(完整版)函数图像的切线问题

函数图像的切线问题

要点梳理归纳

1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法

(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：

切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：

设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：

设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.

2．两个函数图像的公切线

函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，

若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩

⎪⎨⎪⎧

f ′(x 0)＝

g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).

若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2

12121)

()()()(x x x g x f x g x f --=

'='.

题型分类解析

题型一 已知切线经过的点求切线方程

例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3

:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.

设切点的坐标()00,x y ，则3

0003y x x =-，函数的导数为2

'33y x =-，

切线的斜率为0

20'33x x k y x ===-，2

000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，

Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立

可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =

或9k =-±∴切线方程为2y =

或(9(2)2y x =-±-+.

例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()

1,1g 处的切线方程为

21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________

解析：由切线过()()

1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，

()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=

例3. 已知直线1y kx =+与曲线3

y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，

所以有()()'113132

f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩

题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）

例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：

（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =

+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫

∴==+ ⎪⎝⎭

∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛

⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝

⎭

（2）设切点坐标()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011

213

f x x x ∴=

+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 01

3

x ∴=-不在定义域中，舍去

∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直

例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()

2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值

思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-

()2ln242ln24f a b ∴=-=-

又因为P 处的切线斜率为3- ()'

2a

f

x bx x

=

- ()'

2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 24

21432

a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩

例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直

线126x y +=平行，求a 的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值

解：()2

'

2

222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛

⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

()'2min 11933f x f a a ⎛⎫

∴==-- ⎪⎝⎭

Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：

21

91233

a a --=-⇒=± 0a

例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和2

15

94

y ax x =+

-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-

B. 1-或214

C. 74-或2564-

D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线2

15

94

y ax x =+

-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3

y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线

21594

y ax x =+

-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()3

00,x x ,切线方程为()32

0003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00

x =或032x =

，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫

⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与

215

94

y ax x =+

-相切可得