij (k ) 时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链 X n , n 0 是齐次的或时齐的。 本章只限于讨论齐次马氏链！！！
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从而
3 7 1 p21 5 2 p31 7 p11
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
0 3 5 5 7
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第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p (Nk2)
为k步转移概率矩阵。 k步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的 性质：
(k ) 0 pij 1, N (k ) p ij 1, j 1
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i , j 1, 2, i 1, 2,
,N ,N
（8.1.6）
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马尔柯夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。
马尔柯夫预测法，就是应用马尔柯夫链来预测市场未来变化 状态。
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定义8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0 满足如下条件：
(1)每个随机变量Xn只取非负整数值。 (2)对任意的非负整数 0 t1 t2
11
3、多步转移概率的确定
(n) (n) 为了确定齐次马氏链的n步转移概率 P ，首先介绍 P ij ij 所满足的基本方程。
设 X n , n T 是一齐次马氏链，则对任意的 u, v T ，有
P
( u v ) ij
P P , i, j 1,2,
k 1 (u) (v ) ik kj
E1, E2 , Er , Ei ; E j ，当
tr m m k 及
P( X t1 E1, X t2 E2 ,..., X m Ei ) 0
时，有
(8.1.1)
P( X mk E j | X t1 E1, X t 2 E2 ,..., X m Ei ) P( X mk E j | X m Ei )
P( X mk E j | X m Ei ) P ij (m, m k )
（8.1.3）
为马氏链在时刻m处于状态Ei的条件下，在时刻m+k转移到状 态Ej的状态转移概率。 由于链在时刻m从任何一个状态Ei出发，到另一个时刻m+k， 必然转移到 诸状态中的某一个，所以 E1 , E2 ,
客，上月的顾客有50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300 户原来的顾客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；
丙厂有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂，10
户转乙厂。 试计算其状态转移概率。
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解：由题意得6月份顾客转移表8.1.1。
由表8.1.1可知，6月份有430户是甲厂顾客；360户是乙厂的 顾客；210户是丙厂的顾客。于是：
0 pij 1, N pij 1, j 1
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i , j 1, 2, i 1, 2,
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,N ,N
（8.1.5）
10
定义8.1.4
称
(k ) p11 (k ) p 21 (k ) pN 1 (k ) p12 (k ) p22 k) p1(N (k ) p2 (k ) N P (k ) p NN
定义8.1.2 称
(k ) P ij (m) P( X mk E j | X m Ei )
(8.1.4)
为k步转移概率。 特别地，当k=1时，P( X m1 E j | X m Ei ) 称为一步转 移概率，记为
P ij P ij (m) P( X m1 E j | X m Ei )
第八章
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4
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马尔柯夫预测法
马尔柯夫链简介 商品销售状态预测 市场占有率预测 期望利润预测
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1
§8.1 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫预测法含义
马尔柯夫是俄国著名的数学家。马尔柯夫预测法（Markov Forecasting Model）是以马尔柯夫的名字命名的一种特殊 的市场预测方法。
– 第一步，划分预测对象(系统)所出现的状态。从预测目的出发，并 考虑决策者的需要适当划分系统所处的状态。 – 第二步，计算初始概率。在实际问题中，分析历史资料所得的状态 概率称为初始概率。 ►设有N个状态E1，E2，…，EN。观测了M个时期，其中状态 Ei(i=1，2，…，N)出现了Mi次。于是 fi M i M 就是Ei出现的 频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
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P (2)
0.49 0.25 0.26 P 2 0.49 0.26 0.25 0.48 0.21 0.31
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§8.2 商品销售状态预测
马尔柯夫链预测方法的最简单类型，是预测下一期最可能
出现的状态。可按以下步骤来完成：
max{ pi1, pi 2 , , piN } pij
时，可以预测下一步系统将转向状态Ej。
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例8.2.1 某商店在最近20个月的商品销售量统计记录见
表8.2.1。试预测第21个月的商品销售状态。
解：第一步，划分状态。按盈利状况将销售状态划分以下几种：
f ij
并令 f p ij ij
M ij
Mi
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时，2，…，N)的可能性。按最大概率原则，
这里选择 ( pi1, pi 2 ,
, piN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
fi pi (i 1,2,
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, N)
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– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态 Ei E j (由Ei转移到Ej)的频率
fij f ( E j Ei )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
(1)销售量<60千件，属滞销。
(2)60千件≤销售量≤100千件，属一般。
(3)销售量>100千件，属畅销。
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第二步，计算初始概率pi。 滞销状态的为M1=7 一般状态的为M2=5
M11 3 M 21 1
M 31 2
M12 4
M13 0 M 23 3
80 0.2 400
80 0.8 100
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2、状态转移概率矩阵 定义8.1.3 称
p11 p 21 pN 1 p12 p22 pN 2 p1 N p2 N P (1) P pNN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
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例8.1.2 某经济系统有三种状态E1，E2，E3(比如畅销、
一般、滞销)。系统状态转移情况见表8.1.2。试求系统的2 步转移概率矩阵。
解：按照与例8.1.1相同的步骤可得一步状态转移概率矩阵
0.50 0.167 0.333 P 0.444 0.222 0.334 0.4 0.1 0.50
M 33 5
0 7 3 p23 5 p13
5 p33 7
M 22 1
M 32 0
4 7 1 p22 5 p12 0 p32 7
畅销状态的为M3=8
所以：p1=7/20 p2=5/20 p3=8/20 第三步，计算状态转移概率 矩阵。在计算转移概率时， 最后一个数据不参加计算， 因为它究竟转到哪个状态尚 不清楚。可得：