第8章 马尔柯夫预测法
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第8章 马尔可夫预测方法(1)PPT课件
马尔可夫预测方法
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ X n X ( n )n , 0 ,1 ,2 , },
状态 I 空 (a 1 ,a 2 , 间 }a ,i R 为 .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意 n ,r和 的 0t1 正 t2 整 trm 数 ; ti,m ,n m T i, 有
马尔可夫预测方法
•
箭头表示跳跃的方向，数
字表示跳跃的概率，白环表示
青蛙保持不动。
此图表明：在一定时间内， 当青蛙开始时刻在第1片荷叶上时，它保持不动的概率为
0.3，它跳跃到第2片荷叶上的概率为0.6，跳跃到第3片荷叶 上的概率为0.1；
当青蛙开始时刻在第2片荷叶上时，它保持不动的概率为 0.4，它跳跃到第1片荷叶上的概率为0.2，跳跃到第3片荷叶 上的概率为0.4；
P {x(t1)jx(0)i0,x(1)i1,...,x(t)i}
P {x(t1)jx(t)i}
我们称满足上式的随机过程{x(t)}(t>0)为马尔可夫过程或马尔可 夫链，而把上式的随机过程{x(t)}称为马尔可夫性，它反映了前 一状态x(t-1) 、现状态x(t)和后一状态x(t+1)之间的链接. 因此，用马尔可夫链描述随机性状态变量的变化时，只需求在 某一点上两个相邻随机变量的条件分布就可以了.
马尔可夫预测方法
第一节 马尔可夫过程及其概率分布
一、马尔可夫过程的概念 二、马尔可夫过程的概率分布 三、应用举例
马尔可夫预测方法
一、马尔可夫过程的概念
1. 马尔可夫性(无后效性)
马尔可夫资料
过程 (系 或统 )在时 t0所 刻处的状态为 条件 ,过 下程在 t时 t0所刻 处状态的条件 与过程t0在 之时 前刻 所处的特 状性 态称 无 马尔可夫性或无后效性.
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法
几个基本概念 马尔可夫预测法
马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程. 它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分 析、近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代 物理、随机分形、公共事业中的服务系统、电子信息、 计算机技术等. 自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统 或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
同理可得
7 0.538 5 13 2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.153 8 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.307 7 13 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 )
即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3 求解该方程组得： 1＝0.365 3, 2＝0.352 5， 3
所以
3 P 0.200 0 11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 ) 15
7 P 0.466 7 12 P ( E1 E2 ) P ( E2 E1 ) 15
5 P 0.333 3 13 P ( E1 E3 ) P ( E3 E1 ) 15
n
i
1
使得
P
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向 量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平 衡向量。
几个基本概念 马尔可夫预测法
马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程. 它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分 析、近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代 物理、随机分形、公共事业中的服务系统、电子信息、 计算机技术等. 自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统 或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
同理可得
7 0.538 5 13 2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.153 8 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.307 7 13 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 )
即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3 求解该方程组得： 1＝0.365 3, 2＝0.352 5， 3
所以
3 P 0.200 0 11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 ) 15
7 P 0.466 7 12 P ( E1 E2 ) P ( E2 E1 ) 15
5 P 0.333 3 13 P ( E1 E3 ) P ( E3 E1 ) 15
n
i
1
使得
P
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向 量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平 衡向量。
第8章-马尔柯夫预测法
0.50 0.4 0.1
于是：
0.50 P(2) 0.444
0.50
0.167 0.222
0.4
2
0.333
0.334 0.1
0.49 0.25 0.26 ＝ 0.49 0.26 0.25
0.48 0.21 0.31
第八章 马尔可夫预测与决策法
8.2 商品销售状态预测
马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来 完成。
N
p1k pk1 k 1
N
= p2k pk1
k 1 N
pNk pk1
k 1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
k 1
k 1
p12 p22
定义 8.1.3 若对任意非负整数 n ，马尔柯夫链 X n , n 0的一步转移概率 pij (m) 与 m 无关，则称 X n , n 0为齐次马尔柯夫链。齐次马尔柯夫链的一步转移概率记为 pij 。
第八章 马尔可夫预测与决策法
例 8.1.1
例8.1.1 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000
第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。
由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。如果目前预测对象处于状态 Ei ，这时 pij 就描述了
目前状态 Ei 在未来将转向状态 E j （ j 1,2,N ）的可能性。按最大概率原则，我们选择
于是：
0.50 P(2) 0.444
0.50
0.167 0.222
0.4
2
0.333
0.334 0.1
0.49 0.25 0.26 ＝ 0.49 0.26 0.25
0.48 0.21 0.31
第八章 马尔可夫预测与决策法
8.2 商品销售状态预测
马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来 完成。
N
p1k pk1 k 1
N
= p2k pk1
k 1 N
pNk pk1
k 1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
k 1
k 1
p12 p22
定义 8.1.3 若对任意非负整数 n ，马尔柯夫链 X n , n 0的一步转移概率 pij (m) 与 m 无关，则称 X n , n 0为齐次马尔柯夫链。齐次马尔柯夫链的一步转移概率记为 pij 。
第八章 马尔可夫预测与决策法
例 8.1.1
例8.1.1 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000
第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。
由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。如果目前预测对象处于状态 Ei ，这时 pij 就描述了
目前状态 Ei 在未来将转向状态 E j （ j 1,2,N ）的可能性。按最大概率原则，我们选择
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
马尔可夫预测方法
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 从某一种状态出发， 从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状 态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei 态的可能性，称为状态转移概率。由状态 转为状态E 转为状态 j的状态转移概率 P(E i → E j ) 是 P(Ei → E j ) = P(E j / Ei ) = Pij
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
主要内容： 主要内容：
几个基本概念 1、状态 、 2、状态转移过程 、 3、马尔可夫过程 、 4、状态转移概率 、 5、状态转移概率矩阵 、 马尔可夫预测法 1、状态转移概率 、 2、状态转移概率矩阵 、
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
二、马尔可夫预测法
表示事件在初始（ ＝ ） 状态概率 π j (k )：表示事件在初始（k＝0）状 态为已知的条件下，经过k次状态转移后 次状态转移后， 态为已知的条件下，经过 次状态转移后，在 个时刻（时期） 的概率。 第k 个时刻（时期）处于状态 E j 的概率。 且：
j =1 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概 条件概 根据马尔可夫过程的无后效性及 率公式， 率公式，有
（7.1） 7.1）
状态转移概率矩阵。 状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态 个可能的状态， 过程有 个可能的状态，即E1，E2， …，En。 ， 记为从状态E 转变为状态E 记为从状态 i转变为状态 j的状态转移概 率 P ( E i → E j ) ，则矩阵
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状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 从某一种状态出发， 从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状 态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei 态的可能性，称为状态转移概率。由状态 转为状态E 转为状态 j的状态转移概率 P(E i → E j ) 是 P(Ei → E j ) = P(E j / Ei ) = Pij
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主要内容： 主要内容：
几个基本概念 1、状态 、 2、状态转移过程 、 3、马尔可夫过程 、 4、状态转移概率 、 5、状态转移概率矩阵 、 马尔可夫预测法 1、状态转移概率 、 2、状态转移概率矩阵 、
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二、马尔可夫预测法
表示事件在初始（ ＝ ） 状态概率 π j (k )：表示事件在初始（k＝0）状 态为已知的条件下，经过k次状态转移后 次状态转移后， 态为已知的条件下，经过 次状态转移后，在 个时刻（时期） 的概率。 第k 个时刻（时期）处于状态 E j 的概率。 且：
j =1 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概 条件概 根据马尔可夫过程的无后效性及 率公式， 率公式，有
（7.1） 7.1）
状态转移概率矩阵。 状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态 个可能的状态， 过程有 个可能的状态，即E1，E2， …，En。 ， 记为从状态E 转变为状态E 记为从状态 i转变为状态 j的状态转移概 率 P ( E i → E j ) ，则矩阵
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第8章马尔柯夫预测法共74页
第8章马尔柯夫预测法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
计量地理学第8章 马可尔夫预测方法
3 C公司的300名顾客中有255 名继续订货，有25名转向A公司 订货，20名转向B公司订货。
如果三个公司在这个地区的初 始占有率为A=22%，B=49%， C=29% ， 且它们都不改变营业 状态和规模，问：
（1）明年和后年，三个公司在这 个地区市场占有率为如何？
（2）稳定状态下，三个公司的 市场占有率？
可能的状态的概率，即 (k) ，从而就得到该事件在
第k个时刻（时期）的状态概率预测。
(1) (0)P
(2) (1)P (0)P2
............
(k) (k 1)P (0)Pk
例题2:
将例题1中1999年的农业收
成状态记为 (0) =[0,1,0] ，将
状态转移概率矩阵，代入递推 公式，可求得2000—2010年可 能出现的各种状态的概率。
2＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。 结论：该地区农业收成的变化过程，在无 穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态 出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
归纳:马尔可夫预测方法的应用思路
第一步 求状态转移概率矩阵。 第二步 预测未来某时刻的状态概率。 第三步 预测终极状态概率。
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
一般地，将满足上述条件的任何矩阵都称为随
机矩阵，或概率矩阵。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每
个状态转移到其他任何一个状态的状态转移 概率：
Pij (i,j 1,2, , n)
为了求出每一个 Pij (i,j 1,2, , n) ，一般
今年的市场占有率 u=（0.22,0.49,0.29） 明年的市场占有率up=
0.80 0.10 0.10 （0.22,0.49,0.29） 0.07 0.90 0.03
如果三个公司在这个地区的初 始占有率为A=22%，B=49%， C=29% ， 且它们都不改变营业 状态和规模，问：
（1）明年和后年，三个公司在这 个地区市场占有率为如何？
（2）稳定状态下，三个公司的 市场占有率？
可能的状态的概率，即 (k) ，从而就得到该事件在
第k个时刻（时期）的状态概率预测。
(1) (0)P
(2) (1)P (0)P2
............
(k) (k 1)P (0)Pk
例题2:
将例题1中1999年的农业收
成状态记为 (0) =[0,1,0] ，将
状态转移概率矩阵，代入递推 公式，可求得2000—2010年可 能出现的各种状态的概率。
2＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。 结论：该地区农业收成的变化过程，在无 穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态 出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
归纳:马尔可夫预测方法的应用思路
第一步 求状态转移概率矩阵。 第二步 预测未来某时刻的状态概率。 第三步 预测终极状态概率。
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
一般地，将满足上述条件的任何矩阵都称为随
机矩阵，或概率矩阵。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每
个状态转移到其他任何一个状态的状态转移 概率：
Pij (i,j 1,2, , n)
为了求出每一个 Pij (i,j 1,2, , n) ，一般
今年的市场占有率 u=（0.22,0.49,0.29） 明年的市场占有率up=
0.80 0.10 0.10 （0.22,0.49,0.29） 0.07 0.90 0.03
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N
p
( 2) ij
pik p kj
k 1
(k 1,2, N )
（8.1.6）
即系统从状态 i 出发， 经过２步转移到状态 j 的概率等于系统从 i 出发经一步转移到状态 k, 然 后再从状态 k 转移到状态 j 的概率。
Ê Ó ¹ Ð £ º
P ( 2)
定义 8.1.5 与定义 8.1.4 类似，称
(k ) p11 (k ) p 21 p (k ) N1 (k ) p12 (k ) p 22 k) p1(N (k ) p2 N (k ) p NN
P (k )
(k ) pN 2
p12 p1N p 22 p 2 N p N 2 p NN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 pij 1
p
j 1
N
ij
1
i, j 1,2, , N i 1,2, , N
（8.1.4）
为 k 步转移概率矩阵。
k 步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
(k ) 0 pij 1
pij(k ) 1
j 1
N
i, j 1,2,, N i 1,2,, N
（8.1.5）
从状态转移概率矩阵的性质可知， 2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求 出。
( 2) p11 ( 2) p 21
( 2) p12 ( 2) p 22
p
( 2) N1
p
N
( 2) N2
( 2) p1 N ( 2) p2 N ( 2) p NN
N p1k p k 1 k 1 N p p = 2 k k1 k 1 N p Nk p k 1 k 1
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔柯夫链的 理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并 籍此对未来进行预测的一种方法。 在经济现象中存在一种“无后效性”。 即:“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态，而与其过去的历史无关。”
第一节 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取 什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值的 历史情况无关，即无后效性。具备这个性质的离散性随 机过程，称为马尔柯夫链。
j 1
， i 1,2
（8.4.1）
这时，利润分布矩阵Ｒ变成期望利润分布矩阵
V1 (1) r11 V2 (1) r12 R V (1) r V (1) r 21 2 22 1
É ´ Ó Ë ¿ É µ Ã ¶ þ ² ½ × ª Ò Æ Ö ® º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª £ º
案例应用P188
第四节 期望利润预测
期望利润预测方法的基本思路如下： 设 Vi (n) 为现在处于状态 i 的商品，经过 n 步转移之后的期望利润。 为讨论方便起见，我们以仅有 2 种状态的情形为例说明期望利润预测方法的基本思路。 这时Ｎ＝２，经过一步转移之后的期望利润为：
2
Vi (1) ri1 pi1 ri 2 pi 2 rij pij
½ £
P
2
P ( 2) P 2
´ 2² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä Æ ½ · ½ ¡ £
¨8.1.7£ £ ©
à Ë À Æ µ Ø £ ¬ ¿ É Ò Ô Í Æ ³ ö
Vi (1) qi
¬ £
i 1,2
精品课件！
精品课件！
案例应用P191
二、状态转移概率的估算
1、主观概率法
2、统计估算法
应用案例P183
第三节 市场占有率预测
一、市场占有率
企业的产品在市场销售总额所占的比例称为产品的市场占 有率。
利用马尔柯夫链预测模型，可以根据现有的市场占有率和转移概率预 测企业未来的市场占有率。
二、马尔柯夫链预测的基本原理
本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。
二、状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率 （8.1.2） 在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概 率，简称为状态转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某 系统在时刻 n 处于状态 i 的条件下， 到时刻 n+1 处于状态 j 的概率。 定义 8.1.2 称
定义 8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0满足如下条件：
1
2
每个随机变量 X n 只取非负整数值； 对任意的非负整数 0，1，2，…N，当
P( X n1 j | X n i) pij 0
则称
（8.1.1）
X n , n 0
为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 0，1，2，…i， …j,...称为状态。
Vi (2) [V1 (1) ri1 ] pi1 [V2 (1) ri 2 ] pi 2
=
[V (2 1) r ] p
j 1 j ij 2
2
ij
¬ £
i 1,2
¨8.4.2£ £ ©
Ô ´ Ò Ë À à Í Æ £ ¬ ¿ É µ Ã ¾ ¹ ý n² ½ × ª Ò Æ º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó µ Ý Í Æ ¹ « Ê ½
= p11 p 21 p N1 p12 p 22 pN 2
k 1 N k 1 N
p1k p k 2
2k
p p
k 1
pk 2 pk 2
Nk
p11 p 21 p N1
2
p kN k 1 N p 2 k p kN k 1 N p Nk p kN k 1
Vi (n) [V j (n 1) rij ] pij
j 1
¬ £
i 1,2
¨8.4.3£ £ ©
Ø ± Ì ð µ Ø £ ¬ µ ± n=1 Ê ±£ ¬ ¹ æ ¶ ¨ Vi (0) 0 ¡ £ ² ¢ ³ Æ Ò » ² ½ × ª Ò Æ µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª ¼ ´ Ê ±Æ Ú Í û À û È ó ¡ £ Ç Ò ¼ Ç
p
N
1k
p1 N p2 N p NN
p12 p 22 pN 2
p1 N p2 N p NN
p11 = p 21 p N1
p12 p22 pN 2
p1N p2 N p NN
P (k ) P k
¨8.1.8£ £ ©
´ k² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä k´ Î · ½ ¡ £
第二节 商品销售状态预测
一、马尔柯夫链预测方法的步骤 马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。 可按以下步骤来完 成。 第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。 由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。 如果目前预测对象处于状态 i， 这时 pij 就描述了目 前状态 i 在未来将转向状态 j 的可能性。
P X n1 j X n i
pij P X n1 j X n i
为一步转移概率。
（8.1.3）
特别地，当 P X n j X 0 i pij 时， 称为 N 步转移概率，记为
pij (n)
三、状态转移概率矩阵 定义 8.1.4 称
p11 p 21 Ｐ＝ p N1
p
( 2) ij
pik p kj
k 1
(k 1,2, N )
（8.1.6）
即系统从状态 i 出发， 经过２步转移到状态 j 的概率等于系统从 i 出发经一步转移到状态 k, 然 后再从状态 k 转移到状态 j 的概率。
Ê Ó ¹ Ð £ º
P ( 2)
定义 8.1.5 与定义 8.1.4 类似，称
(k ) p11 (k ) p 21 p (k ) N1 (k ) p12 (k ) p 22 k) p1(N (k ) p2 N (k ) p NN
P (k )
(k ) pN 2
p12 p1N p 22 p 2 N p N 2 p NN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 pij 1
p
j 1
N
ij
1
i, j 1,2, , N i 1,2, , N
（8.1.4）
为 k 步转移概率矩阵。
k 步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
(k ) 0 pij 1
pij(k ) 1
j 1
N
i, j 1,2,, N i 1,2,, N
（8.1.5）
从状态转移概率矩阵的性质可知， 2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求 出。
( 2) p11 ( 2) p 21
( 2) p12 ( 2) p 22
p
( 2) N1
p
N
( 2) N2
( 2) p1 N ( 2) p2 N ( 2) p NN
N p1k p k 1 k 1 N p p = 2 k k1 k 1 N p Nk p k 1 k 1
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔柯夫链的 理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并 籍此对未来进行预测的一种方法。 在经济现象中存在一种“无后效性”。 即:“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态，而与其过去的历史无关。”
第一节 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取 什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值的 历史情况无关，即无后效性。具备这个性质的离散性随 机过程，称为马尔柯夫链。
j 1
， i 1,2
（8.4.1）
这时，利润分布矩阵Ｒ变成期望利润分布矩阵
V1 (1) r11 V2 (1) r12 R V (1) r V (1) r 21 2 22 1
É ´ Ó Ë ¿ É µ Ã ¶ þ ² ½ × ª Ò Æ Ö ® º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª £ º
案例应用P188
第四节 期望利润预测
期望利润预测方法的基本思路如下： 设 Vi (n) 为现在处于状态 i 的商品，经过 n 步转移之后的期望利润。 为讨论方便起见，我们以仅有 2 种状态的情形为例说明期望利润预测方法的基本思路。 这时Ｎ＝２，经过一步转移之后的期望利润为：
2
Vi (1) ri1 pi1 ri 2 pi 2 rij pij
½ £
P
2
P ( 2) P 2
´ 2² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä Æ ½ · ½ ¡ £
¨8.1.7£ £ ©
à Ë À Æ µ Ø £ ¬ ¿ É Ò Ô Í Æ ³ ö
Vi (1) qi
¬ £
i 1,2
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案例应用P191
二、状态转移概率的估算
1、主观概率法
2、统计估算法
应用案例P183
第三节 市场占有率预测
一、市场占有率
企业的产品在市场销售总额所占的比例称为产品的市场占 有率。
利用马尔柯夫链预测模型，可以根据现有的市场占有率和转移概率预 测企业未来的市场占有率。
二、马尔柯夫链预测的基本原理
本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。
二、状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率 （8.1.2） 在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概 率，简称为状态转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某 系统在时刻 n 处于状态 i 的条件下， 到时刻 n+1 处于状态 j 的概率。 定义 8.1.2 称
定义 8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0满足如下条件：
1
2
每个随机变量 X n 只取非负整数值； 对任意的非负整数 0，1，2，…N，当
P( X n1 j | X n i) pij 0
则称
（8.1.1）
X n , n 0
为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 0，1，2，…i， …j,...称为状态。
Vi (2) [V1 (1) ri1 ] pi1 [V2 (1) ri 2 ] pi 2
=
[V (2 1) r ] p
j 1 j ij 2
2
ij
¬ £
i 1,2
¨8.4.2£ £ ©
Ô ´ Ò Ë À à Í Æ £ ¬ ¿ É µ Ã ¾ ¹ ý n² ½ × ª Ò Æ º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó µ Ý Í Æ ¹ « Ê ½
= p11 p 21 p N1 p12 p 22 pN 2
k 1 N k 1 N
p1k p k 2
2k
p p
k 1
pk 2 pk 2
Nk
p11 p 21 p N1
2
p kN k 1 N p 2 k p kN k 1 N p Nk p kN k 1
Vi (n) [V j (n 1) rij ] pij
j 1
¬ £
i 1,2
¨8.4.3£ £ ©
Ø ± Ì ð µ Ø £ ¬ µ ± n=1 Ê ±£ ¬ ¹ æ ¶ ¨ Vi (0) 0 ¡ £ ² ¢ ³ Æ Ò » ² ½ × ª Ò Æ µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª ¼ ´ Ê ±Æ Ú Í û À û È ó ¡ £ Ç Ò ¼ Ç
p
N
1k
p1 N p2 N p NN
p12 p 22 pN 2
p1 N p2 N p NN
p11 = p 21 p N1
p12 p22 pN 2
p1N p2 N p NN
P (k ) P k
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第二节 商品销售状态预测
一、马尔柯夫链预测方法的步骤 马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。 可按以下步骤来完 成。 第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。 由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。 如果目前预测对象处于状态 i， 这时 pij 就描述了目 前状态 i 在未来将转向状态 j 的可能性。
P X n1 j X n i
pij P X n1 j X n i
为一步转移概率。
（8.1.3）
特别地，当 P X n j X 0 i pij 时， 称为 N 步转移概率，记为
pij (n)
三、状态转移概率矩阵 定义 8.1.4 称
p11 p 21 Ｐ＝ p N1